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Vídeo de la lección: División de polinomios con resto Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo dividir polinomios, cómo hallar el cociente y el resto cuando se dividen polinomios, y vamos a hablar del teorema del resto y del teorema del factor.

17:47

Transcripción del vídeo

División de polinomios con resto

En este video, vamos a familiarizarnos con un algoritmo para dividir un polinomio por otro polinomio. Vamos a hacer uso de la semejanza de este algoritmo con la división usual de números y vamos a utilizarlo para hallar el cociente y el resto al dividir polinomios. Finalmente, vamos a hablar sobre el teorema del resto, del teorema del factor y de la relación entre ambos. Antes de hablar de la división de polinomios, comencemos repasando la división de números. Considera 231 dividido por cinco. Hay muchas formas de efectuar esta división. Por ejemplo, si multiplicamos ambos números por dos, podemos ver fácilmente que la respuesta es 46.2. Otra forma de expresar este resultado es 46 y un quinto o 46 más uno entre cinco.

Pero, en definitiva, lo que hemos hecho para llegar a esta respuesta es dividir. Hay, verdaderamente, muchas formas ligeramente diferentes de hacer una división. Solo vamos a repasar una de estas. Para empezar, debemos saber que al cinco se le llama «divisor». Queremos hallar cuántos cincos caben en 231. Primero tenemos que determinar cuántos cinco caben en 200. Sabemos que cinco cabe 40 veces en 200. Así que escribimos cuatro en la columna de las decenas. A continuación, sabemos que 40 por cinco es igual a 200, por lo que debemos restar esto de 231. Lo que nos deja con 31. Y ahora necesitamos aplicar el mismo procedimiento otra vez. Necesitamos hallar cuántos cincos entran en 30.

Por supuesto, sabemos que cinco cabe en 30 seis veces, por lo que debemos sumar seis a nuestra respuesta de 40. Al igual que hicimos antes, multiplicamos seis por cinco. Sabemos que esto es igual a 30. Y esto nos deja con uno. Si realizáramos este proceso otra vez, tendríamos que hallar cuántas veces cabe cinco en uno. Y, obviamente, cinco no cabe en uno. Esto nos dice que nuestro proceso ha terminado y que nos quedamos con uno. A este se le llama «resto» o «residuo». Y a 46 se le llama «cociente». Y podemos hacer aquí lo que hemos hecho antes. El dividendo 231 dividido por cinco es igual al cociente 46 más el resto uno dividido por el divisor cinco.

Otra forma equivalente de escribir esto se obtiene multiplicando esta igualdad por cinco. Nos da 231 es igual a cinco por 46 más uno. Es importante señalar que siempre podemos conseguir que nuestro resto sea menor que nuestro divisor. Esto se debe a que, si el resto es mayor que el divisor, significa simplemente que hicimos mal la división y que podemos rehacerla escogiendo un cociente mayor. Muy bien, pero ¿qué relación tiene todo esto con la división de polinomios? En ese caso, en lugar de tener un número entero dividido por un número entero, tenemos un polinomio dividido por un polinomio. Y vamos a ver un algoritmo que nos ayudará a determinar cuántas veces d de 𝑥 cabe en 𝑝 de 𝑥. Llamamos a esto división de polinomios. Y es muy similar a la división de números.

Al igual que con la división de números, se trata de hallar un cociente y un resto o residuo. Sin embargo, esta vez, debido a que estamos dividiendo polinomios, el cociente y el resto también serán polinomios. Los llamaremos 𝑞 de 𝑥 y 𝑟 de 𝑥. Y la igualdad que los relaciona será exactamente la misma que obtuvimos para la división de números. Vamos a buscar polinomios 𝑞 de 𝑥 y 𝑟 de 𝑥 tales que 𝑝 de 𝑥 dividido por d de 𝑥 sea igual a 𝑞 de 𝑥 más 𝑟 de 𝑥 dividido por d de 𝑥.

Recuerda que en una división de números podemos conseguir que nuestro resto sea más pequeño que nuestro divisor. Con la división de polinomios sucede algo parecido. Podemos conseguir que el grado de nuestro resto será menor que el grado de nuestro divisor. Y el razonamiento para esto es exactamente el mismo que en la división con números. Tenemos que seguir eliminando múltiplos de d de 𝑥 hasta que ya no podamos seguir haciéndolo. Veamos ahora un ejemplo de cómo hacer una división de polinomios.

