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Vídeo de la lección: Calcular el módulo o magnitud de un vector en el plano Matemáticas • Duodécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar el módulo o magnitud de un vector en el plano.

14:45

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar el módulo de un vector en el plano. En primer lugar, vamos a repasar las propiedades básicas de los vectores. Un vector tiene tres elementos: su módulo, su dirección y su sentido. El módulo de un vector es su tamaño, magnitud o longitud. Hay tres maneras principales de escribir un vector en dos dimensiones: como un vector columna; como un vector fila, de manera similar a las coordenadas de un punto; o como combinación lineal de los vectores base 𝐢 y 𝐣. Estos tres vectores de aquí son, en realidad, lo mismo.

Denotamos el módulo del vector 𝐯 de manera similar al valor absoluto de un número: dos rectas paralelas y verticales. Y aplicamos el teorema de Pitágoras para calcularlo. El módulo del vector 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado, donde 𝑎 y 𝑏 son los valores cinco y dos. En la primera cuestión se nos pide hallar el módulo de un vector en un plano de coordenadas.

El vector 𝐯 se muestra en la siguiente cuadrícula de cuadrados unitarios. Calcula el módulo de 𝐯.

Sabemos que el módulo o magnitud de un vector cualquiera es su longitud. Si dibujamos un triángulo rectángulo en la cuadrícula, podemos ver que el vector consiste en un desplazamiento de cuatro unidades hacia la derecha y de tres unidades hacia arriba. Por lo tanto, el módulo del vector 𝐯 puede hallarse aplicando el teorema de Pitágoras. Dicho teorema establece que la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos. Así que el módulo de 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado.

Aunque no importa el orden en que escribamos el cuatro y el tres, normalmente calculamos primero la componente horizontal. Cuatro al cuadrado es 16, y tres al cuadrado es nueve. El módulo del vector 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de 25. Como 25 es un número cuadrado, podemos calcularlo. La raíz cuadrada de 25 es igual a más o menos cinco. Como estamos operando con una longitud, nuestra respuesta debe ser positiva. Así que el módulo del vector 𝐯 en esta cuadrícula es cinco.

Ahora vamos a hacer un par de problemas en los que tendremos que calcular el módulo de vectores expresados de distintas formas.

¿Cuál es el módulo del vector cinco, 12?

Sabemos que para un vector expresado en la forma 𝑎, 𝑏, el módulo es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Como el módulo es la longitud del vector, esto puede mostrarse en un plano. Consideremos el vector 𝐯 de aquí. Como este vector consiste en un desplazamiento 𝑎 en la dirección horizontal y un desplazamiento 𝑏 en la dirección vertical, podemos construir un triángulo rectángulo. Aplicamos el teorema de Pitágoras, esto es, el cuadrado de la hipotenusa es igual a 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Esto implica que la longitud del vector será igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado.

En esta cuestión las dos componentes del vector son cinco y 12. Por lo tanto, podemos calcular su módulo calculando la raíz cuadrada de cinco al cuadrado más 12 al cuadrado. Cinco al cuadrado es 25 y 12 al cuadrado es 144. Esto significa que el módulo del vector 𝐯 es la raíz cuadrada de 169. Como nuestra respuesta debe ser positiva, el módulo del vector 𝐯 es 13.

Sabiendo que el vector a es igual a menos cinco 𝐢 menos tres 𝐣, donde 𝐢 y 𝐣 son vectores unitarios perpendiculares, calcula el módulo del vector a.

Comenzamos dibujando esto en un plano donde 𝐢 y 𝐣 son vectores unitarios perpendiculares. El vector a consiste en una traslación de menos cinco unidades en la dirección 𝐢, y una traslación de menos tres unidades en la dirección 𝐣. Así que dibujamos el vector a de esta forma. Como el módulo de cualquier vector es su longitud, podemos calcularlo trazando un triángulo rectángulo, como se muestra. Por lo tanto, el módulo de cualquier vector 𝐯 puede calcularse utilizando el teorema de Pitágoras, donde el módulo es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado.

