Video Transcript
En este video, vamos a hablar de la razón trigonométrica tangente. Y vamos a ver cómo esta razón se puede usar para hallar longitudes desconocidas de lados o medidas desconocida de ángulos en triángulos rectángulos. Antes que nada vamos a echar un vistazo a la definición de razón tangente. Aquí hemos dibujado un triángulo rectángulo. Y he marcado uno de los otros dos ángulos con la letra griega 𝜃. A menudo, el primer paso en cualquier problema que involucre trigonometría de ángulos rectángulos es identificar y nombrar los tres lados con respecto al ángulo en el que estamos interesados. En este caso, eso significa con respecto a este ángulo 𝜃.
En un triángulo rectángulo, recuerda, el lado más largo, que es el lado opuesto al ángulo recto, siempre se llama hipotenusa. Así que ese es este lado de aquí. Los otros dos lados de un triángulo rectángulo se llaman cateto opuesto y cateto contiguo o cateto adyacente. Y esos nombres dependen de su posición con respecto a este ángulo 𝜃. Así que, el cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo 𝜃. Es el único lado que no está involucrado en formar ese ángulo. Para este triángulo, es este lado de aquí. Finalmente, el cateto contiguo o cateto adyacente es el lado entre el ángulo y el ángulo recto. Así que ese es este tercer lado de aquí.
La trigonometría trata de las diferentes relaciones que existen entre estos pares de lados para valores específicos de este ángulo 𝜃. Probablemente ya sabes un poco de las dos razones trigonométricas seno y coseno, o sen y cos como a menudo se abrevian. En este video, vamos a centrarnos en la función tangente, o tan, como también se la conoce. Así que la función tangente para un ángulo particular 𝜃 es el valor del cociente entre el cateto opuesto y el contiguo. Por lo tanto, se calcula dividiendo la longitud del lado opuesto por la longitud del lado adyacente. Si estás familiarizado con las siglas SOHCAHTOA en trigonometría, entonces es esta parte de TOA aquí al final. La tan de un ángulo es igual a O, el cateto opuesto, dividido por A, el cateto adyacente.
Por lo tanto, si conocemos la longitud de uno de estos dos lados y conocemos el ángulo, podemos usar esta relación aquí para calcular la longitud del otro lado. La otra cosa que podríamos querer hacer es calcular el tamaño del ángulo cuando conocemos tanto el opuesto como el adyacente. Y para hacer eso, necesitamos algo llamado tangente inversa. La cual se expresa usando esta notación aquí, tan, y luego un superíndice menos uno. Y esto nos dice que el ángulo 𝜃 es igual a tan inversa del cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Lo que esto significa es que, si sabemos cuál es la razón entre esos dos pares de lados, podemos usarla para calcular el ángulo que da lugar a esa razón. Y estos son los dos hechos clave que debemos recordar a lo largo de este video. A continuación, vamos a ver cómo aplicarlos para calcular longitudes y ángulos en triángulos rectángulos. Así que aquí está nuestra primera cuestión.
Nos dan un diagrama de un triángulo rectángulo. Y nos piden hallar el valor de 𝑥 a la décima más cercana.
Mirando el diagrama, podemos ver que 𝑥 representa un lado de longitud desconocida. Y también nos dan la longitud de un lado y el tamaño de uno de los ángulos agudos, además del ángulo recto. Así que nuestro primer paso, como con cualquier problema de trigonometría, es etiquetar los tres lados con sus nombres, la hipotenusa, el cateto adyacente y el cateto opuesto. Y lo normal es usar la primera letra de cada una de esas palabras para nombrarlos. Recordaremos ahora la definición de la función tangente. La tan de 𝜃 es igual al cateto opuesto dividido por el cateto adyacente. Así que lo que vamos a hacer es escribir esta razón para este triángulo específico. Vamos a reemplazar 𝜃, que es el ángulo con 38 grados. Reemplazamos el opuesto con cuatro porque esa es su longitud en el diagrama. Y el adyacente con 𝑥 porque esa es la etiqueta que se le ha dado.