Utiliza división polinomial para simplificar tres 𝑥 al cubo más dos 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más uno dividido por 𝑥 más uno.

La cuestión nos pide que usemos división polinomial para simplificar esta expresión. El dividendo, o sea el polinomio de tercer grado en nuestro numerador, que es tres 𝑥 al cubo más dos 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más uno, lo vamos a denotar como 𝑝 de 𝑥. Y al polinomio de primer grado en nuestro denominador, que es 𝑥 más uno, lo denotamos como d de 𝑥. Este es nuestro divisor. El desarrollo de una división polinomial es muy parecido al de una división numérica. Se lleva a cabo exactamente de la misma manera. Tenemos que hallar cuántas veces nuestro divisor 𝑥 cabe en el dividendo tres 𝑥 al cubo más dos 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más uno.

Cuando usamos la división de números, queremos ver cuántas veces nuestro divisor cabe en el dígito de mayor valor posicional. Hacemos exactamente lo mismo aquí. Queremos saber cuántas veces 𝑥 cabe en el monomio de mayor grado. Que es tres 𝑥 al cubo. Por supuesto, tres 𝑥 al cubo dividido por 𝑥 es tres 𝑥 al cuadrado. O, alternativamente, podríamos escribir esto como tres 𝑥 al cuadrado por 𝑥 es igual a tres 𝑥 al cubo. Al igual que con la división numérica, escribimos esto en nuestro cociente. Pero recuerda que este es un término con 𝑥 al cuadrado, así que lo escribiremos en la columna para 𝑥 al cuadrado.

En la división de números, el siguiente paso es multiplicar este término que acabamos de agregar a nuestro cociente por nuestro divisor. Y después lo restamos de nuestro dividendo. Vamos a hacer exactamente lo mismo aquí. Primero, necesitamos calcular tres 𝑥 al cuadrado multiplicado por nuestro divisor 𝑥 más uno. Obtenemos tres 𝑥 al cubo más tres 𝑥 al cuadrado. Luego debemos restar esto de nuestro dividendo 𝑝 de 𝑥. Hacemos esto término a término. Primero, tres 𝑥 al cubo menos tres 𝑥 al cubo es igual a cero, y dos 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 al cuadrado es igual a menos 𝑥 al cuadrado.

Vale la pena mencionar que a menudo verás este término cero omitido en el cálculo. Esto se debe a que siempre tendremos un cero en esta posición. No importa si prefieres dejarlo o quitarlo. En este caso, vamos a omitirlo. Y luego, al igual que en una división, debemos bajar el resto de nuestros términos. Esto nos da menos 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más uno. Al igual que con la división de números, necesitamos repetir este proceso. Necesitamos ver cuántas veces 𝑥 cabe en nuestro término de grado más alto, menos 𝑥 al cuadrado.

Sabemos que menos 𝑥 al cuadrado dividido por 𝑥 es menos 𝑥. Lo escribimos en nuestro cociente en la columna que tenemos para 𝑥. Y, tal como hicimos antes, multiplicamos nuestro divisor 𝑥 más uno por menos 𝑥. Esto nos da menos 𝑥 por 𝑥 más uno. Y al hacer esto obtenemos menos 𝑥 cuadrado menos 𝑥. Lo siguiente que tenemos que hacer es restar esto de nuestro polinomio menos 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más uno. Hacemos esto término a término. Primero, menos 𝑥 al cuadrado menos menos 𝑥 al cuadrado es menos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado. Esto es igual a cero.

Después tenemos menos cuatro 𝑥 menos menos 𝑥, que es menos cuatro 𝑥 más 𝑥. Esto es igual a menos tres 𝑥. El siguiente paso es bajar el uno. Esto nos da menos tres 𝑥 más uno. Al igual que con la división con números, ahora necesitamos hacer todo esto otra vez. Continuamos bajando términos hasta que ya no quede ninguno que bajar. Otra vez, necesitamos ver cuántas veces 𝑥 entra en nuestro término de orden más alto. El cual es menos tres 𝑥. Esta vez, menos tres 𝑥 dividido por 𝑥 es igual a menos tres. Agregaremos esto a nuestro cociente. El siguiente paso es multiplicar menos tres por nuestro divisor 𝑥 más uno y restar esto de menos tres 𝑥 más uno.

