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Factoriza 30𝑎𝑏 al cuadrado más 45𝑎 al cuadrado 𝑏 completamente.
Factorizar una expresión algebraica significa escribirla como un producto en vez de
como una suma. Vamos a aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación aquí. Si dos términos tienen un factor común de 𝑥, entonces este factor puede
extraerse. 𝑥𝑦 más 𝑥𝑧 puede escribirse como 𝑥 por 𝑦 más 𝑧.
Para factorizar esta expresión completamente debemos hallar el máximo común divisor
de los dos términos. Para hacerlo, vamos a dibujar primero árboles de factores para cada uno de los dos
términos.
Comenzamos por 30𝑎𝑏 al cuadrado. Este término puede escribirse como el producto de 30 por 𝑎𝑏 al cuadrado. Ambos términos pueden simplificarse más. Así que vamos a prolongar cada rama del árbol de factores. 30 puede escribirse como un producto de 10 y tres. Tres es un número primo. Así que esta rama del árbol se termina aquí. 10, sin embargo, puede escribirse como el producto de dos y cinco, y ambos números
son primos.
Ahora vamos a fijarnos en 𝑎𝑏 al cuadrado. Este término puede representarse como el producto de 𝑎 por 𝑏 al cuadrado. 𝑏 al cuadrado puede expresarse como el producto de 𝑏 por 𝑏. Si juntamos todos estos factores, podemos escribir 30𝑎𝑏 al cuadrado como dos por
tres por cinco por 𝑎 por 𝑏 por 𝑏.
Ahora vamos a considerar 45𝑎 al cuadrado 𝑏. Este término puede escribirse como el producto de 45 por 𝑎 al cuadrado 𝑏. 45 puede expresarse como el producto de nueve por cinco. Cinco es un número primo. Pero nueve no. Nueve es el producto de tres por tres, que son primos.
𝑎 al cuadrado 𝑏 puede escribirse como el producto de 𝑎 al cuadrado por 𝑏. Y 𝑎 al cuadrado puede expresarse como 𝑎 por 𝑎. Si agrupamos todos estos factores, podemos expresar 45𝑎 al cuadrado 𝑏 como tres por
tres por cinco por 𝑎 por 𝑎 por 𝑏.
Ahora vamos a hallar el máximo común divisor de estos dos términos. Si miramos en la lista de factores, vemos que ambos tienen un factor de tres. También tienen un factor común de cinco, un factor de 𝑎 y un factor de 𝑏. Su máximo común divisor es, por lo tanto, el producto de estos factores comunes, tres
por cinco por 𝑎 por 𝑏, que es 15𝑎𝑏. Así que el máximo común divisor de estos dos términos, que escribimos fuera del
paréntesis, es 15𝑎𝑏.
Ahora tenemos que calcular lo que está dentro del paréntesis. Hay un signo de suma en el paréntesis, pues el signo en la expresión original era un
signo más. Ahora solo tenemos que agrupar todos los factores restantes que no se han incluido en
el máximo común divisor.
Para 30𝑎𝑏 al cuadrado hay un factor de dos y un factor de 𝑏. El primer término en el paréntesis es, por lo tanto, dos 𝑏. Para 45𝑎 al cuadrado 𝑏, los términos restantes son tres y 𝑎. El segundo término en el paréntesis es, por lo tanto, el producto de estos, tres
𝑎.
Ya hemos factorizado completamente la expresión original, pues está representada como
una multiplicación. Y los dos términos que están dentro del paréntesis no tienen ningún factor común. La forma factorizada es 15𝑎𝑏 por dos 𝑏 más tres 𝑎.
