Vídeo: La derivada de una función vectorial

En este vídeo vamos a aprender cómo obtener la derivada de una función vectorial y cómo calcular un vector tangente unitario.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar las propiedades del cálculo para hallar la derivada de una función vectorial en un espacio bidimensional y tridimensional. Además, aprenderemos cómo obtener la derivada del producto escalar (punto) y vectorial (cruz) de dos funciones vectoriales, cómo calcular un vector tangente unitario, y también consideraremos la derivada de orden superior de este tipo de funciones.

La derivada 𝐫 prima de una función vectorial, 𝐫, se puede hallar de la misma manera que la de una función real. Es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝐫 de 𝑡 más ℎ menos 𝐫 de 𝑡 sobre ℎ, siempre y cuando el límite exista. Pero ¿qué significa esto? Sabemos que podemos calcular la diferencia entre dos vectores hallando la diferencia de sus componentes. Por lo tanto, si el vector 𝐫 viene dado por 𝑓 de 𝑡, 𝑔 de 𝑡 y ℎ de 𝑡, entonces 𝐫 de 𝑡 más ℎ menos 𝐫 de 𝑡 es 𝑓 de 𝑡 más ℎ menos 𝑓 de 𝑡, 𝑔 de 𝑡 más ℎ menos 𝑔 de 𝑡 y ℎ de 𝑡 más ℎ menos ℎ de 𝑡.

También sabemos que podemos dividir un vector por una constante dividiendo cada una de las componentes del vector por esa constante. Y ℎ es una constante. Esto nos viene de perlas, pues significa que podemos hallar la derivada de una función vectorial sacando la derivada de cada una de sus componentes.

Es decir, si 𝐫 de 𝑡 es una función vectorial 𝑓 de 𝑡, 𝑔 de 𝑡, ℎ de 𝑡, donde 𝑓, 𝑔 y ℎ son funciones derivables, entonces 𝐫 prima de 𝑡 es 𝑓 prima de 𝑡, 𝑔 prima de 𝑡 y ℎ prima de 𝑡. Asimismo, vemos que, si ℎ de 𝑡 es igual a cero, ℎ prima de 𝑡 es igual a cero. Así que este método también es válido para funciones vectoriales en dos dimensiones. Veamos un ejemplo.

Halla la derivada de la función vectorial 𝐫 de 𝑡 igual a uno más 𝑡 al cubo 𝐢 más cinco 𝑡 al cuadrado más uno 𝐣 más 𝑡 al cubo más dos 𝐤.

Como acabamos de ver, podemos obtener la derivada de una función vectorial hallando la derivada de cada componente. Esto significa que vamos a derivar por separado con respecto al parámetro 𝑡, uno más 𝑡 al cubo, cinco 𝑡 al cuadrado más uno y 𝑡 al cubo más dos. Sabemos que para derivar polinomios debemos multiplicar cada término por el exponente y luego reducir el exponente en uno. La derivada de uno es cero, y la derivada de 𝑡 al cubo es tres 𝑡 al cuadrado. Así que, al derivar nuestra componente para 𝐢, obtenemos tres 𝑡 al cuadrado.

Seguidamente derivamos la componente para 𝐣. Eso es 10𝑡 más cero, que es 10𝑡. Por último, derivamos 𝑡 al cubo más dos con respecto a 𝑡. La derivada de la constante es cero, así que obtenemos que la derivada de 𝑡 al cubo más dos es tres 𝑡 al cuadrado más cero o simplemente tres 𝑡 al cuadrado. De esta forma, la derivada, 𝑟 prima de 𝑡 es tres 𝑡 al cuadrado 𝐢 más 10𝑡 𝐣 más tres 𝑡 al cuadrado 𝐤.

Como ves, ha sido un procedimiento bastante sencillo. Y para ello basta con aplicar las reglas básicas de la derivada. Podemos hacer uso por supuesto de la regla de la cadena, y de las reglas del producto y del cociente junto con los resultados generales para derivar funciones tales como las trigonométricas o las logarítmicas. Teniendo esto en cuenta, vemos que podemos hallar la ecuación de la tangente a estas funciones vectoriales. Veamos un ejemplo de cómo podemos hacer esto.

Calcula 𝑓 prima de 𝑠 y halla la forma vectorial de la ecuación de la recta tangente en 𝑓 de cero para 𝑓 de 𝑠 igual a 𝑠 más uno, 𝑠 al cuadrado más uno y 𝑠 al cubo más uno.

En esta cuestión se nos ha dado una fórmula para 𝑓 en términos de sus coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑧. Podemos considerar esto como una función vectorial tal que el vector 𝐟 de 𝑠 es igual a 𝑠 más uno, 𝑠 al cuadrado más uno y 𝑠 al cubo más uno, donde 𝑠 más uno es la componente 𝐢, 𝑠 al cuadrado más uno es la componente 𝐣 y 𝑠 al cubo más uno es la componente 𝐤.