Queremos hacer menos tres 𝑥 por 𝑥 más uno. Si distribuimos esto en nuestro paréntesis, obtenemos menos tres 𝑥 menos tres. Y ahora, restamos esto de menos tres 𝑥 más uno. Hacemos esto término a término. En el primer término, obtenemos menos tres 𝑥 menos menos tres 𝑥, que es menos tres 𝑥 más tres 𝑥, que es igual a cero. Después tenemos uno menos menos tres. Esto es uno más tres, que es igual a cuatro. Y ahora, si quisiéramos continuar con este proceso, tendríamos un problema. Nos preguntaríamos cuántas veces 𝑥 cabe en cuatro. Esto es simplemente cuatro dividido por 𝑥.

Esto no es un polinomio. En otras palabras, ya no podemos dividir esta expresión por nuestro divisor. De hecho, esto siempre sucederá cuando lleguemos a una expresión que tiene un grado menor que nuestro divisor. Y al igual que con la división numérica, a tal expresión la llamaremos resto o residuo. A esto lo denotaremos como 𝑟 de 𝑥 porque a menudo será un polinomio. Y al igual que la división regular, el polinomio tres 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos tres se llama «cociente». Y lo denotamos como 𝑞 de 𝑥.

Y obtenemos nuestra respuesta exactamente de la misma manera que lo hacíamos con la división regular. Podemos usar nuestro resto y nuestro cociente para reescribir 𝑝 de 𝑥 dividido por d de 𝑥 como 𝑞 de 𝑥 más 𝑟 de 𝑥 dividido por d de 𝑥, el cociente más el resto dividido por el divisor. Y para ello solo tenemos que sustituir 𝑞 de 𝑥, 𝑟 de 𝑥 y d de 𝑥 por las expresiones polinomiales que acabamos de obtener. Y al hacer esto, hallamos que la expresión que se nos dio en la cuestión se puede escribir en forma simplificada como tres 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos tres más cuatro dividido por 𝑥 más uno.

Veamos otro ejemplo para ayudarnos a reforzar lo que hemos aprendido.

Utiliza la división polinomial para hallar el cociente 𝑞 de 𝑥 y el resto 𝑟 de 𝑥 para 𝑝 de 𝑥 dividido por d de 𝑥, donde 𝑝 de 𝑥 es igual a 𝑥 a la séptima más 𝑥 a la sexta más 𝑥 a la cuarta más 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más uno y d de 𝑥 es igual a 𝑥 al cubo más 𝑥 más uno.

La cuestión nos dice que usemos división polinomial. Tenemos un dividendo 𝑝 de 𝑥 y un divisor d de 𝑥. Necesitamos hallar el cociente 𝑞 de 𝑥 y el residuo 𝑟 de 𝑥 cuando dividimos 𝑝 de 𝑥 por d de 𝑥. Antes de comenzar a resolver esta cuestión, hay un par de cosas que debemos verificar. Por ejemplo, debemos comprobar que nuestros polinomios 𝑝 de 𝑥 y d de 𝑥 están escritos en exponentes descendentes de 𝑥. En nuestro caso, esto es cierto, así que podemos empezar con nuestra división. Organicemos nuestra división. Tenemos nuestro divisor d de 𝑥 dividiendo nuestro polinomio 𝑝 de 𝑥.

Antes de empezar a hacer nuestra división, hay una cosa más que debemos mencionar. Si miramos nuestro dividendo 𝑝 de 𝑥, podemos ver que no hay un término con 𝑥 a la quinta ni un término con 𝑥 al cubo. En la división de números, cuando esto sucede, tenemos un dígito cero en ese lugar. Sin embargo, cuando se trata de un polinomio, simplemente no escribimos esos términos. Hay diferentes formas de resolver esto en la división. Podríamos dejarlo tal como está, o podemos agregar los términos cero 𝑥 a la quinta y cero 𝑥 al cubo. Ambos métodos funcionan, y puedes usar uno o el otro según prefieras. Pero, en este video, términos para mantener cada uno de nuestros términos en la columna correcta, simplemente vamos a dejar un espacio vacío donde irían los términos que faltan.

