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En este video, vamos a aprender cómo hallar el conjunto de ceros de una función cuadrática, cúbica o polinómica de grado superior. Comenzamos recordando lo que son los ceros de una función. Hallar los ceros de una función es lo mismo que hallar sus raíces. ´Los ceros de una función son los valores de 𝑥 que hacen que la función valga cero.
Si pensamos en esto gráficamente, sabemos que la función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es igual a cero en los lugares donde su gráfica interseca el eje de las 𝑥. Así que las raíces o ceros de la función son las intersecciones con el eje 𝑥 de la gráfica. Pero, por supuesto, no siempre disponemos de una gráfica de nuestras funciones o queremos dibujarla. Así que vamos a explorar qué otras técnicas tenemos para hallar dónde un polinomio 𝑓 de 𝑥 es igual a cero. Para los polinomios factorizables, sabemos que podemos descomponer en factores la expresión y hallar las raíces de esa manera. Veamos un ejemplo.
Halla, descomponiendo en factores, los ceros de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 35.
Recuerda que los ceros de la función son lo mismo que sus raíces. Y hallamos las raíces de una función resolviendo la ecuación 𝑓 de 𝑥 igual a cero. Así que hallamos los ceros de nuestra función igualando 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 35 a cero y hallando 𝑥. La cuestión nos dice el método a usar. Vamos a descomponer en factores la expresión 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 35.
En primer lugar, vemos que esta expresión es cuadrática, por lo que se descompondrá en un par de factores, como se muestra. Estos factores son binomios de primer grado. Y el primer término en cada binomio debe ser 𝑥 ya que 𝑥 multiplicado por 𝑥 nos da 𝑥 al cuadrado. Y luego, para hallar la parte numérica, queremos hallar dos números que tengan un producto de menos 35 —eso significa que se multiplican para hacer menos 35— y tienen una suma de dos. Vamos a comenzar por hallar dos números que tengan un producto de 35. Y consideraremos sus signos más tarde.
Por supuesto, tenemos uno por 35. Bien, tenemos cinco por siete. Como estamos tratando de hacer menos 35, y sabemos que un número negativo multiplicado por uno positivo da un número negativo, sabemos que un número en nuestro par de factores tendrá que ser negativo. ¿Cómo nos aseguraremos de que la suma de estos dos números es dos? Bien, si usamos menos cinco y más siete, sabemos que menos cinco por más siete es menos 35, y menos cinco más siete es dos. Así que vamos a poner menos cinco y siete en los paréntesis. La expresión 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 35 es igual a 𝑥 menos cinco por 𝑥 más siete.
¿Cómo nos ayuda esto a resolver la ecuación 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 35 igual a cero? Bien, sabemos que 𝑥 menos cinco y 𝑥 más siete están multiplicándose entre sí. Y, cuando lo hacen, la respuesta es cero. ¿Qué podemos decir sobre uno u otro de estos binomios? Sabemos que para que el producto de dos números sea igual a cero, uno u otro de los números debe ser igual a cero. En este caso, eso debe significar que o bien 𝑥 menos cinco es igual a cero, o bien 𝑥 más siete es igual a cero. Y seguidamente resolvemos como lo haríamos con cualquier otra ecuación lineal. En este caso, sumamos cinco a ambos lados. Y obtenemos 𝑥 igual a cinco. Y para nuestra segunda ecuación, restamos siete. Por lo tanto, 𝑥 es igual a menos siete.
Recuerda: los ceros de una función son los valores de 𝑥 que hacen que la función valga cero. Así que los ceros de nuestra función son simplemente los números menos siete y cinco. Sabemos que los ceros son los valores de 𝑥 que hacen que la función sea igual a cero. Así que podemos verificar nuestras soluciones sustituyéndolas en la expresión 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 35. En ambos casos obtenemos cero según lo requerido. Y así hemos comprobado que hemos hecho nuestros cálculos correctamente.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo hallar el conjunto de ceros de una función cúbica.
