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Vídeo de la lección: Fórmula recursiva de una sucesión Matemáticas • Noveno grado

Vamos a ver cuál es la notación y el método que se usan para representar sucesiones usando una fórmula de recurrencia. Esto incluye los casos en los que cada término es una función de su término anterior y otros en los que es una función de varios términos anteriores.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo especificar sucesiones usando fórmulas recursivas, y seguidamente resolveremos una serie de cuestiones.

Una sucesión es una lista ordenada de números, que, usualmente se genera mediante una regla. Por ejemplo, dos, cuatro, seis, ocho, 10, 12, etcétera. Esta sucesión comienza con dos, y luego sumamos dos a cada término para obtener el siguiente término. Esta forma de definir una secuencia especificando el primer término y una regla de término a término, la cual nos indica lo que debemos hacer con cada término para generar el siguiente término en la secuencia, se conoce como método recursivo. Ahora bien, en vez expresar con palabras la regla, vamos a usar notación matemática para expresarla. En este caso, podríamos decir que 𝑎 𝑛 más uno es igual a 𝑎 𝑛 más dos, donde 𝑎 uno es igual a dos, 𝑛 es mayor o igual que uno, y 𝑛 es un número entero.

Esta parte de aquí nos dice cómo comienza la sucesión. El primer término 𝑎 uno es igual a dos. Y esta parte de aquí establece nuestro sistema de numeración de los términos de la secuencia, por lo que tendremos un primer término, un segundo término, un tercer término, y así sucesivamente. Por lo tanto, 𝑛 representa la secuencia de los números enteros positivos, que comienza en uno. Y esta parte es la regla de término a término. Nos dice que tenemos que tomar el valor de un término en la posición 𝑛, sumarle dos, y eso genera el siguiente término en la sucesión, el término en la posición 𝑛 más uno en la sucesión. Debes recordar que 𝑎 𝑛 es el término que está en la posición 𝑛 en la sucesión. Por ejemplo, 𝑎 uno es el primer término de la sucesión, 𝑎 dos es el segundo término de la sucesión, 𝑎 tres es el tercer término de la sucesión, etcétera.

Antes de continuar conviene hacer unos comentarios sobre esta parte de aquí que especifica los valores de 𝑛. Es importante que relacionemos los valores de 𝑛 con la regla de la sucesión. Obtenemos 𝑎 uno, 𝑎 dos, 𝑎 tres, 𝑎 cuatro, etcétera, y no 𝑎 cero o 𝑎 un medio ni nada por el estilo. Entonces, por ejemplo, si dijéramos que 𝑛 es mayor o igual que cero, al sustituir esto aquí habríamos obtenido un término 𝑎 cero. Pero ese término de nuestra secuencia. Del mismo modo, si hubiéramos dicho que 𝑛 es mayor o igual que dos, entonces primer término que tendríamos aquí sería 𝑎 dos. Y no habríamos definido el primer término en nuestra secuencia 𝑎 uno, por lo que la fórmula no funcionaría.

Ahora bien, otra forma de definir esta sucesión recursiva para la sucesión que estábamos viendo es 𝑎 𝑛 igual a 𝑎 𝑛 menos uno más dos. La primera vez es dos. Ahora, pensemos con cuidado qué valores de 𝑛 tenemos que definir si expresamos nuestra sucesión de esta forma. Bueno, si 𝑛 tomara los valores uno, dos, tres, cuatro, cinco, etcétera, entonces tendríamos un caso en el que 𝑎 uno, 𝑛 igual a uno es igual a 𝑎 𝑛 menos uno igual a 𝑎 cero más dos. Y no podemos tener un término cero porque nuestros términos siempre deben ser el primero, segundo, tercero, cuarto, etcétera. Por lo tanto, tenemos que empezar a contar desde el dos. Hemos dicho que el primer término es dos, y que el segundo término es igual al primer término más dos.

