Vídeo: Razón de cambio y derivadas

En este video, vamos a aprender cómo hallar la razón de cambio instantánea de una función usando derivadas y cómo aplicar esto a problemas reales.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo hallar la razón de cambio o tasa de variación instantánea de una función usando derivadas y cómo aplicar esto a problemas reales. Vamos a estudiar la pendiente de las rectas secantes y tangentes antes de definir la fórmula de la razón de cambio de una función. Y vamos a explorar la aplicación de esta fórmula a una variedad de ejemplos, incluyendo algunos con polinomios y también otros con funciones que contienen raíces y cocientes.

Vamos a comenzar recordando un poco lo que sabemos sobre la tangente a una curva. Imaginemos que esta curva tiene la ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Y queremos hallar la tangente a nuestra curva en algún punto 𝑃 dado por el par ordenado 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Consideramos un punto cercano 𝑄 dado por el par ordenado 𝑥, 𝑓 de 𝑥, donde 𝑥 no es igual a 𝑎. Y hallamos la pendiente de la secante que pasa por 𝑃 y 𝑄. Hallamos la pendiente usando la fórmula cambio en 𝑦 dividido por cambio en 𝑥, o sea, 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Tomando las coordenadas de 𝑃 y 𝑄, hallamos que la pendiente de nuestra secante es 𝑓 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑥 menos 𝑎.

Hacemos que 𝑄 tienda a 𝑃 a lo largo de la curva. Y conseguimos esto haciendo que el valor de 𝑥 tienda a 𝑎. Al hacer esto, la distancia entre 𝑃 y 𝑄 se hace más y más pequeña. Nos aproximamos a la pendiente de la tangente en 𝑃. Y hacemos nuestra primera definición. La tangente a la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 en el punto 𝑎, 𝑓 de 𝑎 es la recta que pasa por 𝑃 y que tiene pendiente 𝑚 dada por el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑥 menos 𝑎, siempre que este límite exista. Y esta definición nos lleva directamente a una segunda. Esta vez igualamos ℎ a la diferencia entre 𝑥 y 𝑎. Esto es 𝑥 menos 𝑎. Sumando 𝑎 a ambos lados, hallamos que 𝑥 es igual a 𝑎 más ℎ. Y la pendiente de nuestra secante 𝑃𝑄 es ahora 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ. Y cuando 𝑥 tiende a 𝑎, ℎ tiende a cero. Así que nuestra segunda expresión para la pendiente de la tangente en 𝑃 es ahora el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 todo sobre ℎ.

Cuando hallamos la pendiente en situaciones reales la llamamos razón de cambio o tasa de variación. Básicamente es lo mismo que la pendiente. Y esta es nuestra definición para la razón de cambio. De hecho, límites de esta forma aparecen a menudo cuando calculamos tasas de variación, especialmente en ciencias de la ingeniería. Y, por lo tanto, le damos un nombre especial. Lo llamamos la derivada de la función 𝑓 en 𝑎 y lo denotamos como 𝑓 prima de 𝑎. Y esto es muy conveniente. Porque al considerar estas definiciones, podemos decir que la tangente a 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 en el punto 𝑎, 𝑓 de 𝑎 es la recta que pasa por este punto y cuya pendiente es igual a 𝑓 prima de 𝑎, la derivada de 𝑓 en 𝑎.

Tenemos, pues, todas estas definiciones. Veamos cómo podríamos aplicarlas a problemas de tasas de variación y de derivadas.

Evalúa la razón de cambio de 𝑓 de 𝑥 igual a siete 𝑥 al cuadrado más nueve en 𝑥 igual a 𝑥 uno.

Recordemos que la definición de la tasa de cambio instantánea de una función — o sea, su derivada — en un punto 𝑥 igual a 𝑎 es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 todo sobre ℎ. En esta cuestión, 𝑓 de 𝑥 es igual a siete 𝑥 al cuadrado más nueve. Estamos buscando la razón de cambio en 𝑥 igual a 𝑥 uno. Igualamos 𝑎 a 𝑥 uno. Y queremos hallar la tasa de variación en 𝑥 uno. Eso es 𝑓 prima de 𝑥 uno. Por lo tanto, eso es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 uno más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 uno todo sobre ℎ.

