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Vídeo de la lección: El triángulo de Tartaglia o de Pascal y la fórmula del binomio de Newton Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo hacer uso del triángulo de Pascal, o triángulo de Tartaglia, para hallar los coeficientes del desarrollo de un binomio de la forma (𝑎 + 𝑏)^(𝑛).

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hacer uso del triángulo de Tartaglia, o triángulo de Pascal, para hallar los coeficientes del desarrollo de una potencia de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛, donde 𝑛 es un entero positivo. Para ello, vamos a empezar desarrollando algunas potencias para detectar posibles regularidades.

Comenzamos desarrollando el binomio 𝑎 más 𝑏 elevado a cero. Como ya sabemos, cualquier número elevado a cero es uno. Así que 𝑎 más 𝑏 elevado a cero es uno. ¿Y 𝑎 más 𝑏 elevado a uno? Cualquier número elevado a uno es ese mismo número, así que la respuesta es 𝑎 más 𝑏. El coeficiente de 𝑎 y 𝑏 es uno. Cuando tenemos exponentes mayores o iguales que dos, las cosas empiezan a ponerse un poco más interesantes. 𝑎 más 𝑏 al cuadrado es 𝑎 más 𝑏 por 𝑎 más 𝑏. Desarrollamos los paréntesis usando el método PEIÚ o el método del área, y obtenemos 𝑎 al cuadrado más dos 𝑎𝑏 más 𝑏 al cuadrado. Los coeficientes de 𝑎 al cuadrado y de 𝑏 al cuadrado son uno, pero tenemos un tercer coeficiente, y este es distinto. El coeficiente de 𝑎𝑏 es dos.

Veamos ahora qué pasa cuando el binomio tiene un exponente de tres. 𝑎 más 𝑏 al cubo es lo mismo que multiplicar 𝑎 más 𝑏 al cuadrado por 𝑎 más 𝑏. Y si desarrollamos esto obtenemos 𝑎 al cubo más tres 𝑎 al cuadrado 𝑏 más tres 𝑎𝑏 al cuadrado más 𝑏 al cubo. Esta vez los coeficientes son uno, tres, tres y uno. Veamos ahora lo que obtenemos si el exponente es cuatro. Esto es el resultado de multiplicar 𝑎 más 𝑏 al cubo por 𝑎 más 𝑏. Desarrollamos los paréntesis y obtenemos 𝑎 a la cuarta más cuatro 𝑎 al cubo 𝑏 más seis 𝑎 al cuadrado 𝑏 al cuadrado más cuatro 𝑎𝑏 al cubo más 𝑏 a la cuarta. Los coeficientes son uno, cuatro, seis, cuatro y uno.

Sin embargo, si quisiéramos desarrollar de esta forma la potencia 𝑎 más 𝑏 a la décima, probablemente nos pasaríamos con ello un rato muy largo. Así que en lugar de seguir el procedimiento que hemos seguido hasta ahora, vamos a buscar un atajo. Vamos a colocar las expresiones una por encima de otra para ver si detectamos un patrón. ¿Qué observas? Vemos que se trata de un triángulo y vamos a fijarnos en los extremos o lados de este triángulo. Como ves, hay un patrón muy sencillo. Todos los términos tienen un coeficiente de uno. En el lado izquierdo del triángulo tenemos el término 𝑎 elevado al exponente. En el lado derecho también tenemos coeficientes iguales a uno. Pero esta vez es la 𝑏 la que está elevada al exponente. ¿Qué más vemos? Podemos hallar más patrones si nos fijamos en las diagonales, o, podemos, sino, considerar los términos de cada desarrollo por separado.