Así que, con este tipo de notación, si conocemos el valor de cualquier término en la secuencia, podemos hallar fácilmente el valor del siguiente término. Por ejemplo, si dijéramos que el término en la posición 102 es 204, entonces sumaríamos dos para obtener el valor del término en la posición 103. Si el término en la posición 102 es 204, eso significa que 𝑎 102 es 204. Y siguiendo esta regla, 𝑎 𝑛 más uno es igual a 𝑎 𝑛 más dos, lo que significa que 𝑎 103 es igual a 𝑎 102 más dos. Acabamos de ver que el término en la posición 102 es 204, así que vamos a sustituirlo en nuestra fórmula. Por lo tanto, el término en la posición 103 es 204 más dos, que es 206.

Y si reorganizamos un poco la fórmula, vemos que también podemos hallar el valor del término en la posición 101. Si nos fijamos en la fórmula, y restamos dos en ambos lados de esa ecuación, obtenemos 𝑎 𝑛 más uno menos dos igual a 𝑎 𝑛. Ahora ya tenemos una fórmula que nos sirve para hallar un término a partir del siguiente término. Y si hacemos el siguiente término menos dos obtendremos el término en nuestra posición. O sea, el término en la posición 102 menos dos nos da el término en la posición 101, lo que significa que 204 menos dos es el término en la posición 101, por lo que el término en la posición 101 es 202.

Esto significa que, usando nuestra fórmula recursiva, podemos tomar cualquier término de la secuencia y calcular el término inmediatamente posterior y el término inmediatamente anterior. No obstante, con este método, si quisiéramos hallar el término en la posición un millón, tendríamos que dar demasiados pasos para conseguirlo. Tendríamos que hallar el valor del segundo término y luego aplicar la regla de nuevo para hallar el tercer término, luego el cuarto, el quinto y así sucesivamente.

Afortunadamente, tenemos otro método que nos ayuda en este caso, y se conoce como fórmula de posición a término o fórmula del término general, Si consideramos nuestra sucesión original, dos, cuatro, cinco, ocho, 10, 12, etcétera, y escribimos la posición de cada número en la sucesión por encima del número real, veremos que el valor de cada término es igual al doble de su posición en la sucesión. Y, por supuesto, dos por uno es dos, dos por dos es cuatro, dos por tres es seis, dos por cuatro es ocho, etcétera. Esto significa que el valor de un término en nuestra sucesión es igual al doble, es decir, dos veces la posición en esa sucesión. O, en forma algebraica, 𝑎 𝑛 es igual a dos 𝑛.

Recordemos que 𝑛 aquí es un sufijo o un subíndice, una pequeña 𝑛 justo debajo de la 𝑎, mientras que esta 𝑛 de aquí es una 𝑛 de tamaño normal que está justo al lado del dos, lo que significa dos veces 𝑛. Así que hay que tener cuidado aquí. Cuando decimos 𝑎 𝑛, no nos estamos refiriendo a 𝑎 por 𝑛 en este caso. Nos referimos a 𝑎 subíndice 𝑛. La gran ventaja de esta fórmula es que nos da directamente al valor del término si conocemos su posición. Por lo tanto, el término en la posición un millón, 𝑎 un millón, es igual a dos veces un millón, que es dos millones.

Pensemos cuánto tiempo habríamos tardado en calcular el séptimo término, el octavo, el noveno término, y así sucesivamente hasta el millonésimo término usando la fórmula recursiva. Bueno, volvamos al tema de este vídeo, el método recursivo de expresar sucesiones. Veamos algunas cuestiones.

Halla los primeros tres términos de la sucesión 𝑎 𝑛 más uno igual a dos por 𝑎 𝑛 más cinco, donde el primer término 𝑎 uno es 11, 𝑛 es mayor o igual que uno, y 𝑛 es un número entero.