Halla el conjunto de ceros de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 por 𝑥 al cuadrado menos 81 menos dos por 𝑥 al cuadrado menos 81.
Podemos comenzar recordando que los ceros de una función polinómica son los valores de 𝑥 que la hacen igual a cero. Así que necesitamos igualar a cero la expresión 𝑥 por 𝑥 al cuadrado menos 81 menos dos por 𝑥 al cuadrado menos 81 y despejar 𝑥.
Sin necesidad de desarrollar los paréntesis, sabemos que se trata de una función cúbica. Ese es un polinomio cuyo grado es tres. De todas formas, podríamos pensar que debemos empezar esta cuestión desarrollando los paréntesis. Sin embargo, si nos fijamos bien, vemos que los dos términos tienen un factor común. Comparten el factor 𝑥 al cuadrado menos 81. Y para resolver esta ecuación, vamos a factorizar sacando el factor común de 𝑥 al cuadrado menos 81.
Si dividimos el primer término por 𝑥 al cuadrado menos 81, obtenemos simplemente 𝑥. Y si dividimos el segundo término por 𝑥 al cuadrado menos 81, obtenemos menos dos. Y así podemos ver que la expresión 𝑥 por 𝑥 al cuadrado menos 81 menos dos por 𝑥 al cuadrado menos 81 es igual a 𝑥 al cuadrado menos 81 por 𝑥 menos dos. Y, si podemos factorizar completamente una expresión, eso es realmente útil para hallar los ceros porque ahora necesitamos preguntarnos, ¿qué valores de 𝑥 hacen que esta expresión sea igual a cero?
Y, por supuesto, ya que estamos multiplicando 𝑥 al cuadrado menos 81 por 𝑥 menos dos, y eso nos da cero, podemos decir que 𝑥 al cuadrado menos 81 debe ser igual a cero o 𝑥 menos dos debe ser igual a cero. Y ahora vamos a resolver cada una de estas ecuaciones. Resolvamos nuestra primera ecuación sumando 81 a ambos lados. Y eso nos dice que 𝑥 al cuadrado es igual a 81. Ahora sacamos la raíz cuadrada de ambos lados. Pero debemos tener un poco de cuidado. Necesitaremos hallar tanto la raíz cuadrada positiva como la raíz cuadrada negativa de 81.
Así que las soluciones de la ecuación 𝑥 al cuadrado menos 81 igual a cero son 𝑥 igual a nueve y 𝑥 igual a menos nueve. La otra ecuación es un poco más sencilla. Solo tenemos que sumar dos a ambos lados. Y así hallamos otra solución a la ecuación 𝑓 de 𝑥 igual a cero y, por lo tanto, un cero de nuestra función es dos. Hemos hallado las soluciones a la ecuación 𝑓 de 𝑥 igual a cero, pero la cuestión nos pide que encontremos el conjunto de ceros de la función. Así que vamos a poner estas llaves para representar el conjunto que contiene los elementos menos nueve, dos y nueve.
Y esa es la respuesta a nuestra cuestión. El conjunto de ceros de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 por 𝑥 al cuadrado menos 81 menos dos por 𝑥 al cuadrado menos 81 está formado por los números menos nueve, dos y nueve. Ten en cuenta que podemos volver a nuestra función original para verificar si estas respuestas son correctas. Necesitamos sustituir cada valor por turno y comprobar que obtenemos una respuesta de cero.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos hallar las raíces de una ecuación cúbica usando el teorema del factor.
Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cubo más tres 𝑥 al cuadrado menos 13𝑥 menos 15 y 𝑓 de menos uno es igual a cero, halla las otras raíces de 𝑓 de 𝑥.
