Vídeo: La suma de los ángulos interiores de un polígono

En este vídeo vamos a aprender a identificar y a nombrar los polígonos más comunes, y a calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono. Esto incluye operar hacia atrás para determinar el número de lados que tiene un polígono a partir de la suma de sus ángulos interiores.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono. Tenemos que asegurarnos de que estamos familiarizados con un par de palabras que aparecen en el título, y la primera de ellas es «polígono». Un polígono es una figura bidimensional de lados rectos. Hay varios ejemplos que podemos ver aquí en la pantalla. Y se supone que conocemos los nombres de los polígonos con distinto número de lados. Así que hemos dibujado aquí polígonos de tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho lados, y vamos a repasar los nombres de estos polígonos para empezar.

Bien, el nombre de cada uno de estos polígonos aparece en la pantalla. Una figura de tres lados es evidentemente un triángulo. Un polígono de cuatro lados es un cuadrilátero. Y, por supuesto, hay muchos tipos distintos de cuadriláteros que conocemos, cuadrados, rectángulos, romboides, etc. Un polígono de cinco lados es un pentágono. Un polígono de seis lados es un hexágono, uno de siete lados es un heptágono, a veces llamado septágono, y un polígono de ocho lados es un octágono. Ahora bien, hay polígonos con muchos más lados que estos. Por ejemplo, un polígono de 20 lados se llama icosaedro o icoságono. Pero estos son los principales que debemos conocer.

La otra palabra que aparece en el enunciado y debemos tener en cuenta es la palabra «interiores». Cuando hablamos de los ángulos interiores de un polígono, nos referimos a los ángulos que están dentro de la figura. Están aquí marcados en rojo dentro de cada figura. Conviene señalar que el polígono tiene el mismo número de ángulos interiores que de lados. Así, el hexágono tiene seis lados y seis ángulos interiores. Ahora bien, los polígonos que hemos dibujado son polígonos irregulares, lo que significa que sus lados tienen distinta longitud, y sus ángulos interiores también son distintos. Si fueran iguales, estaríamos hablando de polígonos regulares. Vamos a ver cuál es la suma de los ángulos interiores en cada uno de estos polígonos.

Bien, para empezar vamos a ver cuánto es la suma de los ángulos interiores en un cuadrilátero y luego en un hexágono. Ahora bien, este método se basa en la propiedad de que en un triángulo hay 180 grados, y se asume que ya conocemos esta propiedad y la hemos utilizado anteriormente. Lo que vamos a hacer con el cuadrilátero es elegir uno de los vértices, este de aquí, y luego vamos a unir ese vértice, o esquina, con cada uno de los otros vértices con los que aún no está unido. Y en el cuadrilátero ese es el vértice opuesto.

Vemos que hemos dividido el cuadrilátero en dos triángulos. Además, si dibujamos los ángulos, cada uno de estos triángulos, o sea, la suma de los ángulos que hay en cada triángulo, será 180 grados, lo que significa que en el cuadrilátero la suma total de todos sus ángulos será dos grupos de 180 grados, pues tenemos dos triángulos. Por lo tanto, en un cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores es trescientos sesenta grados, aunque es posible que ya conozcas esta propiedad.

Ahora hagamos lo mismo con el hexágono. Así que vamos a elegir uno de los vértices y, de nuevo, vamos a unirlo a cada uno de los otros vértices a los que no está unido. Hemos elegido este vértice de arriba, y lo que podemos observar tras unir estos vértices es que ahora tenemos uno, dos, tres, cuatro triángulos dentro del hexágono. De nuevo, si dibujamos todos los ángulos interiores aquí, veremos que la suma de los ángulos interiores del hexágono es igual a la suma de los ángulos interiores que hay en estos cuatro triángulos. Ahora, como ya hemos dicho, la suma de los ángulos de cada triángulo es 180 grados. Por lo tanto, como tenemos cuatro, la suma de los ángulos interiores del hexágono será cuatro grupos de 180 grados. Así que la suma de los ángulos interiores del hexágono es 720.

Ahora tú mismo puedes probar este método con otros polígonos, como un pentágono, un octágono o cualquiera que te apetezca, y ver cuántos triángulos puedes formar usando este método cada vez. Lo que queremos hacer es hallar una regla general que podamos usar para cualquier polígono de cualquier número de lados. Fijémonos en estos dos y si quieres en aquellos que hayas hecho por tu cuenta. Vemos que, para el cuadrilátero, que tiene cuatro lados, hemos podido formar dos triángulos, y para el hexágono, que tiene seis lados, hemos formado cuatro triángulos. Por lo tanto, el número de triángulos es siempre dos menos que el número de lados.