Pasemos a nuestra división. El término principal en 𝑝 de 𝑥 es 𝑥 a la séptima. Necesitamos dividir esto por 𝑥 al cubo. Y 𝑥 a la séptima entre 𝑥 al cubo es 𝑥 a la cuarta. Escribimos esto en nuestro cociente, y lo hacemos en la columna de términos 𝑥 a la cuarta. El siguiente paso es multiplicar nuestro divisor por el término de nuestro cociente 𝑥 a la cuarta. Los multiplicamos y obtenemos 𝑥 a la cuarta por 𝑥 al cubo más 𝑥 más uno. Y si desarrollamos esto y simplificamos, obtenemos 𝑥 a la séptima más 𝑥 a la quinta más 𝑥 a la cuarta.

Queremos restar esto de nuestro dividendo 𝑝 de 𝑥. Y debemos mantener cada término en su columna respectiva. Vamos a empezar con 𝑥 a la séptima. Después sumamos 𝑥 a la quinta. Finalmente, agregamos el término 𝑥 a la cuarta. Ahora, podemos restar este trinomio. Primero, obtenemos 𝑥 a la séptima menos 𝑥 a la séptima. Esto es igual a cero. Podemos escribir este término cero si queremos. Sin embargo, este término siempre nos dará cero. Así que es mejor dejarlo en blanco.

A continuación, tenemos 𝑥 a la sexta menos cero. Esto es igual a 𝑥 a la sexta. Luego, tenemos cero menos 𝑥 a la quinta. Esto es menos 𝑥 a la quinta. En la siguiente columna, tenemos 𝑥 a la cuarta menos 𝑥 a la cuarta. Esto es igual a cero. Dejamos este espacio en banco. Y bajamos el resto de nuestros términos. Cabe señalar que algunas personas prefieren dejar los términos en la parte superior hasta que los van necesitando. Pero de una u otra forma siempre bajaremos estos términos.

Una vez que hemos hecho todo esto, estamos listos para hallar el siguiente término de nuestro cociente. Dividimos 𝑥 a la sexta por 𝑥 al cubo. Y 𝑥 a la sexta dividido por 𝑥 al cubo es 𝑥 al cubo. Y escribimos esto en nuestra columna para los términos con 𝑥 al cubo. El siguiente paso en nuestra división es multiplicar 𝑥 al cubo por nuestro divisor 𝑥 al cubo más 𝑥 más uno. Esto nos da 𝑥 al cubo por 𝑥 al cubo más 𝑥 más uno. Y si desarrollamos esto y simplificamos, obtenemos 𝑥 a la sexta más 𝑥 a la cuarta más 𝑥 al cubo.

Ahora necesitamos restar este trinomio de nuestro polinomio. Es importante que escribamos cada término en la columna correcta. Así podremos restar término a término. En nuestra primera columna, obtenemos 𝑥 a la sexta menos 𝑥 a la sexta, que es cero. En nuestra segunda columna, obtenemos menos 𝑥 a la quinta menos cero, que es igual a menos 𝑥 a la quinta. En nuestra siguiente columna, obtenemos cero menos 𝑥 a la cuarta, que es menos 𝑥 a la cuarta. Obtenemos algo similar en nuestra columna siguiente. Tenemos cero menos 𝑥 al cubo, que es menos 𝑥 al cubo. Y nuevamente bajamos los términos restantes.

Una vez más, necesitamos hallar el siguiente término en nuestro cociente. Dividimos menos 𝑥 a la quinta por 𝑥 al cubo. Obtenemos menos 𝑥 al cuadrado. Nuevamente multiplicamos el término recién agregado a nuestro cociente por nuestro divisor. Desarrollando esto y simplificando, obtenemos menos 𝑥 a la quinta menos 𝑥 al cubo menos 𝑥 al cuadrado. Y lo restamos de nuestro polinomio. Recuerda, debemos escribir cada término en su columna correspondiente. Realizamos la resta término a término. Esta vez obtenemos menos 𝑥 a la cuarta más dos 𝑥 al cuadrado. Y luego bajamos el resto de nuestros términos.