Recuerda que, para hallar la derivada de una función vectorial tan solo tenemos que sacar la derivada de cada componente. Esto quiere decir que vamos a derivar por separado con respecto a 𝑠, 𝑠 más uno, 𝑠 al cuadrado más uno y 𝑠 al cubo más uno. Y obtenemos uno, dos 𝑠 y tres 𝑠 al cuadrado, respectivamente. Volviendo a expresar la función según sus coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑧, hallamos que 𝑓 prima de 𝑠 es igual a uno, dos s, tres 𝑠 al cuadrado.

Aún tenemos que hallar la forma vectorial de la ecuación de la recta tangente en 𝑓 de cero. Como ya hemos estudiado, una recta que pasa por un punto 𝑥 cero, 𝑦 cero, 𝑧 cero con vector director 𝐯 está dada por la ecuación 𝐫 igual a 𝐫 cero más 𝑡 por 𝐯. Así que vamos a necesitar dos cosas, un punto por el que pasa nuestra recta y su vector director. Podemos obtener esto último calculando la derivada cuando el valor del parámetro, 𝑠, es igual a cero. Así que vamos a sustituir 𝑠 igual a cero en nuestra derivada. Eso es uno, cero, cero o uno 𝐢 más cero 𝐣 más cero 𝐤.

También podemos hallar el punto por el que pasa nuestra tangente sustituyendo 𝑠 igual a cero en la función original. Eso es 𝑓 de cero. Al hacerlo, obtenemos que 𝑓 de cero es cero más uno, cero más uno y cero más uno. Eso es uno, uno, uno. Por tanto, la forma vectorial de la ecuación de la recta tangente en 𝐟 de cero, llamémosla 𝐿, es uno, uno, uno más 𝑡 por uno, cero, cero.

Es posible que haya veces en las que tengamos que hallar un vector tangente unitario a una curva. Recordemos el ejemplo anterior. Vamos a empezar operando de la misma forma.

Comenzamos calculando la primera derivada. Es 𝐟 prima de 𝑠. Es uno, dos 𝑠, tres 𝑠 al cuadrado. Seguidamente hallamos el módulo de esta derivada. Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes. Así que es la raíz cuadrada de uno al cuadrado más dos 𝑠 al cuadrado más tres 𝑠 al cuadrado al cuadrado. Eso es raíz cuadrada de uno más cuatro 𝑠 al cuadrado más nueve 𝑠 a la cuarta. El vector tangente unitario es la primera derivada dividido por el módulo de esa derivada. Aquí, eso es uno partido por la raíz cuadrada de uno más cuatro 𝑠 al cuadrado más nueve 𝑠 a la cuarta, dos 𝑠 partido por la misma raíz y tres 𝑠 al cuadrado también partido por esa raíz.

Muy bien, hasta ahora parece que vamos bien. Sabemos cómo obtener la derivada de una función vectorial, cómo hallar la ecuación de la recta tangente y el vector tangente unitario. Pero, ¿qué ocurre cuando operamos con un producto escalar (punto) o con un producto vectorial (cruz) de dos funciones vectoriales? Afortunadamente, ciertas partes de la fórmula de la derivada de las funciones reales pueden aplicarse también para las funciones vectoriales.

Sean 𝐮 y 𝐯 funciones vectoriales derivables. Podemos decir que la derivada del producto escalar de 𝐮 y 𝐯 es igual al producto escalar de 𝐮 prima y 𝐯 más el producto escalar de 𝐮 y 𝐯 prima. Análogamente, la derivada del producto vectorial de 𝐮 y 𝐯 es igual al producto vectorial de 𝐮 prima y 𝐯 más el producto vectorial de 𝐮 y 𝐯 prima. Y también podemos aplicar la regla de la cadena para hallar la derivada de 𝐮 de 𝑓 de 𝑡. Es 𝑓 prima de 𝑡 por 𝐮 prima de 𝑓 de 𝑡. Veamos un ejemplo práctico de esto.

Calcula la derivada del producto escalar de 𝐫 de 𝑡 y 𝐬 de 𝑡 para la función vectorial 𝐫 de 𝑡 igual a seno de 𝑡 𝐢 más coseno de 𝑡 𝐣 y para la función vectorial 𝐬 de 𝑡 igual a coseno de 𝑡 𝐢 más seno de 𝑡 𝐣. Podemos extender la regla del producto con la que ya estamos familiarizados y decir que para las funciones vectoriales derivables, 𝐮 y 𝐯, la derivada del producto escalar de 𝐮 y 𝐯 es igual al producto escalar de 𝐮 prima y 𝐯 más el producto escalar de 𝐮 y 𝐯 prima. En nuestro caso, decimos que la derivada del producto escalar de 𝐫 y 𝐬 es igual al producto escalar de 𝐫 prima y 𝐬 más el producto escalar de 𝐫 y 𝐬 prima.