Las raíces de 𝑓 de 𝑥 —o sea, sus ceros— son los valores de 𝑥 que hacen la función igual a cero. Así que necesitamos hallar los valores de 𝑥 tales que la ecuación 𝑥 al cubo más tres 𝑥 al cuadrado menos 13𝑥 menos 15 es igual a cero. Y una técnica que tenemos es descomponer en factores completamente esa expresión cúbica. Pero no podemos hacerlo fácilmente sin un poco de información adicional. Y esa información nos la dan en la cuestión. Nos dicen que 𝑓 de menos uno es igual a cero. Esta información significa que podemos usar el teorema del factor para ayudarnos a factorizar nuestro cubo.
El teorema del factor dice que, si 𝑓 de 𝑎 es igual a cero, entonces 𝑥 menos 𝑎 es un factor de 𝑓 de 𝑥. Comparando esta forma general con nuestra cuestión, vemos que necesitamos hacer 𝑎 igual a menos uno. Y, por lo tanto, sabemos que 𝑥 menos menos uno, que es por supuesto 𝑥 más uno, es un factor de 𝑓 de 𝑥. ¿Cómo nos ayuda esto? Esto significa que podemos dividir nuestra 𝑓 cúbica de 𝑥 por 𝑥 más uno. Exactamente, no tendremos resto. Y cuando hacemos esta división, obtenemos cuna cuadrática, que sabemos cómo descomponer en factores.
Hay varias técnicas que podemos usar. Vamos a usar el algoritmo tradicional, el mismo método que usamos para dividir números. Comenzamos preguntándonos ¿qué es 𝑥 al cubo dividido por 𝑥? 𝑥 al cubo dividido por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Después, multiplicamos 𝑥 al cuadrado por cada término en nuestro divisor. 𝑥 al cuadrado por 𝑥 es 𝑥 al cubo. Y 𝑥 al cuadrado por uno es 𝑥 al cuadrado. A continuación, restamos los dos términos que acabamos de obtener de los dos términos por encima de ellos. 𝑥 al cubo menos 𝑥 al cubo es cero. Y luego tres 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado es dos 𝑥 al cuadrado.
Bajamos el siguiente término. Y nos preguntamos, ¿cuánto es dos 𝑥 al cuadrado dividido por 𝑥? Dos 𝑥 al cuadrado dividido por 𝑥 es dos 𝑥. Así que ponemos dos 𝑥 por encima de tres 𝑥 al cuadrado. A continuación, multiplicamos dos 𝑥 por cada término en nuestro divisor. Dos 𝑥 por 𝑥 es dos 𝑥 al cuadrado. Y dos 𝑥 por uno es dos 𝑥. Una vez más, restamos. Dos 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 al cuadrado es cero. Y menos 13𝑥 menos dos 𝑥 es menos 15𝑥.
Ahora bajamos el último término. A continuación, dividimos menos 15𝑥 entre 𝑥, que es menos 15. Y luego multiplicamos menos 15 por ambos términos en nuestro divisor. Y obtenemos menos 15𝑥 menos 15. Restamos una vez más, y menos 15𝑥 menos 15 menos menos 15𝑥 menos 15 es cero. Y eso nos dice, como esperábamos, que no hay resto cuando dividimos nuestra función cúbica por 𝑥 más uno. Y también significa que ahora podemos reescribir nuestra función cúbica como 𝑥 más uno por 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 15.
Y ahora vamos a intentar resolver la ecuación 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 15 mediante descomposición en factores. Sabemos que habrá una 𝑥 en cada uno de nuestros factores. Queremos dos números que al ser multiplicados dan 15 y que al ser sumados dan dos. Esos números son cinco y menos tres. Así que 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 15 es igual a 𝑥 más cinco por 𝑥 menos tres.