Tomemos 𝑎 más 𝑏 a la cuarta. Fíjate en cómo el exponente de 𝑎 disminuye en uno cada vez. El exponente de 𝑏, al contrario, aumenta en uno cada vez. Podemos ver, también, que la suma de sus exponentes es igual a cuatro, que es el exponente de 𝑎 más 𝑏. Pero, ¿qué pasa con los coeficientes? Esta parte es muy interesante. Vamos a aclarar esto un poco colocando en un triángulo solo los coeficientes. Una vez más, vemos que en los bordes del triángulo solo hay unos, pero ahora podemos ver además, que los otros números son la suma de los dos números que están justo por encima. Así, por ejemplo, uno más dos es tres, tres más tres es seis, y así sucesivamente. Este triángulo tiene un nombre particular. Se le llama triángulo de Pascal —aunque también se le conoce como triángulo de Tartaglia— en honor al matemático francés y al italiano.

Vamos a hallar la siguiente fila del triángulo usando las regularidades que hemos descubierto. Sabemos que vamos a tener siempre el número uno en ambos extremos. Y que para hallar los valores intermedios debemos sumar los dos números que están justo por encima. Uno más cuatro es cinco, cuatro más seis es 10, seis más cuatro es 10 y cuatro más uno es cinco. Como es bastante sencillo construir el triángulo de Tartaglia para valores pequeños de 𝑛, es de mucha utilidad para desarrollar potencias de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛. Vamos a combinar todo lo que hemos visto hasta ahora para encontrar una forma de hacerlo.

Para desarrollar paréntesis de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛 para valores enteros positivos de 𝑛, componemos los términos de izquierda a derecha. El exponente de 𝑎 comienza por 𝑛 y disminuye en uno cada vez hasta llegar a 𝑎 elevado a cero. Y sabemos que 𝑎 elevado a cero es uno. Hacemos lo contrario para 𝑏. El exponente de 𝑏 aumenta en uno cada vez, y empezamos con 𝑏 elevado a cero y terminamos en 𝑏 elevado a 𝑛. Sabemos que los coeficientes de cada término son los números que aparecen en la fila 𝑛 igual a 𝑛 del triángulo de Pascal. Ahora explicaremos por qué no hemos dicho la 𝑛-ésima fila, pues técnicamente no es la 𝑛-ésima fila.

Veamos cómo podemos aplicar este método para desarrollar un binomio.

Usa el triángulo de Pascal para calcular 𝑥 más cuatro a la quinta.

Recuerda que para desarrollar una potencia de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛 para valores enteros positivos de 𝑛 hacemos lo siguiente. Consideramos los términos de izquierda a derecha. El exponente de 𝑎 comienza por 𝑛 y disminuye en uno cada vez hasta llegar a 𝑎 elevado a cero. Luego, para 𝑏, comenzamos con un exponente de cero y aumentamos en uno cada vez hasta que llegamos a 𝑏 elevado a 𝑛. Seguidamente hallamos los coeficientes de cada término buscando los números que aparecen en la fila 𝑛 igual a 𝑛 del triángulo de Pascal. Para comparar la forma general con nuestro binomio, hacemos 𝑎 igual a 𝑥, 𝑏 igual a cuatro y 𝑛 igual a cinco. De hecho, vamos a construir una tabla para asegurarnos de que no nos falta ningún término.

Como puedes ver, siempre hay una columna más en la tabla que el valor de 𝑛. Así que aquí necesitamos seis columnas. Nos movemos de izquierda a derecha, y empezamos con 𝑎 elevado a 𝑛. 𝑎 es 𝑥 y 𝑛 es cinco. Así que tenemos 𝑥 a la quinta. Disminuimos el exponente en uno cada vez, y obtenemos 𝑥 a la cuarta, 𝑥 al cubo, 𝑥 al cuadrado, 𝑥 elevado a uno y 𝑥 elevado a cero. 𝑥 elevado a uno es 𝑥 y 𝑥 elevado a cero es uno. Muy bien, ya tenemos la parte 𝑥 de cada término. Ahora veremos la parte de cuatro. Empezamos por 𝑏 elevado a cero. Aquí eso es cuatro elevado a cero. Luego aumentamos ese exponente en uno cada vez, y obtenemos cuatro elevado a uno, cuatro al cuadrado, cuatro al cubo, cuatro a la cuarta y cuatro a la quinta.

