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Propiedades de las variaciones
En este video, vamos a aprender cómo usar algunas propiedades de las variaciones para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Primero, vamos a repasar algunas cosas que sabemos de las variaciones. Una variación es un arreglo de una colección de elementos donde el orden importa y la repetición no está permitida. Es posible que escuches decir que las variaciones representan una extracción sin reemplazo en la que orden es importante. Calculamos el número de posibles variaciones para un conjunto de elementos con esta fórmula: 𝑛𝑃𝑟 es igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. Dados enteros no negativos 𝑛 y 𝑟 que satisfacen que 𝑛 es mayor o igual que 𝑟, la permutación 𝑛𝑃𝑟 representa el número de formas diferentes de ordenar 𝑟 objetos extraídos de entre un total de 𝑛 objetos distintos.
También es importante tener en cuenta otras notaciones habituales que se usan para 𝑛𝑃𝑟. Puede ser superíndice 𝑛 𝑃 subíndice 𝑟, o 𝑃 superíndice 𝑛 subíndice 𝑟, o 𝑃 subíndice 𝑛 coma 𝑟, o 𝑃 𝑛, 𝑟; y hay aún bastantes más notaciones. Cada una de estas notaciones representa el número de formas en que podemos ordenar 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos sin repetición. Repasemos ahora algunas de las propiedades que comparten todas las variaciones. Toda variación 𝑛𝑃𝑟 es igual a 𝑛 por la variación 𝑛 menos uno 𝑃 𝑟 menos uno.
Si aplicamos esta propiedad a la variación cinco 𝑃 tres, hallaremos que es igual a cinco por la variación cuatro 𝑃 dos. Sabemos que 𝑛𝑃𝑟 es igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. Así que podemos reescribir cinco 𝑃 tres como cinco factorial sobre dos factorial. Además, podemos reescribir cuatro 𝑃 dos como cuatro factorial sobre dos factorial. Al desarrollar los factoriales a cada lado de la ecuación, descubrimos que la igualdad es cierta. Tanto cinco 𝑃 tres como cinco por cuatro 𝑃 dos son iguales a 60.
Una propiedad relacionada de los factoriales que usamos a menudo cuando se trata de variaciones es que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial, lo que significa que seis factorial es igual a seis por seis menos uno factorial. Seis factorial es igual a seis por cinco factorial. Podemos extender esta propiedad aún más para decir que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos factorial. Si usamos nuestro ejemplo de seis factorial nuevamente, podemos ver que es igual a seis por cinco por cuatro factorial. Antes de continuar, también debemos tener en cuenta que cero factorial es igual a uno, y que uno factorial también es igual a uno.
A continuación, vamos a ver algunos ejemplos en los que usamos la definición de variación y sus propiedades para resolver problemas.
Evalúa 123𝑃10 sobre 122𝑃 nueve.
Nos han dado una fracción en la que el numerador y el denominador son variaciones en la forma 𝑛𝑃𝑟. Una forma de resolver este problema es desarrollar el numerador y el denominador. El numerador 123𝑃10 se convierte en 123 factorial sobre 123 menos 10 factorial. Y luego, dividimos eso por 122 factorial dividido por 122 menos nueve factorial. Resolviendo la resta, podemos simplificar ambas expresiones a 113 factorial. Sabemos que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el recíproco. Y nuestro factorial 113 en el numerador y el denominador se cancelan entre sí. Para simplificar un poco más, podemos usar que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 menos uno factorial. Y eso significa que podemos reescribir 123 factorial como 123 por 122 factorial. En esta forma, podemos ver rápidamente que 122 factorial en el numerador y el denominador se cancelan, dejándonos con 123.
Además, existe una forma mucho más sencilla de resolver este problema usando una propiedad de las variaciones. Esta propiedad nos dice que toda variación 𝑛𝑃𝑟 es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno 𝑃 𝑟 menos uno. Por lo tanto, 123𝑃10 es igual a 123 por 122𝑃 nueve. Usando este método de simplificación, podemos cancelar 122𝑃 nueve del numerador y del denominador sin necesidad de desarrollarlos a la forma factorial. En cualquier caso, vemos que 123𝑃10 sobre 123𝑃 nueve es igual a 123.
