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Vídeo de la lección: Suma y resta de funciones racionales Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo sumar y restar funciones racionales, cómo identificar el dominio de las funciones resultantes y cómo simplificarlas.

18:00

Transcripción del vídeo

Ya hicimos una introducción a la suma y resta de expresiones racionales en un video anterior. Así que, en este video, vamos a ver algunos ejemplos un poco más difíciles de adición y sustracción de expresiones racionales, y vamos a aprender algunas técnicas que pueden ser útiles para simplificar los resultados.

En nuestro primer ejemplo, vamos a hacer una resta, tres 𝑥 sobre 𝑥 menos uno menos 𝑥 sobre 𝑥 más tres.

Como podemos ver, no hay factores comunes en estos denominadores. Por lo tanto, tenemos que hallar fracciones equivalentes para ambas fracciones, a fin de obtener un denominador común. Y la forma en que vamos a hacer eso es, vamos a tomar este primer denominador de aquí y vamos a multiplicar la parte superior e inferior de la segunda fracción por este denominador. Y tomamos el segundo denominador y hacemos lo mismo con la primera fracción. Así que ahora ambos denominadores son el mismo: 𝑥 más tres por 𝑥 menos uno. Seguramente recuerdas que 𝑥 más tres partido por 𝑥 más tres es simplemente uno. Por lo que esa primera fracción la hemos multiplicado por uno Y la segunda fracción la hemos multiplicado por 𝑥 menos uno sobre 𝑥 menos uno, que de nuevo es simplemente uno. Multiplicar algo por uno no lo cambia. Todavía tenemos la misma operación de antes, pero ahora la tenemos en un formato en el que ambas fracciones tienen los mismos denominadores.

Tal vez recuerdes que es una muy buena idea poner esos denominadores y todos estos pequeños términos entre paréntesis, cuando deben estar juntos. Y luego combinamos las dos fracciones en una sola fracción con ese denominador común. Ahora tenemos tres 𝑥 lotes de 𝑥 más tres como nuestro primer término, y 𝑥 lotes de 𝑥 menos uno como nuestro segundo término. Y ahora tenemos que desarrollar los paréntesis. Tres 𝑥 lotes de 𝑥 y tres 𝑥 lotes de más tres. Y luego es menos 𝑥 lotes de 𝑥 y menos 𝑥 lotes de menos uno. Así que tres 𝑥 lotes de 𝑥 es tres 𝑥 al cuadrado, y tres 𝑥 lotes de más tres es más nueve 𝑥. Menos 𝑥 por 𝑥 es menos 𝑥 al cuadrado, y menos 𝑥 por menos uno es más 𝑥. Y ahora tenemos que simplificar ese numerador. Tenemos tres al cuadrado y estamos restando 𝑥 al cuadrado, lo que nos da dos 𝑥 al cuadrado. Y luego tenemos nueve 𝑥 y estamos sumando otra 𝑥, lo que nos da más diez 𝑥.

Hecho esto podemos descomponer en factores el numerador. Tenemos un factor común de dos en cada uno de esos coeficientes, y también tenemos un factor común de 𝑥 que podemos sacar. Eso nos da dos 𝑥 lotes de 𝑥 más cinco todo sobre 𝑥 más tres lotes de 𝑥 menos uno. Ahora bien, si hubiéramos tenido un poco más de suerte, ese factor de allí, 𝑥 más cinco, habría sido el mismo que uno de los paréntesis en el denominador. Habríamos podido cancelarlos y hacer el resultado más simple. Pero como ese no es el caso, esta es nuestra respuesta. No podemos cancelar nada más. Así que eso es: dos 𝑥 por 𝑥 más cinco, todo partido por 𝑥 más tres por 𝑥 menos uno.

Para resumir, este es el método que vamos a usar, que consiste en hallar un denominador común en primer lugar. Ahora queremos intentar simplificarlo tanto como sea posible, lo antes posible. Pero esencialmente, tenemos que usar esta técnica de aquí, para obtener un denominador común. En segundo lugar, queremos combinar todo esto en una sola expresión racional, o sea, una sola fracción. Y luego desarrollamos y simplificamos el numerador, tal vez con un poco de factorización, y vemos tenemos la suerte de que alguno de los términos se cancele en nuestra respuesta final, para simplificar eso tanto como sea posible.

Muy bien.

En la siguiente cuestión, nos piden simplificar tres partido por 𝑥 más dos más dos 𝑥 partido por 𝑥 al cuadrado menos cuatro.

