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En este video, vamos a aprender cómo hallar el recíproco, también conocido como inverso multiplicativo, de diferentes tipos de números, por ejemplo, enteros, fracciones y números mixtos. Esta palabra, «recíproco» es muy interesante. Tiene dos raíces latinas «re» y «pro». El prefijo «re» significa hacia atrás. Y «pro» hacia delante. Podríamos pensar en esto como un ir y venir. Pero, por ahora, vamos a dejar de lado la idea de ir y venir mientras miramos la definición matemática de la palabra «recíproco». Regresaremos a esta idea del ir y venir más tarde, después de investigar un poco.
Necesitamos saber que el recíproco de un número es uno dividido por ese número. Y esto significa que el recíproco de dos es igual a uno dividido por dos. Y uno diviadido por dos se puede escribir como la fracción un medio. Así que decimos que un medio es el recíproco de dos. En la introducción se mencionó que el recíproco a veces es llamado inverso multiplicativo. Un inverso multiplicativo es lo que, al multiplicar por un número, nos da la unidad. Si nos referimos al inverso multiplicativo de dos, estamos preguntando, ¿qué hemos de multiplicar por dos para obtener uno? El inverso multiplicativo es lo mismo que el recíproco. Como el recíproco de dos es un medio, si multiplicamos dos por un medio, obtendremos uno.
¿Cómo sabemos que dos por un medio es igual a uno? Reescribimos dos como la fracción dos sobre uno. Y cuando multiplicamos fracciones, multiplicamos sus numeradores y sus denominadores. Tenemos dos por uno sobre uno por dos, que es dos sobre dos. Y podemos simplificar dos sobre dos a uno. Pero ¿qué pasa si ponemos algunas variables en lugar del dos y el uno? ¿Es cierto que 𝑎 sobre 𝑏 por 𝑏 sobre 𝑎 igual a uno?
Primero, necesitamos multiplicar los numeradores, 𝑎 por 𝑏. Podemos escribir esto como 𝑎𝑏. Después, multiplicamos los denominadores, 𝑏 por 𝑎. 𝑏 por 𝑎 es lo mismo que 𝑎 por 𝑏. Y así podemos escribir el denominador también como 𝑎𝑏. Y 𝑎𝑏 sobre 𝑎𝑏 es igual a uno. Y podemos decir que el recíproco de una fracción, 𝑎 𝑏, se encuentra intercambiando el numerador y el denominador, y el recíproco es, por lo tanto, 𝑏 sobre 𝑎. Saber esto nos ayuda a hallar rápidamente el recíproco de las fracciones. Por ejemplo, la fracción tres cuartos tiene un recíproco de cuatro tercios.
Veamos algunos ejemplos más.
¿Cuál es el recíproco de tres?
Recordemos la regla de que el recíproco de una fracción 𝑎 sobre 𝑏 se encuentra intercambiando el numerador y el denominador, y el recíproco es, por lo tanto, 𝑏 sobre 𝑎. Quizás pienses que tres no es una fracción, no es 𝑎 sobre 𝑏. Y eso, en cierto sentido, es verdad. Pues tres es un número entero. ¿Pero podemos escribir el número entero tres como una fracción? Si le ponemos a tres un denominador de uno, no hemos cambiado su valor. Y ahora está escrito como una fracción en la forma 𝑎 sobre 𝑏. Y eso significa que su recíproco será 𝑏 sobre 𝑎. Sería uno sobre tres.
En este punto, hay algo que debemos notar. Un tercio es el recíproco de tres sobre uno. Y tres sobre uno es el recíproco de un tercio. Porque tres sobre uno multiplicado por un tercio es igual a uno. Y un tercio por tres sobre uno es igual a uno. Y aquí es donde volvemos a la idea mencionada al principio, la de ida y vuelta. Los recíprocos vienen en pares. Hemos respondido nuestra primera pregunta, «¿cuál es el recíproco de tres?» Es un tercio.
Pero ¿qué sucede si nos preguntan por el recíproco de cero?
El recíproco de cero será uno dividido por cero. O podemos decir uno sobre cero. Y en este punto nos damos cuenta de que no podemos dividir por cero. Y concluimos que cero no tiene un recíproco. Recuerda que un número multiplicado por su recíproco tiene que ser igual a uno. Y no hay valor que multiplicado por cero sea igual a uno. Así que cabe recalcar que todos los números tienen un recíproco excepto cero. Hemos considerado recíprocos de fracciones y de números enteros. Echemos una ojeada ahora a los números mixtos.
¿Cuál es el recíproco de uno y un onceavo? Expresa la respuesta en su forma más simple.
Tenemos este valor uno y un onceavo. Y queremos saber qué debemos multiplicar por uno y un onceavo para que nos dé uno como resultado. Cualquiera que sea ese valor será el recíproco, o sea, el inverso multiplicativo. Hemos visto que para una fracción 𝑎 sobre 𝑏, el inverso multiplicativo es 𝑏 sobre 𝑎. El recíproco de 𝑎 sobre 𝑏 es 𝑏 sobre 𝑎. Por lo tanto, nuestro objetivo será escribir este número mixto uno y un onceavo como una fracción 𝑎 sobre 𝑏. Convertir este número mixto a una fracción impropia es nuestro primer paso.