Y ahora, tenemos esta ecuación de aquí, tan de 38 es igual a cuatro sobre 𝑥. Esta es una ecuación que podemos resolver para calcular el valor de esta letra 𝑥. 𝑥 está en el denominador de una fracción en el lado derecho. Entonces, para sacarla del denominador, vamos a multiplicar ambos lados de esta ecuación por 𝑥. Haciendo esto obtenemos 𝑥 tan 38 igual a cuatro. Y para calcular 𝑥, el siguiente paso es dividir ambos lados de esta ecuación por tan 38. Tan 38 es simplemente un número. Así que puedo hacer esto. Hallamos que 𝑥 es igual a cuatro dividido por tan 38. Vamos a necesitar una calculadora para responder esta cuestión. Nuestra calculadora ya tiene programado cómo calcular los valores de sen, cos y tan para todos los ángulos posibles. Así que podemos tranquilamente escribir tan 38 en la calculadora. Que calculará ese valor para nosotros.
Hay algunos ángulos, llamados ángulos notables —que son los ángulos de 30 grados, 45 grados, y 60 grados— para los cuales los valores de estas relaciones sen, cos y tan son relativamente sencillos y fáciles de aprender. Y esos valores se pueden escribir exactamente usando fracciones y raíces cuadradas. Con estos ángulos notables, es posible hacer trigonometría sin calculadora. Pero no es el caso en este ejemplo. Así que, en nuestra calculadora, escribimos cuatro dividido por tan 38. Y cuando hacemos eso, hallamos que 𝑥 es igual a 5.119766 etcétera, este número decimal de aquí. Cabe señalar aquí que el ángulo que nos dieron estaba expresado en grados. Por lo que necesitamos asegurarnos de que la calculadora está en modo de grados. Y ese es siempre el caso cuando se hace trigonometría. Debes asegurarte de que tu calculadora esté en el mismo modo en que está expresado el ángulo en la cuestión.
Y ahora esta cuestión nos pide el valor de 𝑥 a la décima más cercana. Así que necesitamos redondear la respuesta. Y obtenemos 𝑥 igual a 5.1. En resumen, lo que hemos hecho ha sido recordar la fórmula de la función tangente. Luego hemos sustituido los valores dados en la cuestión en los lugares relevantes de la fórmula y luego hemos resuelto la ecuación resultante para hallar el valor que estábamos buscando. Ahora, en la siguiente cuestión, nos dan un diagrama de un triángulo rectángulo. Y esta vez tenemos dos lados. La cuestión nos pide hallar el valor de 𝜃 al grado más cercano. Así que esta vez, nos piden hallar la medida de un ángulo en vez de la longitud de un lado.
Nuestro primer paso será etiquetar los tres lados de este triángulo rectángulo con las letras apropiadas. Así que ahí están. Debemos tener un poco de cuidado con esto porque, recuerda, los triángulos se pueden dibujar en muchas orientaciones diferentes. La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto. Pero hay que pensar cuidadosamente en el cateto adyacente y el cateto opuesto dependiendo de qué ángulo haya sido singularizado. Así que recordemos nuestra definición de la función tangente. Y aquí está. Tan de 𝜃 es igual al cateto opuesto dividido por el cateto contiguo o cateto adyacente. Vamos a usar esta función. Y vamos a sustituir los valores conocidos del cateto opuesto y del cateto adyacente. Esto nos dice que tan de este ángulo es igual a 5.2 dividido por 2.8.
Esta vez, como queremos calcular un ángulo, necesitamos usar la función inversa de la tangente, la cual halla el ángulo que da lugar a un valor determinado de la razón entre lados. Y así llegamos a que el ángulo 𝜃 es igual a tan inversa de 5.2 sobre 2.8. Tal vez podríamos haber llegado a este punto más rápidamente. Entonces, en este punto, vamos a usar nuestra calculadora para evaluar esto. Ahora, el botón de tan inversa a menudo se encuentra directamente por encima del botón de tan. Generalmente tienes que pulsar la tecla shift para acceder a ella. Pero eso dependerá de la calculadora que tengas. Y evaluar eso en esta calculadora nos da este valor decimal de aquí. Pero nos piden hallar 𝜃 al grado más cercano, así que necesitamos redondear nuestra respuesta.