Antes de hacer cualquier otra cosa, fijémonos bien en este denominador aquí, 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Deberíamos reconocer inmediatamente que esa es una diferencia de dos cuadrados. Así que podemos reescribir eso como 𝑥 menos dos por 𝑥 más dos. Escribamos ahora nuestra expresión de esa manera, y veamos si eso nos da alguna pista sobre cómo podemos seguir adelante. Cuando hacemos eso, podemos ver que el denominador aquí es 𝑥 más dos, pero este denominador también tiene un factor de 𝑥 más dos. Entonces, si queremos un denominador común, podemos simplemente tomar esta parte de aquí, este factor, 𝑥 menos dos, y multiplicar la parte superior e inferior de esa primera fracción para obtener una fracción equivalente con el mismo denominador. Recuerda, 𝑥 menos dos sobre 𝑥 menos dos es solo uno. Solo hemos multiplicado esa primera fracción por uno. No hemos cambiado su tamaño, su magnitud, solo tenemos una fracción equivalente. Pero ahora ambos tienen un denominador de 𝑥 menos dos por 𝑥 más dos. Así que combinémoslos en una fracción.

Y el primer término es tres por 𝑥 menos dos. Simplemente hemos cambiado el orden y ahora es tres por 𝑥 menos dos. No importa el orden de los factores en una multiplicación. Y después tenemos dos 𝑥, para nuestro segundo término, en el numerador. Ahora desarrollamos ese paréntesis en el numerador y ver si podemos simplificar el numerador. Y tres por 𝑥 es tres 𝑥, y tres por menos dos es menos seis. Obtenemos, pues, tres 𝑥 menos seis más dos 𝑥 en la parte superior, y ahora podemos reducir tres 𝑥 más dos 𝑥 a cinco 𝑥. Y eso nos deja con cinco 𝑥 menos seis sobre 𝑥 menos dos 𝑥 más dos. Mirando ese numerador, vemos que no tenemos ningún factor común. No podemos simplificar eso. Nada podemos cancelar en la parte superior e inferior. Así que, esta será nuestra respuesta final.

En nuestro siguiente ejemplo vamos a simplificar uno partido por 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 más seis, más uno partido por 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más doce. Ahora bien, no es buena idea multiplicar la parte superior e inferior de la segunda fracción por el denominador de esta primera fracción de aquí, porque terminaríamos con expresiones increíblemente complicadas. Lo que debemos hacer, antes que nada, es intentar descomponer en factores los dos denominadores, y ver luego si tienen un factor común. Lo que debemos hacer, antes que nada, es intentar descomponer en factores los dos denominadores, y ver luego si tienen un factor común. Pero factoricemos primero esos dos denominadores.

Ambas son expresiones cuadráticas, así que sabemos que vamos a tener 𝑥 aquí y 𝑥 aquí porque ya tienen una 𝑥 al cuadrado y una 𝑥 al cuadrado. Tendrán 𝑥 aquí y 𝑥 aquí. Y tenemos que hallar dos números en el primer caso que sumados hacen más cinco, y multiplicados hacen seis. Esos son más dos y más tres. Y en el segundo caso, estamos buscando números que sumados hacen siete y multiplicados hacen doce. Que son los números más cuatro y más tres.

Ahora, antes de continuar, hagamos una verificación rápida. 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. 𝑥 por tres es tres 𝑥, dos por 𝑥 es dos 𝑥, por lo que son dos 𝑥 y tres 𝑥, que es cinco 𝑥. Y dos por tres son seis. Así que eso funciona. Y 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. 𝑥 por tres es tres 𝑥, cuatro por 𝑥 es cuatro 𝑥, tres 𝑥 y cuatro 𝑥 es siete 𝑥. Y cuatro por tres son doce. Así que esto también funciona.

Excelente. Nos damos cuenta de que ambos denominadores tienen 𝑥 más tres como factor. Entonces, tendremos que tomar este factor diferente y multiplicar la parte superior e inferior de la segunda fracción por este factor. Y tendremos que tomar este otro factor diferente y multiplicar la parte superior e inferior de la primera fracción por ese binomio. Y cuando hacemos eso, tenemos un denominador común con tres paréntesis multiplicados, tres pares de paréntesis multiplicados. Y ahora vamos a combinar las dos fracciones en una sola fracción. Tengo uno por 𝑥 más cuatro más uno por 𝑥 más dos. Por supuesto, uno multiplicado por cualquier cosa es esa cosa. Obtenemos, pues, 𝑥 más cuatro más 𝑥 más dos. Y 𝑥 más 𝑥 es dos 𝑥, y más cuatro más otros dos es más seis. Y mirando esto, en el numerador aquí, vemos que tenemos un factor común en dos y seis. Dos es un factor común; así que podemos factorizar eso para obtener dos por 𝑥 más tres, todo partido por 𝑥 más dos por 𝑥 más tres por 𝑥 más cuatro. Si lo miramos con mucho cuidado, tenemos dos por 𝑥 más tres. 𝑥 más tres es un factor en el numerador, y 𝑥 más tres también es un factor en el denominador. Si dividimos el numerador y el denominador por 𝑥 más tres, se cancelan, lo que nos da nuestra respuesta final de dos sobre 𝑥 más dos por 𝑥 más cuatro.