Ahora sustituimos cuatro elevado a cero por uno, y cuatro elevado a uno por cuatro. A esta tercera fila la hemos llamado 𝑐, pues se refiere al coeficiente de cada término. Para averiguarlos vamos a construir el triángulo de Pascal. El triángulo de Pascal tiene este aspecto. En la primera fila, cuando 𝑛 es igual a cero; tenemos uno. Cuando 𝑛 es igual a uno, tenemos la segunda fila; tenemos uno, uno. Cuando 𝑛 es igual a dos, tenemos uno, dos, uno. Los unos siguen manteniéndose en los extremos y luego sumamos los números inmediatamente superiores para obtener el número siguiente. Así que uno más cuatro es igual a cinco y así sucesivamente.

Fíjate en que nos hemos detenido en 𝑛 es igual a cinco, pues ese es nuestro exponente. Pero esta no es la quinta fila. De hecho es la sexta fila. Así que debemos andarnos con mucho ojo al dibujar el triángulo de Pascal. Los coeficientes son, por lo tanto, uno, cinco, 10, 10, cinco y uno. Seguidamente, para hallar los términos de nuestro desarrollo, multiplicamos todos los términos en cada columna. Así, el primer término es 𝑥 a la quinta por uno por uno, que es 𝑥 a la quinta. A continuación, multiplicamos los términos de la segunda columna. Eso es 𝑥 a la cuarta por cuatro por cinco, que es 20𝑥 a la cuarta.

Continuamos haciendo lo mismo, así que el tercer término es 𝑥 al cubo por cuatro al cuadrado por 10, que es 160𝑥 al cubo. Luego tenemos 𝑥 al cuadrado por cuatro al cubo por 10, que es 640𝑥 al cuadrado. Multiplicamos los términos de la penúltima columna y obtenemos 1280𝑥. Y el sexto y último término es 1024. De esta forma hemos hallado que 𝑥 más cuatro a la quinta puede expresarse como 𝑥 a la quinta más 20𝑥 a la cuarta más 160𝑥 al cubo más 640𝑥 al cuadrado más 1280𝑥 más 1024.

Veamos ahora un segundo ejemplo.

Usa el triángulo de Pascal para desarrollar la expresión 𝑥 más uno partido por 𝑥, todo elevado a cuatro.

Recuerda que, para desarrollar un paréntesis de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛 para valores enteros positivos de 𝑛, nos movemos de izquierda a derecha. Nuestro exponente de 𝑎 comienza por 𝑛 y disminuye en uno cada vez hasta llegar a 𝑎 elevado a cero. Hacemos lo contrario con 𝑏. Aumentamos el exponente en uno cada vez, comenzando con 𝑏 elevado a cero hasta llegar a 𝑏 elevado a 𝑛. Y los coeficientes de cada término son los números que aparecen en la fila 𝑛 igual a 𝑛 del triángulo de Pascal. Como ya hemos visto, esta es, en realidad, la fila 𝑛 más uno.

Para comparar nuestro binomio con la forma general, hacemos 𝑎 igual a 𝑥, 𝑏 igual a uno partido por 𝑥, y 𝑛, el exponente, igual a cuatro. Ahora vamos a representar esto en una tabla, y no debemos olvidarnos de que habrá 𝑛 más un término en el desarrollo. Así que vamos a necesitar cinco columnas en la tabla. Vamos a comenzar por la 𝑥. Sabemos que tenemos 𝑥 elevado a 𝑛, y esto es 𝑥 a la cuarta. Luego reducimos ese exponente en uno cada vez, y sabemos que 𝑥 elevado a uno es 𝑥 y que 𝑥 elevado a cero es uno.