Comenzamos calculando 𝑟 prima de 𝑡 y 𝑠 prima de 𝑡, y para ello recordamos que para derivar una función vectorial, derivamos cada una de sus componentes. Por lo tanto, para 𝑟 prima de 𝑡 vamos a derivar seno de 𝑡 y coseno de 𝑡. La derivada de seno de 𝑡 es coseno de 𝑡 y la derivada de coseno de 𝑡 es menos seno de 𝑡. De esta forma hallamos que 𝑟 prima de 𝑡 es igual a coseno de 𝑡 𝐢 menos seno de 𝑡 𝐣. Para derivar 𝑠 de 𝑡 derivamos coseno de 𝑡 y seno de 𝑡. Y obtenemos menos seno de 𝑡 𝐢 más coseno de 𝑡 𝐣.

A continuación hallamos el producto escalar de 𝐫 prima de 𝑡 y de 𝐬 de 𝑡. Es coseno de 𝑡 por coseno de 𝑡, que es coseno al cuadrado 𝑡 más menos seno de 𝑡 por seno de 𝑡. Eso es menos seno al cuadrado de 𝑡. Podemos reescribir esto como coseno de dos 𝑡. Hallemos ahora el producto escalar de 𝐫 de 𝑡 y de 𝐬 prima de 𝑡. Es seno de 𝑡 por menos seno de 𝑡, que es menos seno al cuadrado de 𝑡 más coseno de 𝑡 por coseno de 𝑡. Que es coseno al cuadrado 𝑡. Vemos que esto es igual a menos seno al cuadrado de 𝑡 más coseno al cuadrado de 𝑡, que, una vez más, es coseno de dos 𝑡.

La derivada del producto escalar de las funciones 𝐫 y 𝐬 es la suma de estas dos funciones. Es coseno de dos 𝑡 más coseno de dos 𝑡, que es igual a dos coseno de dos 𝑡.. Y, por supuesto, podemos llegar a la misma solución calculando el producto escalar y luego hallando la derivada. Veamos si esto es así. El producto escalar de 𝐫 y 𝐬 es seno de 𝑡 por coseno de 𝑡 más coseno de 𝑡 por seno de 𝑡. Ahora vamos a hallar la derivada de seno de 𝑡 por coseno de 𝑡 más coseno de 𝑡 por seno de 𝑡.

Aplicamos la regla del producto a seno de 𝑡 por coseno de 𝑡 y luego a coseno de 𝑡 por seno de 𝑡, y obtenemos menos seno al cuadrado de 𝑡 más coseno al cuadrado de 𝑡 más menos seno al cuadrado de 𝑡 más coseno al cuadrado de 𝑡. Y cada uno de estos es igual a coseno de dos 𝑡. Por lo tanto, al igual que en la vez anterior, obtenemos que la derivada del producto escalar de 𝐫 y 𝐬 es dos coseno de dos 𝑡.

En el último ejemplo vamos a aprender cómo hallar la segunda derivada de una función vectorial.

Halla la segunda derivada de la función vectorial 𝐫 de 𝑡 igual a seno de dos 𝑡 𝐢 menos coseno de 𝑡 𝐣 más 𝑒 elevado a 𝑡 𝐤.

Recuerda que podemos hallar la derivada de una función vectorial sacando la derivada de cada componente. Esto significa que podemos hallar la primera derivada, 𝐫 prima de 𝑡, derivando por separado seno de dos 𝑡, menos coseno de 𝑡 y 𝑒 elevado a 𝑡 con respecto a 𝑡. La derivada de seno de dos 𝑡 es dos coseno de dos 𝑡. La derivada de menos coseno de 𝑡 es seno de 𝑡. Y la derivada de 𝑒 elevado a 𝑡 es muy sencilla de hallar. Es 𝑒 elevado a 𝑡. Así que ya tenemos 𝑟 prima de 𝑡, la primera derivada.

Ahora queremos hallar la segunda derivada. Es la derivada de una derivada. Y por tanto podemos seguir el mismo procedimiento para hallarla, derivando 𝐫 prima de 𝑡. Esto significa que vamos a derivar de forma separada cada componente de nuevo. Derivamos dos coseno de dos 𝑡, seno de 𝑡 y 𝑒 elevado a 𝑡 con respecto a 𝑡. La derivada de dos coseno de dos 𝑡 es menos cuatro coseno de dos 𝑡. La derivada de seno de 𝑡 es coseno de 𝑡. Y la derivada de 𝑒 elevado a 𝑡 es 𝑒 elevado a 𝑡. Así que en forma vectorial, la segunda derivada de nuestra función vectorial es menos cuatro coseno de dos 𝑡 𝐢 más coseno de 𝑡 𝐣 más 𝑒 elevado a 𝑡 𝐤.

En este vídeo hemos visto que podemos obtener la derivada de una función vectorial hallando la derivada de cada componente. Además, hemos aprendido que podemos utilizar la ecuación de una recta dada en forma vectorial para hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a la función en un punto, y que podemos hallar el vector tangente unitario dividiendo la función derivada por el módulo de la derivada. Por último, hemos visto que podemos aplicar a funciones vectoriales las mismas reglas básicas de la derivada de las funciones reales.

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