Los números 𝑎 y 𝑏 minúscula son las coordenadas o componentes 𝐢 y 𝐣, respectivamente, del vector. Por lo tanto, el módulo del vector a es igual a la raíz cuadrada de menos cinco al cuadrado más menos tres al cuadrado. El cuadrado de un número negativo es un número positivo. De esta forma, menos cinco al cuadrado es 25 y menos tres al cuadrado es nueve. Esto significa que el módulo del vector a es igual a la raíz cuadrada de 34. Como 34 no es un cuadrado, podemos dejar nuestra respuesta en forma de raíz cuadrada o radical. Si el vector a es igual a menos cinco 𝐢 menos tres 𝐣, entonces su módulo es igual a la raíz cuadrada de 34.

En el siguiente problema se nos pide calcular el módulo de un vector definido por dos puntos.

¿Cuál es el módulo del vector AB donde 𝐴 es igual a 11, tres y 𝐵 es igual a siete, tres?

El módulo de un vector es su magnitud, tamaño o longitud. Así que en este caso tenemos que calcular la distancia entre el punto 𝐴 y el punto 𝐵. Hay varias maneras de enfocar este problema, nosotros vamos a ver dos de ellas. El primer método será gráfico, y vamos a comenzar trazando los dos pares de coordenadas. El punto 𝐴 tiene coordenadas 11, 3. El punto 𝐵 tiene coordenadas siete, tres. Como ambos puntos tienen la misma ordenada 𝑦, la distancia entre 𝐴 y 𝐵 será la distancia horizontal entre ellos. Para ir del punto 11 al siete, tenemos que restar cuatro. Como el módulo de cualquier vector debe ser positivo, entonces el módulo de AB es igual a cuatro.

También podemos calcular la distancia entre el punto 𝐴 y el punto 𝐵 usando una de las fórmulas de geometría analítica. La distancia entre dos puntos cualesquiera es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 uno menos 𝑥 dos al cuadrado más 𝑦 uno menos 𝑦 dos al cuadrado, donde los dos puntos tienen coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos. Sustituimos nuestros valores y obtenemos que 𝑑 es igual a la raíz cuadrada de 11 menos siete al cuadrado más tres menos tres al cuadrado.

No importa qué par de coordenadas es 𝑥 uno, 𝑦 uno y cuál es 𝑥 dos, 𝑦 dos. 11 menos siete es cuatro, y tres menos tres es cero. Como cero al cuadrado es cero, 𝑑 es igual a la raíz cuadrada de cuatro al cuadrado. Y puesto que la distancia debe ser positiva, la respuesta es cuatro. Nuevamente hemos hallado que el módulo del vector AB es cuatro.

En el último problema vamos a calcular el módulo y la suma de dos vectores distintos.

Considera los vectores 𝐮 igual a dos, tres y 𝐯 igual a cuatro, seis. ¿Cuál es la magnitud del vector 𝐮? ¿Cuál es la magnitud del vector 𝐯? ¿Cuál es la magnitud del vector 𝐮 más el vector 𝐯? Expresa todas las respuestas con una aproximación de dos cifras decimales.

Como ya hemos visto, la magnitud o módulo de un vector 𝐰 se puede hallar calculando la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado, donde 𝑎 y 𝑏 son las dos componentes del vector. En el vector 𝐮, 𝑎 es igual a dos y 𝑏 es igual a tres. Mientras que en el vector 𝐯, 𝑎 es igual a cuatro y 𝑏 es igual a seis. Por lo tanto, el módulo del vector 𝐮 es igual a la raíz cuadrada de dos al cuadrado más tres al cuadrado. Como dos al cuadrado es igual a cuatro y tres al cuadrado es nueve, el módulo del vector 𝐮 es igual a la raíz cuadrada de 13. Normalmente dejaríamos esto en forma de raíz cuadrada o de radical. Pero en este caso concreto se nos ha pedido que aproximemos la respuesta a dos cifras decimales. La raíz cuadrada de 13 es 3.605551, etcétera.