Bien, veamos ahora algunas restas. 𝑥 más tres sobre 𝑥 más cuatro menos 𝑥 menos uno sobre 𝑥 más uno. No hay factores comunes en los denominadores. Así que vamos a escribir esto y vamos a intentar obtener un denominador común.

Primero, como dijimos anteriormente, nos aseguramos de poner entre paréntesis los numeradores y los denominadores, porque ahora son numeradores un poco más complicados, para mantener estos términos juntos. Vamos a usar este denominador aquí para multiplicar la parte superior e inferior de esta fracción. Y vamos a tomar este denominador y multiplicar la parte superior e inferior de la otra fracción por eso. Así que ahora tenemos 𝑥 más uno por 𝑥 más cuatro como nuestro común denominador. Podemos combinar esos dos términos en una sola fracción. Y ahora vamos a tener que multiplicar estos paréntesis y estos paréntesis. Aquí es donde se pone más complicado. Como tenemos un signo menos aquí, estamos restando toda esa segunda expresión de aquí, de la primera expresión de aquí. Así que debemos tener mucho cuidado en la forma en que lo presentamos. Así que en un primer paso vamos a multiplicar los paréntesis y dejar el resultado entre paréntesis con un signo menos al frente, y luego quitaremos los paréntesis del todo.

Multiplicando el primer paréntesis, tenemos 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. 𝑥 por tres es más tres 𝑥, uno por 𝑥 es más uno 𝑥. Y tres 𝑥 y uno 𝑥 son cuatro 𝑥. Luego tenemos uno por tres, ambos positivos, así que son tres. Y para el segundo término aquí, tenemos 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. 𝑥 por cuatro es más cuatro 𝑥. Menos uno por 𝑥. Estamos restando una 𝑥, así que cuatro 𝑥 menos uno 𝑥 es tres 𝑥. Y menos uno por más cuatro es menos cuatro. Vamos a restar 𝑥 al cuadrado. Vamos a restar más tres 𝑥. Restamos tres 𝑥, menos tres 𝑥. Y estamos restando menos cuatro, que es como sumar cuatro. Reescribamos ahora nuestro numerador.

Los primeros términos aquí se mantendrán como están. Y luego, como dijimos, restamos 𝑥 al cuadrado. Restamos más tres 𝑥, o sea, restando tres 𝑥. Y restamos menos cuatro, que es lo mismo que sumar cuatro. Y ahora podemos simplificar eso. Tenemos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado. Eso es cero, así que los términos se cancelan. Tenemos cuatro 𝑥 y restamos tres 𝑥, así que es solo uno 𝑥. Y tenemos más tres y estamos sumando cuatro, así que eso es siete, lo que nos deja con 𝑥 más siete todo sobre 𝑥 más uno por 𝑥 más cuatro. Podríamos poner paréntesis alrededor de la parte superior si quisiéramos, o incluso podríamos desarrollar el denominador. Pero no se cancelará nada más. Así que esa es nuestra respuesta final.

Y lo más difícil fue el hecho de que tuvimos que hacer mucho trabajo. Y operar correctamente con los signos negativos de aquí fue realmente el paso crucial y el más difícil Ahí es donde la mayoría de la gente se equivoca en este tipo de pregunta.

En nuestra siguiente resta de expresiones racionales, tenemos tres sobre 𝑥 menos dos menos dos 𝑥 menos dos sobre dos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos seis. Y como hemos visto anteriormente en algunas de estas cuestiones, lo primero que debemos hacer es factorizar todo lo que podamos. Y parece que el numerador del segundo término se factorizará. Y parece que el denominador también se factorizará aquí. Así que intentemos hacer eso.

Hemos puesto el denominador del primer término entre paréntesis, porque siempre es una buena idea. Y el numerador del segundo término es bastante fácil de descomponer en factores. Así que dos es el factor común, y tenemos dos por 𝑥 menos uno. Ahora el denominador, un poco más complicado, dos 𝑥 al cuadrado, vamos a tener dos paréntesis; es una expresión cuadrática. Uno de ellos tendrá que ser dos 𝑥, y uno de ellos tendrá que ser 𝑥, porque dos 𝑥 por 𝑥 es dos 𝑥 al cuadrado. Y ahora tenemos que jugar un poco, para tratar de resolver cuáles serán los otros términos.