Continuamos, y tenemos que hallar el siguiente término en 𝑞 de 𝑥. Así que dividimos menos 𝑥 a la cuarta por 𝑥 al cubo. Al hacer esto, obtenemos menos 𝑥. Multiplicamos menos 𝑥 por nuestro divisor. Efectuamos la multiplicación y obtenemos menos 𝑥 a la cuarta menos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥. Ahora, necesitamos restar este trinomio de nuestro polinomio. Al hacer la resta y bajar nuestro término uno, obtenemos tres 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno. Y, si intentáramos encontrar el siguiente término en nuestro cociente, obtendríamos tres 𝑥 al cuadrado dividido por 𝑥 al cubo. Esto es tres sobre 𝑥.

Y esto no es un polinomio. Esto nos dice que hemos terminado. Podemos ver que el polinomio que nos queda tiene un grado más bajo que nuestro divisor. Por tanto, hemos hallado nuestro cociente 𝑞 de 𝑥 y nuestro resto 𝑟 de 𝑥. Y esto nos da nuestra respuesta final. Hemos demostrado que nuestro cociente 𝑞 de 𝑥 es igual a 𝑥 a la cuarta más 𝑥 al cubo menos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 y que nuestro resto 𝑟 de 𝑥 es igual a tres 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno.

Ahora vamos a considerar un caso especial de nuestro divisor d de 𝑥. Usando la división de polinomios en 𝑝 de 𝑥 dividido por d de 𝑥, sabemos que podemos hallar polinomios 𝑞 de 𝑥 y 𝑟 de 𝑥 tales que 𝑝 de 𝑥 es igual a d de 𝑥 por 𝑞 de 𝑥 más 𝑟 de 𝑥. Queremos hablar del caso en el que dividimos por un polinomio lineal 𝑥 menos 𝑎. Esto significa que tenemos 𝑝 de 𝑥 igual a 𝑥 menos 𝑎 por 𝑞 de 𝑥 más 𝑟 de 𝑥. Pero esto significa que el grado de nuestro divisor es igual a uno. Y sabemos que nuestro resto debe tener un grado menor que nuestro divisor.

Si dividimos por un polinomio de primer grado, entonces nuestro resto debe tener grado cero. Es pues un número, una constante, que denotaremos como 𝑟. Y esto nos permite obtener un resultado muy útil. Veamos qué pasa si, en esa igualdad, sustituimos 𝑥 por 𝑎. Si sustituimos 𝑥 por 𝑎, obtenemos 𝑝 de 𝑎 es igual a 𝑎 menos 𝑎 por 𝑞 de 𝑎 más 𝑟. Sabemos que 𝑎 menos 𝑎 es igual a cero. Así que solo nos queda 𝑝 de 𝑎 igual a 𝑟. Y este es un resultado muy útil pues nos sirve para hallar el resto cuando dividimos por un polinomio lineal. Este resultado es conocido como teorema del resto o teorema del residuo. Precisemos lo que queremos decir con el teorema del resto.

El teorema del resto nos dice que, si dividimos un polinomio 𝑝 de 𝑥 por un polinomio lineal 𝑥 menos 𝑎, el resto es igual al valor de 𝑝 en 𝑎. Entre otras cosas, este es un resultado muy útil para ayudarnos a obtener nuestro resto. Otra cosa que vale la pena resaltar es lo que sucede cuando 𝑝 de 𝑎 es igual a cero. Cuando 𝑝 de 𝑎 es igual a cero, el teorema del resto nos dice que nuestro resto debe ser igual a cero. Pero ¿qué significa que nuestro resto sea igual a cero? Si nuestro resto es igual a cero, 𝑝 de 𝑥 es igual a 𝑥 menos 𝑎 por 𝑞 de 𝑥.

En otras palabras, si el resto es cero, entonces 𝑥 menos 𝑎 es un factor de nuestro polinomio 𝑝 de 𝑥. Y este es un teorema muy conocido. Se conoce como «teorema del factor». Si 𝑝 de 𝑎 es igual a cero, entonces 𝑥 menos 𝑎 es un factor de 𝑝 de 𝑥. De manera similar, si 𝑥 menos 𝑎 es un factor de 𝑝 de 𝑥, entonces el residuo de la división es igual a cero. Veamos un ejemplo en el que usamos el teorema del resto.