Nuestra última tarea es resolver esta ecuación. Ahora bien, para que el producto de tres números sea igual a cero, alguno de esos números debe ser igual a cero. O bien 𝑥 más uno es igual a cero, o bien 𝑥 más cinco es igual a cero, o bien 𝑥 menos tres es igual a cero. Si restamos uno de ambos lados de nuestra primera ecuación, obtenemos 𝑥 igual a menos uno. Resolviendo nuestra segunda ecuación, obtenemos 𝑥 igual a menos cinco. Y resolviendo nuestra última ecuación, obtenemos 𝑥 igual a tres. Ya sabíamos que 𝑥 igual a menos uno es una raíz de la ecuación. Así que las otras raíces de 𝑓 de 𝑥 son 𝑥 igual a menos cinco y 𝑥 igual a tres.
En nuestro último ejemplo, vamos a ver cómo hallar un conjunto de ceros de una función cuártica, es decir, de una función polinómica cuyo grado es cuatro.
Halla el conjunto de ceros de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 a la cuarta menos 17𝑥 al cuadrado más 16.
Recuerda, los ceros de una función son los valores de 𝑥 que hacen que esa función sea igual a cero. Así que, para hallar los ceros de nuestra función, necesitamos resolver la ecuación 𝑥 a la cuarta menos 17𝑥 al cuadrado más 16 igual a cero. Y una técnica que tenemos para hallar el conjunto de ceros es factorizar la expresión.
¿Cómo factorizamos 𝑥 a la cuarta menos 17𝑥 al cuadrado más 16? Bien, si nos fijamos bien, nos daremos cuenta de que podemos tratarla como una función cuadrática. Para verlo más claro, vamos a realizar una sustitución. Sea, pues, 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado. Y puesto que 𝑥 a la cuarta potencia es igual a 𝑥 al cuadrado al cuadrado, 𝑥 a la cuarta se puede escribir como 𝑦 al cuadrado. Del mismo modo, menos 17𝑥 al cuadrado se puede escribir como menos 17𝑦. Así que nuestra ecuación se convierte en 𝑦 al cuadrado menos 17𝑦 más 16 igual a cero.
Ahora tenemos una ecuación cuadrática bastante bonita, que podemos resolver por descomposición en factores. Vamos a tener dos binomios al principio de los cuales debe haber una 𝑦. Después, necesitamos hallar dos números que tienen un producto de 16 y una suma de menos 17. Esos números son menos uno y menos 16. Recuerda, un número negativo multiplicado por un número negativo es un número positivo. Así que nuestra ecuación es 𝑦 menos uno por 𝑦 menos 16 igual a cero. Y para que el producto de estos binomios sea igual a cero, o bien 𝑦 menos uno es igual a cero, o bien 𝑦 menos 16 es igual a cero. Y si resolvemos de la forma usual, vemos que 𝑦 es igual a uno o 16.
Pero, estábamos tratando de hallar los ceros de nuestra función. Y dijimos que esos son los valores de 𝑥 que hacen que 𝑓 de 𝑥 sea igual a cero. Así que ahora vamos a reemplazar 𝑦 por nuestra sustitución original, 𝑥 al cuadrado. Así que 𝑥 al cuadrado es igual a uno o 𝑥 al cuadrado es igual a 16. Resolvemos sacando la raíz cuadrada de ambos lados de cada ecuación, recordando, por supuesto, sacar tanto las raíces cuadradas positivas como las raíces cuadradas negativas de uno y 16. Y así obtenemos 𝑥 igual a más o menos uno y 𝑥 igual a más o menos cuatro. Debemos escribir esto usando notación de conjuntos. Así que usamos estas llaves. Y, por lo tanto, el conjunto de los ceros de la función 𝑓 de 𝑥 es el conjunto formado por los números menos cuatro, menos uno, uno y cuatro.
Para terminar, vamos a resumir los puntos clave de esta lección. En primer lugar, hemos visto que los ceros de una función son los valores de 𝑥 que hacen que la función sea igual a cero. Así que decir ceros de una función es lo mismo que decir raíces de la función. Y además, hemos visto que si la función es un polinomio factorizable, podemos resolver la ecuación 𝑓 de 𝑥 igual a cero descomponiendo en factores ese polinomio.