Veamos otro ejemplo.
Si 𝑛𝑃15 es igual a 23 por 𝑛 menos uno 𝑃14, halla 𝑛.
En nuestra ecuación, tenemos una variación que es igual a 23 veces otra variación. Sabemos que una variación nos dice de cuántas maneras podemos ordenar 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos sin repetición. En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos 𝑛 elementos. Y en el lado derecho, tenemos 𝑛 menos uno elementos. El número de elementos que estamos seleccionando, 𝑟, en el lado izquierdo es 15. Y en el lado derecho, tenemos 𝑟 menos uno, que es 14. Por lo que nuestra ecuación se ajusta a la forma 𝑛𝑃𝑟 es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno 𝑃 𝑟 menos uno. Así que 𝑛 debe ser igual a 23. Reemplazando lo que sabemos, obtenemos 23𝑃15 es igual a 23 por 22𝑃14.
Podemos verificar que estos valores son equivalentes usando la función de variación en una calculadora o computadora. Así, hemos demostrado que aquí 𝑛 es igual a 23. Pasemos a nuestro tercer ejemplo.
Si 49𝑃 𝑟 más tres es igual a 34 por 49𝑃 𝑟 más dos, halla el valor de 𝑟 menos seis factorial.
Una forma de resolver esto será convertir primero cada una de estas variaciones a la forma factorial usando la definición 𝑛𝑃𝑟 igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. Reescribimos 49𝑃 𝑟 más tres como 49 factorial sobre 49 menos 𝑟 más tres factorial. Ten en cuenta que, en este caso, nuestro 𝑟, el número de elementos que estamos eligiendo, es 𝑟 más tres y que la resta se aplica tanto al 𝑟 como al tres. El otro lado de la ecuación se convierte en 34 por 49 factorial sobre 49 menos 𝑟 más dos factorial. Tenemos 49 factorial en el numerador a ambos lados de la ecuación, lo que significa que podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por uno sobre 49 factorial.
A la izquierda, nos quedamos con un numerador de uno. Y en el denominador, podemos restar 𝑟 y restar tres de 49, lo que nos dará uno sobre 46 menos 𝑟 factorial. El numerador en el lado derecho se convierte en 34, y el denominador es 47 menos 𝑟 factorial. En este punto, puede que no parezca claro qué debemos hacer. Pero como estamos tratando de hallar 𝑟, es una buena idea tener todas las letras 𝑟 en el mismo lado de la ecuación. Así que multiplicamos ambos lados de la ecuación por 47 menos 𝑟 factorial. Esto nos da 47 menos 𝑟 factorial sobre 46 menos 𝑟 factorial igual a 34. Nuestro denominador es un factorial que es uno menos que nuestro numerador.
Sabemos que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial. Podemos aplicar esto aquí, pero debemos tener cuidado. En nuestro caso, 𝑛 es 47 menos 𝑟. Y eso significa que 47 menos 𝑟 factorial es igual a 47 menos 𝑟 por 47 menos 𝑟 menos uno factorial. Y podemos escribir 47 menos 𝑟 factorial como 47 menos 𝑟 por 46 menos 𝑟 factorial. Si sustituimos esto en nuestro numerador, el factorial de 46 menos 𝑟 se cancela en el numerador y en el denominador. Y obtenemos 47 menos 𝑟 igual a 34. Si restamos 47 de ambos lados, hallamos que menos 𝑟 es igual a menos 13, o sea, obtenemos 𝑟 igual a más 13. Nuestro último paso es calcular 𝑟 menos seis factorial, que ahora sabemos que es 13 menos seis factorial. Resolviendo esto, que es siete factorial, a mano o con una calculadora obtenemos 5040.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver una ecuación que contiene factoriales y una variación, y tenemos que hallar el valor de la incógnita.