Halla el residuo cuando tres 𝑥 al cubo menos dos 𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑥 más cinco es dividido por tres 𝑥 más cuatro.

La cuestión nos pide hallar el término restante cuando un polinomio de tercer grado es dividido por un polinomio de primer grado. Una forma de hacer esto es mediante la división polinomial. Sin embargo, sabemos que este es un proceso largo. Sin embargo, observamos que estamos dividiendo por un polinomio lineal. Y que solo se nos pide que encontremos el resto. Esto nos hace acordarnos del teorema del resto. El teorema del resto nos dice que cuando 𝑝 de 𝑥 es dividido por un polinomio lineal 𝑥 menos 𝑎, el resto es una constante que es igual a 𝑝 evaluado en 𝑎.

Debemos tener un poco de cuidado en la manera en que usamos el teorema del resto en este caso. Estamos dividiendo por el polinomio de primer grado tres 𝑥 más cuatro, el cual no está en la forma 𝑥 menos 𝑎. Así que, en lugar de hacer nuestra división directamente, vamos a llamar a nuestro cociente 𝑞 de 𝑥 y a nuestro resto 𝑟 de 𝑥. Esto significa que tendremos tres 𝑥 al cubo menos dos 𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑥 menos cinco igual a tres 𝑥 más cuatro por 𝑞 de 𝑥 más 𝑟 de 𝑥 para polinomios todavía por determinar 𝑞 de 𝑥 y 𝑟 de 𝑥. Podemos ver que nuestro divisor es un polinomio lineal; tiene grado uno. Nuestro resto debe tener un grado menor que nuestro divisor. Esto significa que debe tener grado cero. En otras palabras, es una constante. La vamos a llamar 𝑟.

Y en este punto, hay dos formas similares de resolver esta ecuación. Si igualamos nuestro factor lineal a cero y resolvemos, obtenemos que 𝑥 es igual a menos cuatro partido por tres. Una forma de hallar el valor de 𝑟 es sustituir este valor directamente en esta expresión. Si hacemos esto, obtenemos que nuestro polinomio cúbico evaluado en menos cuatro sobre tres es igual a cero por 𝑞 evaluado en menos cuatro sobre tres más 𝑟. Pero esto se simplifica para darnos 𝑟. Y esta es una forma perfectamente válida de resolver esta cuestión. Sin embargo, vamos a hacer esto sacando un factor de tres fuera de nuestro divisor. Al hacer esto, podemos reescribirlo como tres por 𝑥 más cuatro sobre tres.

Y empezamos a ver algo interesante. Pues podemos considerar este tres como parte de 𝑞 de 𝑥. ¿Y qué tenemos ahora? Tenemos que nuestro polinomio de tercer grado es igual a 𝑥 más cuatro sobre tres por un polinomio más una constante. De hecho, lo que hemos hecho aquí es encontrar una expresión para nuestro polinomio cociente cuando dividimos nuestro polinomio cúbico por 𝑥 más cuatro sobre tres. Y hemos hallado que el resto cuando dividimos por 𝑥 más cuatro sobre tres es el mismo que el resto cuando dividimos por tres 𝑥 más cuatro. Esto significa que podemos usar el teorema del resto para hallar nuestro valor de 𝑟. Y lo hacemos evaluando nuestro polinomio cúbico en 𝑥 igual a menos cuatro sobre tres. Y llegamos a la siguiente expresión. Y finalmente, evaluando esta expresión, obtenemos que nuestro resto es igual a menos 11.

Repasemos ahora los puntos clave de este video. Primero, hemos demostrado, usando un método similar a la división de números, que podemos dividir dos polinomios. Sabemos que dividir un polinomio por un factor nos dará un resto igual a cero. También sabemos que el resto siempre tendrá un grado menor que el divisor. Finalmente, hemos aprendido sobre el teorema del resto o teorema del residuo, que nos dice que cuando un polinomio 𝑝 de 𝑥 se divide por el polinomio lineal 𝑥 menos 𝑎, el resto o residuo es una constante. Y es igual al valor de 𝑝 en 𝑎.

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