Luego, para el término de uno partido por 𝑥, comenzamos con un exponente de cero y luego lo aumentamos en uno cada vez. Sabemos que el exponente cero da uno y que uno sobre 𝑥 elevado a uno es uno sobre 𝑥. Desarrollamos el exponente de cada término en nuestras fracciones y obtenemos uno sobre 𝑥 al cuadrado, uno sobre 𝑥 al cubo y uno sobre 𝑥 a la cuarta.

Consideremos ahora los coeficientes. Vamos a dibujar las primeras filas del triángulo de Pascal. De hecho, vamos a dibujar la fila 𝑛 igual a cuatro, que en realidad será la fila cuatro más uno, la quinta fila, del triángulo. Como ya sabemos, el triángulo de Pascal tiene esta pinta. Tenemos un uno en los extremos. Y para hallar los valores restantes, sumamos los dos números que están inmediatamente por encima. Así, uno más tres es cuatro, tres más tres es seis, y así sucesivamente. Y los coeficientes son uno, cuatro; seis, cuatro y uno. Sabemos que hemos elegido la fila correcta porque no nos sobran ni faltan números.

Para hallar cada uno de los términos en el desarrollo de 𝑥 más uno partido por 𝑥, todo a la cuarta, multiplicamos los términos de cada columna. Así que tenemos 𝑥 a la cuarta por uno por uno, que es 𝑥 a la cuarta, luego 𝑥 al cubo por uno sobre 𝑥 por cuatro, que se simplifica a cuatro 𝑥 al cuadrado. Luego multiplicamos los términos de la tercera, cuarta y quinta columna, y simplificamos. 𝑥 más uno partido por 𝑥, todo a la cuarta, es por lo tanto igual a 𝑥 a la cuarta más cuatro 𝑥 al cuadrado más seis más cuatro partido por 𝑥 al cuadrado más uno partido por 𝑥 a la cuarta. Fíjate en que, en este caso, por la naturaleza de 𝑎 y 𝑏, tenemos una constante de seis aunque ni 𝑎 ni 𝑏 son ellas mismas constantes.

Puede que no siempre queramos dibujar cada una de las filas del triángulo de Pascal. Así que en vez de eso, vamos a buscar un atajo. Sabemos que, para una expresión de la forma 𝑎 más 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia, donde 𝑛 es un número entero positivo o un número natural, el desarrollo se convierte en 𝑐 cero por 𝑎 elevado a 𝑛 por 𝑏 elevado a cero más 𝑐 uno por 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno por 𝑏 elevado a uno, y así sucesivamente, hasta llegar a 𝑐 𝑛 por 𝑎 elevado a cero por 𝑏 elevado a 𝑛. En este caso, este 𝑐 subíndice 𝑛 es de la fila 𝑛 más uno del triángulo de Pascal. Disminuimos el exponente de 𝑎 cada vez, y aumentamos el exponente de 𝑏. Pero en realidad hay otras formas de calcular los números 𝑐 cero, 𝑐 uno, hasta 𝑐 𝑛.

Consideremos de nuevo el desarrollo del binomio 𝑎 más 𝑏 a la cuarta. Si nos detenemos en este segundo término, vemos que el coeficiente cuatro representa el número de formas en que podemos elegir una sola 𝑏 de entre los cuatro conjuntos de paréntesis 𝑎 más 𝑏. Pero sabemos que esto podemos expresarlo como el número combinatorio cuatro 𝑐 uno o cuatro combinación uno. Análogamente, si consideramos este tercer término, vemos que el coeficiente de seis aquí es el número de formas en que podemos elegir 𝑏 dos veces de entre los cuatro conjuntos de paréntesis. Y esto viene dado por el número combinatorio cuatro combinación dos. Esto quiere decir que ahora podemos redefinir cada uno de nuestros coeficientes como los números combinatorios 𝑛 combinación cero, 𝑛 combinación uno, 𝑛 combinación dos, hasta 𝑛 combinación 𝑛, donde 𝑛 combinación 𝑟 es 𝑛 factorial partido por 𝑟 factorial multiplicado por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Ahora, como 𝑛 combinación cero y 𝑛 combinación 𝑛 valen uno, podemos reescribir esto así. Veamos un ejemplo en el que podemos aplicar esta fórmula.