Si 𝑥 menos 47 factorial por 𝑥𝑃47 es igual a 3906 por 𝑥 menos dos factorial, halla el valor de 𝑥.
Si miramos la ecuación que nos dan, vemos una incógnita 𝑥 y dos factoriales diferentes, y vemos que 𝑥 es el tamaño del conjunto del cual estamos extrayendo una variación. Sabemos que toda variación de la forma 𝑛𝑃𝑟 podemos reescribirla como 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial, lo que significa que podemos reescribir 𝑥𝑃47 como 𝑥 factorial sobre 𝑥 menos 47 factorial. Si bajamos el resto de la ecuación, vemos que tenemos 𝑥 menos 47 factorial en el numerador y el denominador en el lado izquierdo. Por lo tanto, nuestra ecuación se simplifica a 𝑥 factorial igual a 3906 por 𝑥 menos dos factorial.
Como estamos tratando de hallar el valor de 𝑥, queremos tener todas nuestras letras 𝑥 en el mismo lado de la ecuación. Para hacer eso, dividimos el lado izquierdo y el derecho de la ecuación por 𝑥 menos dos factorial. Y tenemos 𝑥 factorial sobre 𝑥 menos dos factorial igual a 3906. En este punto, parece que no es posible simplificar más. Pero recuerda que 𝑛 factorial se puede reescribir como 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial. De hecho, podemos extender esta propiedad aún más y escribir 𝑛 factorial como 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos factorial.
Así que, nuestro numerador, 𝑥 factorial, se puede reescribir y desarrollar como 𝑥 por 𝑥 menos uno por 𝑥 menos dos factorial. El término 𝑥 menos dos factorial aparece tanto en el numerador como en el denominador y, por lo tanto, puede ser cancelado, dejándonos con 𝑥 por 𝑥 menos uno igual a 3906. En cualquier variación, el valor de 𝑛 debe ser un número entero no negativo. Esto significa que nuestro valor 𝑥 es un número entero. Estamos buscando un número entero 𝑥 que es tal que al multiplicarlo por un número entero que es uno menos que eso se obtiene 3906. Una estrategia para estimar esto es usar una calculadora y hallar la raíz cuadrada de 3906, que es aproximadamente 62.5, redondeando al entero más cercano 62. Luego dividimos 3906 por 62 con la calculadora, y obtenemos 63. Como 63 por 62 es igual a 3906, podemos decir que 𝑥 es igual a 63.
Otra forma de resolver este problema es crear una ecuación cuadrática multiplicando 𝑥 por 𝑥 menos uno. Y luego, igualando esta ecuación a cero, puedes resolverla usando la fórmula cuadrática o factorizando. Si resuelves la cuestión usando la fórmula cuadrática, es importante tener en cuenta que habrá dos soluciones para 𝑥, y que uno de esos valores es negativo. Resolver con la fórmula cuadrática da como resultado 𝑥 igual a 63 y 𝑥 igual a menos 62. El menos 62 no es resultado válido porque el valor de 𝑥 aquí debe ser un número entero no negativo. No podemos tener un valor 𝑛 negativo porque una variación es el número de formas de elegir 𝑟 objetos de un conjunto de 𝑛 objetos distintos. Esto hace que la única opción válida para 𝑛 sea 63. También puedes verificar que este valor es verdadero reemplazando 63 en la ecuación original.
Para terminar, repasemos los puntos clave. El número de variaciones de tamaño 𝑟 tomado de un conjunto de tamaño 𝑛 está dado por 𝑛𝑃𝑟 igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. Usando la propiedad de los factoriales de que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial, podemos simplificar expresiones fraccionarias que incluyen variaciones. Y, finalmente, usando la propiedad de las variaciones de que 𝑛𝑃𝑟 es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno 𝑃 𝑟 menos uno, podemos simplificar algunas expresiones que incluyen variaciones.