Entonces esto me dice que 𝜃 debe ser igual a 62 grados. Así que en esta pregunta habíamos comenzado exactamente de la misma manera. Pero debido a que era un ángulo lo que queríamos hallar esta vez en lugar de la longitud de un lado, tuvimos que usar esa función tan inversa. Bien, nuestra última cuestión es un problema. Así que leámoslo detenidamente.
Una escalera está apoyada en una pared y forma un ángulo de 15 grados con la pared. El pie de la escalera está a 0.5 metros de la base de la pared. Y la pregunta que nos hacen es, ¿qué tan tanto está apoyada la escalera en la pared?
Con una pregunta como esta, si no nos dan un diagrama, siempre debemos dibujar uno nosotros para empezar. Así que vamos a tener un diagrama con una escalera, una pared y una superficie horizontal. Y estamos asumiendo aquí que la pared es vertical y el piso es horizontal. Esa parece una suposición razonable para esta cuestión. Así que aquí hay un boceto de la pared, el piso y la escalera. Debido a que suponemos que la pared es vertical y el piso horizontal, sabemos que tenemos un ángulo recto aquí. Ahora necesitamos poner la información que nos han dado. Nos dicen que la escalera forma un ángulo de 15 grados con la pared. Así que este ángulo de aquí es de 15 grados. Y también nos dicen que la base de la escalera está a 0.5 metros de la base de la pared. Así que esta medida aquí es de 0.5 metros.
Y lo que nos piden es hallar qué tan alto llega la escalera en la pared. Nos piden que hallemos esta medida aquí, a la que llamaremos 𝑦 metros. Este es nuestro diagrama. Y podemos ver que en realidad es solo un problema sobre un triángulo rectángulo. Así que lo vamos a abordar exactamente de la misma manera que en los ejemplos anteriores. Comenzamos etiquetando los tres lados como siempre. Tenemos la hipotenusa, el cateto adyacente y el cateto opuesto. Recordemos la función tangente, la cual vamos a necesitar en esta cuestión. Sabemos que tan del ángulo 𝜃 es igual al opuesto sobre el adyacente. Ya te estarás familiarizando con esto. Así que, como en las cuestiones anteriores, escribiremos esta razón nuevamente. Pero vamos a completar la información que conocemos.
Sabemos que el ángulo 𝜃 es 15. Y sé que en este caso el cateto opuesto es 0.5. Por lo tanto, tenemos tan de 15 es igual a 0.5 sobre 𝑦. Ahora necesitamos resolver esta ecuación para hallar el valor de 𝑦. 𝑦 está en el denominador de esta fracción. Así que vamos a multiplicar ambos lados por 𝑦 para llevar esta incógnita al numerador. Y cuando hacemos eso, obtenemos 𝑦 tan 15 es igual a 0.5. Recuerda que tan 15 es solo un número. Así que podemos dividir ambos lados de la ecuación por ese número. Obtenemos 𝑦 igual a 0.5 sobre tan 15. Y esta es la etapa en la que necesitamos usar nuestra calculadora para evaluar esto. Y hallamos que 𝑦 es igual a 1.86602 etcétera.
Ahora necesitamos elegir una forma sensata de redondear esa respuesta porque no nos han pedido un nivel específico de precisión. La otra medida de 0.5 parece estar dada a la décima más cercana. Por lo tanto, haremos el mismo nivel de redondeo para este valor de 𝑦 aquí. Lo que nos da que 𝑦 es igual a 1.9. Y para responder a la pregunta de qué tan lejos llega la escalera en la pared, volvemos a colocar las unidades. Y la respuesta es que alcanza 1.9 metros de altura en la pared.
En resumen, en este video, hemos visto la definición de tangente como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo o adyacente de un triángulo rectángulo. Hemos visto cómo hacer uso tanto de la tangente como de la tangente inversa para resolver problemas de calcular lados o ángulos en triángulos rectángulos. Y hemos visto varios ejemplos de cómo hacer todo esto.