Vamos a generalizar para lo que llamamos un polígono de 𝑛 lados, donde 𝑛 representa el número de lados. Bien, como ya hemos dicho, el número de triángulos será dos menos que el número de lados. Por lo tanto, si el número de lados es 𝑛, entonces el número de triángulos será 𝑛 menos dos. Y en cada uno de estos triángulos hay 180 grados, lo que significa que la suma de los ángulos interiores será el producto de 180 y 𝑛 menos dos. Y esto nos da una fórmula general que podemos usar para hallar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono de 𝑛 lados. Solo tenemos que restar dos al número de lados y multiplicarlo por 180. Veamos un par de problemas sobre esto.

En la primera cuestión se nos pide que calculemos la suma de los ángulos interiores de un pentágono.

Recordemos que la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores es 180 por 𝑛 menos dos, donde 𝑛 representa el número de lados. Recordemos que un pentágono tiene cinco lados, así que vamos a sustituir 𝑛 por cinco en la fórmula. Así que tenemos que la suma de los ángulos interiores de un pentágono es ciento ochenta por cinco menos dos, que es 180 por tres, lo que nos dice que la suma de los ángulos interiores es 540 grados. Y podríamos responder a esta misma pregunta para cualquier polígono, uno de 10 lados, de 12 lados, de 38 lados, etc. Responderíamos de la misma manera sustituyendo el valor de 𝑛 en la fórmula. Bien. Veamos otro problema.

En este problema se nos dice que la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1620 grados. ¿Cuántos lados tiene este polígono?

En este problema se nos pide que operemos hacia atrás. Se nos da la suma de los ángulos interiores y tenemos que operar hacia atrás para hallar el número de lados. Recordemos que aquí tenemos la fórmula de la suma de los ángulos interiores y que podemos usarla para formar una ecuación. Sabemos que la suma es igual a 1620. Así que ya podemos escribir la ecuación, 180 grupos de 𝑛 menos dos es igual a 1620. Se nos pide que hallemos el número de lados, y eso significa que tenemos que resolver esta ecuación para hallar el valor de 𝑛, pues como sabemos 𝑛 representa el número de lados.

Como podemos ver, esto se ha convertido en un problema algebraico. Queremos resolver esta ecuación, así que el primer paso es dividir ambos lados de la ecuación por 180. Una vez hecho, obtenemos que el resultado de hacer 𝑛 menos dos es nueve. El siguiente paso es sumar dos a ambos lados de la ecuación. Y esto nos da la solución al problema, 𝑛 es igual a once. Así que tenemos un polígono de 11 lados en el que la suma de sus ángulos interiores es 1620.

Vale, veamos un último problema. Tenemos un diagrama y se nos pide que calculemos la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶.

Es este ángulo de aquí, cuando vamos de 𝐴 a 𝐵 y luego a 𝐶. El ángulo ha sido identificado como 𝑦. Vamos a necesitar la fórmula de la suma de los ángulos interiores en algún punto, así que la hemos escrito aquí. Veamos lo que tenemos. Si contamos el número de lados que hay en el diagrama vemos que tenemos cinco lados, así que 𝑛 es igual a cinco. Entonces, nuestra estrategia aquí es calcular la suma total de los ángulos interiores usando esta fórmula. Conocemos tres de ellos, así que vamos a poder restar eso. Y, luego, los dos ángulos que quedan han sido identificados como 𝑦, lo que significa que son iguales. Cualquiera que sea el valor, si lo dividimos por la mitad obtendremos la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶. Bien, resolvamos el problema.

La suma de los ángulos interiores es 180 por tres. Eso es cinco menos dos, pues había cinco lados, lo que nos da 540 grados para la suma total. Esto significa que la suma de todos estos ángulos, o sea, 121 más 110 más 85 más dos grupos de 𝑦 debe ser igual a 540. Ahora vamos a escribir esto como una ecuación. Ahora que ya tenemos esta ecuación, podemos ir paso a paso para resolverla y hallar el valor de 𝑦. Por lo tanto, si ahora sumamos 121, 110 y 85, obtenemos la ecuación dos 𝑦 más 316 es igual a 540.

El siguiente paso para resolver esta ecuación es restar 316 a ambos lados de la ecuación, así que ahora tenemos dos 𝑦 es igual a 224. Y, luego, para hallar 𝑦, dividimos ambos lados de la ecuación por dos. De este modo obtenemos la respuesta final, 𝑦 es igual a 112 grados. En resumen, en este vídeo hemos aprendido los nombres de los polígonos más comunes. Hemos visto cómo calcular la suma de sus ángulos interiores en base al número de lados. También hemos aprendido a operar hacia atrás, a partir de la suma de los ángulos interiores, para calcular el número de lados, y luego hemos resuelto problemas relacionados.

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