Esta fórmula dice que, si tomamos un término y lo duplicamos, y luego sumamos cinco al resultado, obtenemos el valor del siguiente término de la secuencia. Para calcular el segundo término, duplicamos el primer término y sumamos cinco. Y el primer término es 11. Eso es lo que nos dice el enunciado. Y eso significa que el segundo término es dos por 11 más cinco, que es 22 más cinco, o sea, 27. Ahora podemos usar esa información para calcular el tercer término. El tercer término es igual a dos por el segundo término más cinco. Entonces, eso es dos por 27 más cinco, que es 54 más cinco, o sea, 59. Así que ya hemos calculado los tres primeros términos, 11, 27 y 59.

Pasemos a la siguiente cuestión.

Halla los primeros cuatro términos de la secuencia 𝑎 𝑛 más uno igual a un medio de 𝑎 𝑛 menos cuatro, sabiendo que 𝑎 dos es 36, y que 𝑛 es mayor o igual que uno y es un número entero.

Como ves, se nos ha dicho cuál es el segundo término, pero no sabemos cuál es el primer término, así que se nos complican un poco las cosas. Tenemos que calcularlo. La fórmula nos dice que, si tomamos un término y lo dividimos por dos y luego restamos cuatro, obtenemos el siguiente término. Así que, por ejemplo, 𝑎 dos, el segundo término, es igual a un medio por 𝑎 uno, así que un medio del primer término, menos cuatro. Pero se nos dijo que el valor del segundo término era 36, por lo que sabemos que 36 es igual a un medio por 𝑎 uno menos cuatro. Ahora tenemos que hallar cuánto vale 𝑎 uno. Entonces, si sumamos cuatro a ambos lados de la ecuación, obtenemos que 40 es igual a un medio de 𝑎 uno, el primer término. Seguidamente, si multiplicamos por dos ambos lados de la ecuación, hallamos que el primer término debe ser 80.

Y podemos aplicar nuestra fórmula recursiva para calcular el tercer término. Recuerda que, para hallar el siguiente término, tenemos que dividir este término por dos y luego restar cuatro. Por lo tanto, el tercer término es un medio del segundo término menos cuatro. Y sabemos cuál es el segundo término. Es 36. Por lo tanto, el tercer término es un medio de 36 menos cuatro. Bueno, un medio de 36 es 18. Y 18 menos cuatro es 14. Y, por último, el cuarto término es un medio del tercer término menos cuatro. Acabamos de calcular que el tercer término es 14, lo que significa que el cuarto término es tres. Por lo tanto, nuestra respuesta a la cuestión es que el primer término es 80, el segundo es 36, el tercer término es 14 y el cuarto término es tres.

Veamos ahora una sucesión con una fórmula de recurrencia un poco más complicada.

Halla los primeros cinco términos de la sucesión 𝑎 𝑛 igual a dos por 𝑎 𝑛 menos uno más 𝑎 𝑛 menos dos, sabiendo que 𝑎 uno es tres, 𝑎 dos es cinco y 𝑛 es mayor o igual que tres, y 𝑛 es un entero.

Esta fórmula nos dice que un término es una combinación lineal de los dos términos anteriores. Es el doble del término inmediatamente anterior, y luego tenemos que sumar el término previo a este. Y para que este tipo de fórmula funcione, tenemos que proporcionar dos términos iniciales, el primero y el segundo, para así poder calcular el tercer término. La fórmula de recurrencia solo sirve para 𝑛 mayor o igual que tres. Si 𝑛 es menor que tres, si 𝑛 es, por ejemplo, dos, entonces tendríamos que el segundo término es igual a dos veces el primer término más el término cero. Así que la fórmula no funciona. Por lo tanto, esta fórmula recursiva solo sirve para 𝑛 mayor o igual que tres.

El enunciado nos ha pedido que hallemos los primeros cinco términos. Ya tenemos los dos primeros, así que vamos a calcular el tercero. Y la fórmula dice que, para calcular un término concreto, duplicamos el término anterior, 𝑛 menos uno, y luego sumamos el término previo a este, 𝑛 menos dos. Sustituimos estos valores para 𝑎 uno y 𝑎 dos. Así, 𝑎 dos es cinco y 𝑎 uno es tres. Entonces, 𝑎 tres es dos por cinco más tres, que es 10 más tres, y eso es 13.