Nuestro paso siguiente es sustituir 𝑥 uno más ℎ y 𝑥 uno en nuestra función original. 𝑓 de 𝑥 uno más ℎ es siete por 𝑥 uno más ℎ al cuadrado más nueve. Desarrollamos 𝑥 uno más ℎ todo al cuadrado. Y obtenemos 𝑥 uno al cuadrado más dos 𝑥 uno ℎ más ℎ al cuadrado. Y luego desarrollamos nuevamente y obtenemos siete 𝑥 uno al cuadrado más 14𝑥 uno ℎ más siete ℎ al cuadrado más nueve. 𝑓 de 𝑥 uno es más sencillo. Es simplemente siete 𝑥 uno al cuadrado más nueve. Sustituyamos estos valores en nuestra expresión para la tasa de cambio instantánea de nuestra función en 𝑥 uno.

Es el límite que se muestra. Por supuesto, podemos desarrollar los paréntesis. Nuestros dos términos finales se vuelven menos siete 𝑥 uno al cuadrado menos nueve. Y siete 𝑥 uno al cuadrado menos siete 𝑥 uno al cuadrado es cero y nueve menos nueve también es cero. Y 𝑓 prima de 𝑥 uno es, por lo tanto, el límite cuando ℎ tiende a cero de 14𝑥 uno ℎ más siete ℎ al cuadrado sobre ℎ. Todavía no estamos listos para realizar una sustitución directa. Pero podemos dividir nuestros dos términos en el numerador por ℎ. Así que la razón de cambio instantánea es el límite cuando ℎ tiende a cero de 14𝑥 uno más siete ℎ. Y ahora sí podemos realizar una sustitución directa. Es 14𝑥 uno más siete por cero, que es 14𝑥 uno. La tasa de variación de 𝑓 de 𝑥 igual a siete 𝑥 al cuadrado más nueve en 𝑥 igual a 𝑥 uno es 14𝑥 uno.

En este ejemplo, terminamos hallando una ecuación general para la razón de cambio instantánea de la función. Podríamos usar esto para hallar la razón de cambio particular en cualquier punto, escogiendo valores para 𝑥 uno. Por ejemplo, supongamos que queremos hallar la razón de cambio de la función en el punto de abscisa 𝑥 igual a dos. Igualamos 𝑥 uno a dos. Y la tasa de variación se convierte en 14 por dos, que es 28.

A continuación, veremos un ejemplo donde buscamos la tasa de cambio en un punto específico.

Evalúa la tasa de cambio de 𝑓 de 𝑥 igual a raíz cuadrada de seis 𝑥 más siete en 𝑥 igual a tres.

Recuerda, la definición de razón de cambio o tasa de variación instantánea de una función — o sea, su derivada — en un punto 𝑥 igual a 𝑎 es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ. En esta pregunta, 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de seis 𝑥 más siete. Y estamos buscando la razón de cambio en 𝑥 igual a tres. Así que vamos a igualar 𝑎 a tres. La razón de cambio es la derivada de nuestra función evaluada en 𝑥 igual a tres. Usando nuestra definición anterior, vemos que es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de tres más ℎ menos 𝑓 de tres todo sobre ℎ.

Nuestro trabajo será resolver 𝑓 de tres más ℎ y 𝑓 de tres. Para hallar 𝑓 de tres más ℎ, reemplazamos 𝑥 en nuestra expresión original para la función por tres más ℎ. Es la raíz cuadrada de seis por tres más ℎ más siete. Al desarrollar los paréntesis, obtenemos 18 más seis ℎ más siete, lo que se simplifica a seis ℎ más 25. Por lo tanto, 𝑓 de tres más ℎ es la raíz cuadrada de seis ℎ más 25. Repetimos este proceso para 𝑓 de tres. Esta vez obtenemos raíz cuadrada de seis por tres más siete, que es raíz de 25 o simplemente cinco.