Para convertir un número mixto a una fracción impropia, primero multiplicamos la parte entera por el denominador. En nuestro caso es uno por 11. Después, sumamos el numerador. Tenemos uno en el numerador. Y el denominador de la fracción impropia es el mismo denominador del número mixto con el que empezamos. Uno por 11 es igual a 11. Y 11 más uno es igual a 12. Y ahora podemos preguntarnos 12 onceavos multiplicado por qué es igual a uno. Cuando tenemos una fracción 𝑎 sobre 𝑏, su recíproco es 𝑏 sobre 𝑎. Intercambiamos el numerador y el denominador. Y obtenemos 11 doceavos. 12 sobre 11 por 11 sobre 12 es igual a uno. Lo que significa que 11 doceavos es el recíproco de uno más un onceavo. 11 doceavos ya está en su forma más simplificada. Y esa es nuestra respuesta final.
En el ejemplo anterior hemos hallado el recíproco de un número mixto. En el siguiente caso, vamos a hallar el recíproco de un número mixto negativo.
Halla el inverso multiplicativo de menos cuatro y un cuarto.
¿Qué sabemos sobre el inverso multiplicativo? Inverso multiplicativo es otra forma de decir recíproco. Y para la fracción 𝑎 sobre 𝑏, su recíproco es 𝑏 sobre 𝑎 porque 𝑎 sobre 𝑏 por 𝑏 sobre 𝑎 es igual a uno. Pero menos cuatro más un cuarto no está en la forma 𝑎 sobre 𝑏. Menos cuatro más un cuarto es un número mixto. Para poder hallar el inverso multiplicativo, necesitamos primero transformar este número mixto en una fracción impropia.
Lo primero que debemos hacer es bajar este signo menos, ya que afecta a todo este número mixto. Después, multiplicamos la parte entera, o sea, cuatro, por el denominador cuatro. Y luego sumamos el numerador. Debemos prestar mucha atención aquí y notar que el signo menos aplica a todo el numerador. Y el denominador será el denominador del número mixto. Cuatro por cuatro es 16. 16 más uno es 17. Así que tenemos menos 17 sobre cuatro. El número mixto menos cuatro y un cuarto puede ser reescrito como la fracción impropia menos 17 sobre cuatro.
Para hallar el inverso multiplicativo, invertimos el numerador y el denominador, obteniendo cuatro sobre menos 17. Si multiplicamos menos 17 por 4, obtenemos menos 68. Y si multiplicamos cuatro por menos 17, obtenemos menos 68. Y menos 68 sobre menos 68 es uno, lo que significa que el inverso multiplicativo de menos cuatro y un cuarto es cuatro sobre menos 17. Sabemos que menos por menos es igual a más. Lo que vemos aquí es que los números negativos tienen recíprocos negativos. Usualmente movemos el signo menos al numerador. Por lo tanto, el inverso multiplicativo de cuatro y un cuarto puede ser escrito como menos cuatro sobre 17.
Veamos ahora un ejemplo del inverso multiplicativo de una expresión.
Halla el inverso multiplicativo de ocho sobre tres más nueve sobre dos.
Nos han dado esta expresión que es la suma de dos fracciones. Y queremos hallar el inverso multiplicativo. Primero, tomamos esta expresión y hallamos su suma. Para hacer esto, tenemos que hallar un común denominador para las dos fracciones. Podemos usar el denominador de seis, pues tres por dos es igual a seis. Pero si multiplicamos el denominador por dos, tenemos que multiplicar el numerador por dos. Ocho tercios es igual a 16 sextos. Podemos realizar el mismo proceso para nueve medios. Dos por tres es igual a seis. Y nueve por tres es igual a 27.
Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumarlas simplemente sumando sus numeradores. 16 más 27 es igual a 43. Y el denominador no cambia. Ocho tercios más nueve medios es igual a 43 sextos. Y es de este valor del que debemos hallar el inverso multiplicativo. Sabemos que, para la fracción 𝑎 sobre 𝑏, su inverso multiplicativo es 𝑏 sobre 𝑎. Si intercambiamos el numerador y el denominador, obtenemos seis sobre 43. Y 43 por seis sobre 43 por seis es lo mismo que uno. Nuestra respuesta final para el inverso multiplicativo de ocho tercios más nueve medios es seis sobre 43.
Veamos un último ejemplo.
Halla el valor de 𝑥 para el cual el número racional 𝑥 menos 18 sobre 26 no tiene inverso multiplicativo.
Necesitamos pensar en lo que sabemos sobre un número que no tiene inverso multiplicativo. Sabemos que todos los números excepto el cero tienen recíproco. Y que inverso multiplicativo es otro nombre para recíproco. Podemos decir que si 𝑥 menos 18 sobre 26 es igual a cero, la expresión no tiene recíproco. Necesitamos encontrar el valor de 𝑥 que haga que 𝑥 menos 18 sobre 26 sea igual a cero. Podemos sacar el 26 del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por 26. 26 por cero es igual a cero. Y 𝑥 menos 18 es igual a cero.
Para hallar 𝑥, necesitamos sumar 18 a ambos lados. Cero más 18 es igual a 18. Y 𝑥 menos 18 más 18 es igual a 𝑥. Podemos darle la vuelta y decir que 𝑥 es igual a 18. Estamos diciendo que 18 menos 18 sobre 26 no tiene un recíproco porque 18 menos 18 es igual a cero. Y cero sobre 26 es igual a cero. Como cero no tiene un inverso multiplicativo, podemos decir que cuando 𝑥 es 18, esta expresión no tiene un inverso multiplicativo.
Terminemos considerando algunos puntos clave. El recíproco a menudo se llama inverso multiplicativo, ya que el producto de un número y su recíproco es uno. El recíproco de una fracción 𝑎 sobre 𝑏 se obtiene intercambiando el numerador y el denominador, de modo que el recíproco es 𝑏 sobre 𝑎. Para hallar el recíproco de un número mixto, primero lo tenemos que convertir en una fracción impropia. Y todos los números excepto el cero tienen un recíproco.