Y el cuarto término es el doble del tercer término más el segundo término. Y eso es dos por 13 más cinco. Acabamos de hallar el tercer término. Dos por 13 es 26. Y 26 más cinco es 31. Por último, el quinto término es dos veces el cuarto término más el tercer término. Y sustituyendo los valores del cuarto y tercer término que acabamos de calcular, obtenemos que el quinto término es 75. Ya solo nos queda escribirlos todos para tener nuestra respuesta.

Hasta aquí hemos visto cómo usar fórmulas recursivas. Ahora bien, algunas sucesiones son sucesiones aritméticas. Y eso significa que dos términos consecutivos tienen una diferencia constante. Por ejemplo, en tres, siete, 11, 15, 19, etcétera, tenemos que sumar cuatro a cada término para obtener el siguiente. Eso significa que es una progresión aritmética. Y en la progresión 23, 21, 19, 17, 15, etcétera, tenemos que restar dos de cada término para obtener el siguiente. Esa también es una progresión aritmética. Y podemos representar ambas usando una fórmula recursiva. En el primer caso, un término es igual al término anterior más cuatro. Pero no olvidemos que tenemos que saber por dónde empieza la secuencia, y que 𝑛 es mayor o igual que uno en este caso. Y para la segunda progresión, un término es igual al término anterior menos dos. Al igual que antes tenemos que indicar dónde empieza la progresión y cuáles son los valores relevantes de 𝑛.

Ahora, reorganicemos estas fórmulas. Para la primera, 𝑎 𝑛 más uno es igual a 𝑎 𝑛 más cuatro. Restamos 𝑎 𝑛 de ambos lados, lo que nos da 𝑎 𝑛 más uno menos 𝑎 𝑛 igual a cuatro. Bueno, 𝑎 𝑛 más uno menos 𝑎 𝑛, esa es la diferencia entre dos términos consecutivos. Y esta fórmula nos dice que siempre es constante; siempre es cuatro en este caso. Y si hacemos lo mismo con la otra fórmula, hallamos que en este caso la diferencia entre dos términos consecutivos también es constante, menos dos, en este caso.

Por lo tanto, si tenemos una fórmula recursiva que podemos reorganizar para obtener la diferencia entre dos términos consecutivos, y resulta ser una constante, entonces sabemos que se trata de una progresión aritmética. Y esa es solo una forma algebraica de decir que, cada vez que pasamos de un término a otro, siempre sumamos la misma cantidad. Para finalizar, consideremos un par de secuencias y veamos si podemos escribir una fórmula recursiva para cada una de ellas.

Escribe una fórmula recursiva para la sucesión cinco, siete, nueve, 11, 13, etcétera.

Para comenzar vamos a averiguar cuál es la diferencia entre cada término. Para ir de cinco a siete, hay que sumar dos. Para ir de siete a nueve, sumamos dos. Para ir entre los dos siguientes términos, sumamos dos. Y para los siguientes dos términos, sumamos dos de nuevo. Es una buena idea tratar de describir lo que está pasando antes de intentar expresarlo con una fórmula. Por lo tanto, para pasar de un término al siguiente, estamos sumando dos cada vez. Entonces, en nuestra fórmula, si tomamos un término, llamémoslo 𝑎 𝑛, y sumamos dos a ese término, obtendremos el siguiente término, 𝑎 𝑛 más uno.