Sustituyendo esto de nuevo en nuestra definición original para 𝑓 prima de tres hallamos que es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de la raíz cuadrada de seis ℎ más 25 menos cinco sobre ℎ. Bueno, no estamos listos para realizar una sustitución directa. Si lo hiciéramos, estaríamos dividiendo por cero, que sabemos que no está definido. Así que necesitamos manipular un poco nuestra expresión. Comenzamos escribiendo la raíz cuadrada de seis ℎ más 25 como seis ℎ más 25 elevado a un medio. Después multiplicamos el numerador y el denominador de nuestro límite por el conjugado del numerador. Eso es seis ℎ más 25 elevado a un medio más cinco.

Simplifiquemos el numerador. Comenzamos multiplicando el primer término en cada expresión. Seis ℎ más 25 elevado a un medio por sí mismo. Bueno, eso es simplemente seis ℎ más 25. Multiplicamos seis ℎ más 25 elevado a un medio por cinco. Y después, multiplicamos menos cinco por seis ℎ más 25 elevado a un medio. Y terminamos con cinco por seis ℎ más 25 elevado a un medio menos cinco por seis ℎ más 25 elevado a un medio, que es, por supuesto, cero. Finalmente, multiplicamos menos cinco por cinco y obtenemos menos 25. Por ahora, dejaremos el denominador como se muestra. Vamos a hacer algo de espacio para el siguiente paso.

Notamos que 25 menos 25 es cero. Así que nuestro numerador se convierte en seis ℎ. Y luego descubrimos que podemos simplificar dividiendo por ℎ. Y, de hecho, ahora estamos listos para realizar una sustitución directa. Vamos a reemplazar ℎ en nuestro límite con cero. Y así nuestro denominador se convierte en seis por cero más 25 elevado a un medio, o sea, 25 elevado a un medio. Bien, 25 elevado a un medio es la raíz cuadrada de 25, que es cinco. 𝑓 prima de tres es seis sobre cinco más cinco, que es, por supuesto, seis décimos. Que es lo mismo que tres quintos. La tasa de variación de nuestra función en 𝑥 igual a tres es, por lo tanto, tres quintos.

Hemos visto cómo este proceso puede funcionar para funciones polinómicas y aquellas que incluyen raíces. A continuación vamos a ver cómo calcular la razón de cambio en un ejemplo que contiene un cociente.

Sabiendo que la función 𝑓 de 𝑥 es igual a cinco 𝑥 más siete sobre cuatro 𝑥 más dos, determina su tasa de variación en 𝑥 igual a dos.

Recordemos la definición de razón de cambio instantánea de la función, o sea, su derivada. Es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎, todo sobre ℎ, suponiendo que ese límite existe. En esta pregunta, 𝑓 de 𝑥 es igual a cinco 𝑥 más siete partido por cuatro 𝑥 más dos. Y queremos hallar la razón de cambio cuando 𝑥 es igual a dos. Así que vamos a igualar 𝑎 a dos. Necesitamos evaluar 𝑓 prima de dos, la tasa de cambio instantánea, o sea, la derivada de nuestra función, cuando 𝑥 es igual a dos.

Según nuestra definición, es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de dos más ℎ menos 𝑓 de dos sobre ℎ. Vamos a resolver 𝑓 de dos más ℎ y 𝑓 de dos. Para hallar 𝑓 de dos más ℎ, reemplazamos cada instancia de 𝑥 en nuestra función original con dos más ℎ. Y obtenemos cinco por dos más ℎ más siete sobre cuatro por dos más ℎ más dos. Y cuando distribuimos nuestros paréntesis y simplificamos, obtenemos 17 más cinco ℎ sobre 10 más cuatro ℎ. Del mismo modo, 𝑓 de dos es cinco por dos más siete sobre cuatro por dos más dos, que es 17 décimos. Y vemos que 𝑓 prima de dos es el límite cuando ℎ tiende a cero de la diferencia entre estos términos dividida por ℎ.

Hay dos fracciones en nuestro numerador. Así que vamos a simplificar creando un denominador común allí. Multiplicaremos el numerador y el denominador de la primera fracción en el numerador por 10 y la segunda fracción en nuestro numerador por 10 más cuatro ℎ. Y, cuando hacemos esto, obtenemos el numerador que se muestra. Esto parece bastante complicado. Pero, de hecho, dividir toda esta fracción por ℎ es lo mismo que multiplicarla por uno sobre ℎ. Así que podemos reescribir nuestro denominador como ℎ multiplicado por 100 más 40ℎ. Y después, simplificamos el numerador a menos 18ℎ. Y podemos simplificar aún más dividiendo por ℎ.