Para redondear a dos cifras decimales, la cifra decisiva es el primer cinco. Es el digito que nos dice si hay que redondear hacia arriba o hacia abajo. El módulo del vector 𝐮 redondeado a dos decimales es 3.61. Vamos a aplicar el mismo procedimiento para calcular el módulo del vector 𝐯. Cuatro al cuadrado es 16 y seis al cuadrado es 36. Por lo tanto, el módulo del vector 𝐯 es la raíz cuadrada de 52. Si escribimos esto en la calculadora obtenemos 7.211102, etcétera. Esta vez, el dígito decisivo es el segundo uno. Como es menor que cinco, redondeamos hacia abajo. El módulo del vector 𝐯 es, por lo tanto, igual a 7.21.

La última pregunta del problema nos pide que calculemos el módulo de 𝐮 más 𝐯. El primer paso aquí es calcular el vector 𝐮 más 𝐯. Lo hacemos sumando las componentes correspondientes. Dos más cuatro es seis y tres más seis es nueve. Así que vamos a calcular el módulo de 𝐮 más 𝐯 del mismo modo. Es igual a la raíz cuadrada de seis al cuadrado más nueve al cuadrado. Seis al cuadrado es 36 y nueve al cuadrado es 81. Así que el módulo de 𝐮 más 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de 117. Si insertamos esto en la calculadora obtenemos 10.816653. La cifra decisiva aquí es el primer seis, y si tenemos un cinco o un número superior debemos redondear hacia arriba. El módulo de 𝐮 más 𝐯 es, pues, 10.82.

Si nos fijamos en las tres respuestas que hemos obtenido, nos damos cuenta de que parece haber una regla aquí, pues 3.61 más 7.21 es igual a 10.82. Esto sugiere que el módulo de 𝐮 más 𝐯 es igual al módulo de 𝐮 más el módulo de 𝐯. Pero lo cierto es que generalmente este no es el caso. La única razón por la que esto es así en esta cuestión es que el vector 𝐯 es un múltiplo del vector 𝐮. Dos por dos es cuatro. Y tres por dos es seis.

Así que el vector 𝐯 es en realidad dos veces, o sea, dos multiplicado por el vector 𝐮. Esto a su vez significa que el módulo del vector 𝐯 es el doble del módulo del vector 𝐮. Raíz cuadrada de 52 es igual a dos raíz de 13. El módulo de 𝐮 más 𝐯 en este problema se convierte en el triple del módulo del vector 𝐮. Pero conviene insistir en que, como ya hemos dicho, esto no sucede en la mayoría de los problemas de vectores.

Resumamos los aspectos más importantes que hemos visto en este vídeo. En primer lugar, hemos aprendido que el módulo de un vector es su magnitud, tamaño o longitud. Y que podemos calcular el módulo de cualquier vector bidimensional aplicando el teorema de Pitágoras. El módulo del vector 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado, donde 𝑎 y 𝑏 son las componentes o coordenadas del vector. Aunque normalmente solemos expresar la respuesta en forma de raíz cuadrada o radical, también podemos expresarla en forma decimal.

Por último hemos visto que, en la mayoría de los casos, el módulo del vector 𝐮 más el vector 𝐯 no es igual al módulo del vector 𝐮 más el módulo del vector 𝐯. Los métodos que hemos aplicado en este vídeo también sirven para vectores en tres dimensiones. Estos se representan como un vector fila 𝑎, 𝑏, 𝑐; un vector columna 𝑎, 𝑏, 𝑐; o en la forma 𝑎𝐢 más 𝑏𝐣 más 𝑐𝐤.

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