Como ves, ha sido muy sencillo. Esa es la fórmula básica. Pero tenemos que indicar dónde empezar y tenemos que definir los valores de 𝑛 que se utilizan en esta fórmula. Hallamos que el primer término es cinco, así que 𝑎 uno es cinco. Y queremos usar los valores de 𝑛 que generen los términos 𝑎 uno, 𝑎 dos, 𝑎 tres, 𝑎 cuatro, 𝑎 cinco, etcétera. Ahora, en nuestra fórmula, tenemos 𝑎 𝑛, y luego tenemos 𝑎 𝑛 más uno. Por lo tanto, podemos tener 𝑛 con todos los valores de uno hacia delante. Así que esa es nuestra fórmula. 𝑎 𝑛 más uno es igual a 𝑎 𝑛 más dos, donde 𝑎 uno es cinco y 𝑛 es mayor o igual que uno y es un número entero.

Aunque también podríamos haberlo expresado de manera un poco distinta. Podríamos haber dicho que el término 𝑛-ésimo, 𝑎 𝑛, es igual al término anterior, 𝑎 𝑛 menos uno, más dos. Y, eso no cambia, el primer término, 𝑎 uno, sigue siendo igual a cinco. Consideremos los valores de 𝑛. Si hacemos 𝑛 igual a uno, estaríamos diciendo que 𝑎 uno, el primer término, es igual a 𝑎 uno menos uno, 𝑎 cero. Estaríamos hablando del término cero más dos. Y no tenemos un término cero, así que la fórmula solo sirve para 𝑛 igual a dos en adelante. Así obtenemos una fórmula recursiva alternativa.

Veamos una última cuestión un poco más complicada.

Escribe una fórmula recursiva para la sucesión tres, nueve, 21, 45, 93, etcétera.

Para comenzar vamos a ver cuál es la diferencia entre cada término y el siguiente. Para pasar de tres a nueve, tenemos que sumar seis. Pero para pasar de nueve a 21, tenemos que sumar 12. Para pasar de 21 a 45, sumamos 24. Y para pasar de 45 a 93, sumamos 48. Por lo tanto, esta no es una progresión aritmética. Esta es una sucesión un poco más complicada.

Ahora bien, si nos fijamos en cada término, y luego nos fijamos en las diferencias, podemos ver que en el primer caso empezamos con tres, pero estamos sumando seis. Luego comenzamos con nueve y sumamos 12. Comenzamos con 21 y sumamos 24. Comenzamos con 45, y sumamos 48. Estas diferencias son siempre tres más que el término anterior. Ahora bien, si denotamos nuestros términos como 𝑎 uno, 𝑎 dos, 𝑎 tres, 𝑎 cuatro, 𝑎 cinco, etcétera, el segundo término es igual al primer término más seis. Y el tercer término es igual al segundo término más 12. Pero dijimos que la diferencia es tres más que el término, el término anterior. Por lo tanto, esta diferencia es tres más.

Así que, seis es 𝑎 uno más tres. Y para calcular el tercer término, el número 12, esa diferencia, es el segundo término más tres de nuevo. Por lo tanto, el tercer término es igual al segundo término más el segundo término más tres. Y esa va a ser la regla para la sucesión. El término 𝑛 más uno es igual al término 𝑛-ésimo más el término 𝑛-ésimo más tres. Y como estos son solo tres valores sumados, no necesitamos los paréntesis, por lo que obtenemos 𝑎 𝑛 más 𝑎 𝑛 más tres. Eso es dos veces 𝑎 𝑛 más tres. Por lo tanto, 𝑎 𝑛 más uno es igual a dos 𝑎 𝑛 más tres.

Pensemos ahora en las condiciones iniciales. Bueno, el primer término, 𝑎 uno, es igual a tres. Y para generar los términos 𝑎 uno, 𝑎 dos, 𝑎 tres, 𝑎 cuatro, etcétera, tenemos que hacer 𝑛 igual a uno, dos, tres, etcétera. Así que ya la tenemos; esta es nuestra fórmula. Vamos a reorganizarla un poco como hicimos la última vez. Y obtenemos que el término en la posición 𝑛 es igual a dos por el término en la posición 𝑛 menos uno más tres. Y, como siempre, tenemos que indicar el punto de partida de 𝑛 para la fórmula, que es 𝑛 mayor o igual que dos, para no utilizar el término 𝑎 cero.

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