Y con esto estamos listos para realizar una sustitución directa. Al reemplazar ℎ por cero, encontramos que 𝑓 prima de dos es menos 18 sobre 100, lo que se simplifica a menos nueve sobre 50. La razón de cambio instantánea de nuestra función 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 es igual a dos es menos nueve sobre 50.

En nuestro último ejemplo vamos a considerar las aplicaciones de la razón de cambio y la derivada en el mundo real.

Un disco circular encoge conservando su forma. ¿Cuál es la tasa de cambio de su área con respecto al radio cuando el radio es 59 centímetros?

Comenzamos escribiendo la fórmula que nos permite calcular la razón de cambio de una función en un punto dado para 𝑥 igual a 𝑎. Es 𝑓 prima de 𝑎 igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ, donde 𝑓 prima es la derivada de la función. Pero no parece que tengamos una función aquí. Consideremos lo que sabemos sobre el área de un círculo. Está dado por la fórmula 𝐴 igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. Podríamos escribir esto como 𝐴 de 𝑟. 𝐴 es una función de 𝑟. Esto significa que la razón de cambio de 𝐴 con respecto a 𝑟 es la derivada de 𝐴 con respecto a 𝑟.

Ahora estamos tratando de encontrar la razón de cambio cuando el radio es igual a 59. Así que vamos a hallar 𝐴 prima de 59. Queremos hallar 𝐴 prima de 59. Y, por definición, eso debe ser igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝐴 de 59 más ℎ menos 𝐴 de 59 todo sobre ℎ. Veamos qué son realmente 𝐴 de 59 más ℎ y 𝐴 de 59. 𝐴 de 𝑟 es 𝜋𝑟 al cuadrado. 𝐴 de 59 más ℎ es 𝜋 por 59 más ℎ al cuadrado. Desarrollamos nuestros paréntesis. Y vemos que esto es igual a 𝜋 por 3481 más 118ℎ más ℎ al cuadrado. Del mismo modo, 𝐴 de 59 es 𝜋 multiplicado por 59 al cuadrado, que es 3481𝜋. Podemos reemplazar 𝐴 de 59 más ℎ y 𝐴 de 59 con estas dos expresiones en nuestra definición de la derivada. Y cuando factorizamos 𝜋, vemos que el numerador es 𝜋 multiplicado por 3481 más 118ℎ más ℎ al cuadrado menos 3481. Por supuesto, estos nos dan cero.

Estamos, pues, buscando el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝜋 por 118ℎ más ℎ al cuadrado todo sobre ℎ. Y claro está que podemos dividir por ℎ. Así que nuestra derivada es el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝜋 por 118 más ℎ. Ahora estamos listos para realizar una sustitución directa. Sustituimos ℎ por cero. Y cuando lo hacemos, hallamos que 𝐴 prima de 59 es igual a 118𝜋. La tasa de variación instantánea del área del disco circular con respecto a su radio es de 118𝜋 centímetros cuadrados por centímetro. Seguramente estás pensando que la respuesta debería ser negativa. Ya que nos han dicho que el disco circular se está reduciendo. Sin embargo, eso no es así. Pues el área cambia de la misma forma, positiva o negativa, que el radio. Es decir que, de hecho, es una razón de cambio positiva.

En este video, hemos visto que podemos usar la fórmula del límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑎 más ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ para hallar la razón de cambio o tasa de variación instantánea de una función 𝑓 de 𝑥, en el punto de abscisa 𝑥 igual a 𝑎, siempre que ese límite exista. Vimos que, a menudo, llamamos a esto la derivada de la función 𝑓 y que podemos usar esta fórmula para hallar la forma general, y también soluciones particulares dando valores a 𝑥. Y vimos que necesitamos considerar cuidadosamente la naturaleza de la función al resolver problemas en contextos del mundo real.

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