Debemos tener dos 𝑥 y 𝑥, porque dos 𝑥 por 𝑥 es 𝑥- dos 𝑥 al cuadrado. Pero uno de los otros términos será, bien, tienen que multiplicarse para dar menos seis y se combinarán para obtener esta expresión completa. Y con un poco de prueba y error, vemos que son dos 𝑥 más tres y 𝑥 menos dos. Esto es útil porque tenemos 𝑥 menos dos y tenemos 𝑥 menos dos. Tenemos un factor común aquí. Lo único que falta en este denominador de la primera fracción es este término de aquí, dos 𝑥 más tres. Multiplicamos la parte superior e inferior por dos 𝑥 más tres. Y esa es una fracción equivalente al primer término. Ahora tenemos dos términos con un denominador común de dos 𝑥 más tres por 𝑥 menos dos. Así que podemos combinarlos en una sola fracción, que es tres por dos 𝑥 más tres, que es el primer término en el numerador, menos dos por 𝑥 menos uno, que es el segundo término. Tendremos que desarrollar estos paréntesis en el numerador. Por lo tanto, menos dos por 𝑥 y menos dos por menos uno. Bien, tres por dos 𝑥 es seis 𝑥, tres por más tres es más nueve, menos dos por 𝑥 es menos dos 𝑥, y menos dos por menos uno es más dos. Podemos simplificar esto. Tenemos seis 𝑥 menos dos 𝑥 es cuatro 𝑥, y nueve más dos es once, más once.

Si nos fijamos en el numerador, veremos que no tiene factores comunes. El denominador no se puede descomponer en factores. Y nada se puede cancelar en el numerador y en el denominador. Así que esto es todo; esta es nuestra respuesta a esta cuestión. Una vez más, solo tenemos que tener mucho ojo cuando estamos operando términos con signos negativos, cuando los estamos restando. En este ejemplo, tuvimos que hacer bastante trabajo al principio para descomponer en factores nuestro numerador y denominador, pero esto sirvió para que la parte de la multiplicación, incluido hallar la fracción equivalente con el denominador común, fuera mucho más fácil.

Muy bien. Terminemos con esta cuestión un tanto complicada.

Nos piden restar dos expresiones racionales. Vamos a restar una de la otra. Pero tenemos que demostrar que es igual a una expresión particular. A veces, cuando hacemos un cálculo, podemos terminar con una respuesta en una variedad de formas diferentes. Pero en este caso, nos piden una forma muy específica de la respuesta. Así que vamos a seguir adelante y vamos a ver qué podemos hacer con esto. En primer lugar, parece que vamos a poder descomponer en factores los denominadores. Pero si miramos ese primer término y ponemos un paréntesis alrededor del numerador, podemos ver que ese paréntesis, el numerador, si lo dividimos por 𝑥 más cinco, obtenemos uno. Y si dividimos el denominador por 𝑥 más cinco, eso también se convierte en uno aquí. Obtenemos, pues, uno sobre dos menos 𝑥 por tres más 𝑥. Tenemos un primer término un poco más simple. Echemos un vistazo a lo que podemos hacer a continuación.

En nuestro cálculo, hemos demostrado que los términos se cancelan y que el primer término es igual a uno sobre dos menos 𝑥 por tres más 𝑥. Y el segundo término, podemos reescribirlo factorizando el denominador. Y para obtener menos 𝑥 al cuadrado, necesitamos menos 𝑥 por más 𝑥. Y solo tenemos que averiguar cuáles son los números, que se multiplican para hacer seis y se suman para hacer menos uno, que es el coeficiente de ese término 𝑥 aquí. En este caso serán dos menos 𝑥 y tres más 𝑥. Básicamente hemos reescrito esos dos primeros términos. Y resulta que, si nos fijamos bien en los dos términos de la izquierda, vemos que tienen denominadores comunes. Así que vamos a poder restarlos. Volvamos a escribir el lado izquierdo. Y recuerda, el primer término se puede reexpresar como uno sobre dos menos 𝑥 por tres más 𝑥. Y estamos restando ese segundo término, que acabamos de expresar como 𝑥 sobre dos menos 𝑥 por tres más 𝑥. Así que aquí tenemos nuestro común denominador. Podemos combinar estas dos fracciones en una sola fracción.

Y eso se parece bastante a lo que tenemos que hallar, pero no es lo mismo. En lugar de uno, en lugar de 𝑥 menos uno, tenemos uno menos 𝑥. Y en lugar de 𝑥 menos dos, tenemos dos menos 𝑥. Pero tenemos 𝑥 más tres, tres más 𝑥, son lo mismo. Tres más 𝑥 es lo mismo que 𝑥 más tres. Así que aquí tenemos que ser un poco creativos sobre lo que haremos. Lo que podemos hacer es multiplicar la parte superior y la inferior por menos uno. Y eso nos da estas expresiones, que cuando las reordenamos, nos dan la respuesta que estábamos buscando.

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