Desarrolla la expresión tres más 𝑥, todo a la cuarta.

Aquí tenemos un binomio elevado a un entero, así que podemos usar la fórmula del binomio de Newton. Esta dice que 𝑎 más 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia, donde 𝑛 es un entero positivo, puede escribirse como 𝑎 elevado a 𝑛 más 𝑛 combinación uno 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno 𝑏 más 𝑛 combinación dos por 𝑎 elevado a 𝑛 menos dos 𝑏 al cuadrado, hasta 𝑏 elevado a 𝑛. Observamos que el exponente de 𝑎 disminuye en uno cada vez y el exponente de 𝑏 aumenta en uno cada vez. Comparamos nuestra expresión con la forma general. Y para hacerlo igualamos 𝑎 a tres, 𝑏 a 𝑥 y 𝑛 a cuatro.

Veamos si podemos usar esto para desarrollar nuestra expresión. El primer término es 𝑎 elevado a 𝑛. Así que eso es tres a la cuarta. Luego tenemos 𝑛 combinación uno, que es cuatro sobre uno por tres al cubo. Y, como sabes, estamos reduciendo estos exponentes y multiplicándolos por 𝑥. El siguiente término es cuatro combinación dos. Reducimos el exponente de tres y aumentamos el de 𝑥. Así que obtenemos por tres al cuadrado por 𝑥 al cuadrado. Nuestro cuarto término es cuatro combinación tres por tres por 𝑥 al cubo. Y ahora tenemos nuestro último término. Que es 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia, o sea, 𝑥 a la cuarta.

Fíjate en que el número de términos que tenemos siempre será uno más que el exponente. Así que tenemos cinco términos aquí. Simplifiquemos estos términos. Tres a la cuarta es 81. Cuatro combinación uno es cuatro y tres al cubo es 27. Así que el siguiente término es 108𝑥. Cuatro combinación dos es seis, así que nuestro tercer término es seis por nueve por 𝑥 al cuadrado, que es 54𝑥 al cuadrado. Cuatro combinación tres es cuatro, así que nuestro cuarto término es 12𝑥 al cubo, y nuestro quinto y último término sigue siendo 𝑥 a la cuarta. Tres más 𝑥 a la cuarta es 81 más 108𝑥 más 54𝑥 al cuadrado más 12𝑥 al cubo más 𝑥 a la cuarta.

También podemos hallar un término en concreto haciendo uso del término general de la fórmula del binomio de Newton. Es 𝑛 combinación 𝑟 por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 por 𝑏 elevado a 𝑟. Supongamos que queremos hallar el cuarto término de este desarrollo. Hacemos 𝑟 igual a tres. Y obtenemos cuatro combinación tres por tres elevado a cuatro menos tres por 𝑥 al cubo, que, de nuevo, nos da 12𝑥 al cubo. Como ves, este es un camino mucho más corto.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En este vídeo hemos aprendido cómo construir fácilmente el triángulo de Pascal, o triángulo de Tartaglia, para valores pequeños de 𝑛, para así desarrollar una potencia de la forma 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛. Por otro lado, cuando 𝑛 toma valores grandes, podemos utilizar la fórmula del binomio de Newton. Que establece que, para valores enteros de 𝑛, 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛 es 𝑎 elevado a 𝑛 más 𝑛 combinación uno 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno 𝑏, y así sucesivamente, hasta 𝑏 elevado a 𝑛. Pero si queremos hallar un término en concreto, podemos usar el término general, que es 𝑛 combinación 𝑟 por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 por 𝑏 elevado a 𝑟.

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