Vídeo: Usar funciones inversas para resolver ecuaciones trigonométricas que describen situaciones de la vida real

La variación de la temperatura, en grados Celsius, en una noche de invierno, está dada por 𝑇 = 3 cos ((𝜋/12)(𝑡 − 14)) + 2, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido, en horas, desde la medianoche. ¿A qué hora la temperatura era de 0 ℃?

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Transcripción del vídeo

La variación de la temperatura, en grados Celsius, en una noche de invierno está determinada por 𝑇 igual a 3 cos de 𝜋 sobre 12 multiplicado por 𝑡 menos 14 más dos, donde 𝑡 es la hora del día (horas transcurridas después de la media noche). ¿A qué hora la temperatura era de cero grados Celsius?

En definitiva, lo que se nos pide en esta pregunta es que hallemos 𝑡 minúscula cuando 𝑇 mayúscula es cero. Veamos primero el rango de valores que 𝑡 minúscula puede tomar. Como 𝑡 es el tiempo transcurrido desde la medianoche en horas y hay 24 horas en un día, resulta que 𝑡 minúscula puede tomar valores desde 0 hasta 24. Tenemos, por lo tanto, 0 menor o igual que 𝑡, menor que 24.

Si ahora nos fijamos en la función de la temperatura, vemos que es cos de 𝜋 sobre 12 multiplicado por 𝑡 menos 14. Para facilitar el cálculo de estos valores, es conveniente calcular el rango de valores de la expresión dentro del coseno. Esta expresión es 𝜋 sobre 12 multiplicado por 𝑡 menos 14. Para hallar este rango, solo tenemos que adaptar el rango de valores de 𝑡 minúscula que ya hemos calculado.

Podemos empezar restando 14 de ambos lados de la desigualdad. Obtenemos que menos 14 es menor o igual que 𝑡 menos 14, que es menor que 10. Ahora podemos multiplicar cada parte de la desigualdad por 𝜋 sobre 12. Y obtenemos esto. Y simplificando un poco, obtenemos: menos siete 𝜋 sobre seis, menor o igual que 𝜋 sobre 12 por 𝑡 menos 14, menor que cinco 𝜋 sobre seis. Hemos encontrado, pues, nuestro rango de valores para 𝜋 sobre 12 multiplicado por 𝑡 menos 14.

Ahora hemos de igualar 𝑇 minúscula a cero. Esto nos da cero igual a 3 cos 𝜋 sobre 12 por 𝑡 menos 14 más dos. Y debemos reorganizar esto para hacer que el coseno sea el sujeto, lo que nos da cos de 𝜋 sobre 12 por 𝑡 menos 14 igual a menos dos tercios. Para hacer las cosas más claras, podemos usar una variable 𝜃 que sea igual a 𝜋 sobre 12 veces 𝑡 menos 14. Así que, de momento, la ecuación que debemos resolver es cos 𝜃 igual a menos dos tercios. Y podemos usar el rango que encontramos antes para ayudarnos a hacer esto.

Este rango es para 𝜋 sobre 12 multiplicado por 𝑡 menos 14, es decir, 𝜃. Por lo tanto, estamos hallando valores de 𝜃 tales que menos siete 𝜋 sobre seis es menor o igual que 𝜃 que es menor que cinco 𝜋 sobre seis. Ahora estamos listos para resolver cos 𝜃 igual a menos dos tercios. Dibujemos una gráfica del coseno para ayudarnos a haceresto. Aquí tenemos nuestra gráfica de 𝑦 igual a cos 𝜃. Ahora hay que marcar el rango de 𝜃. Tenemos que menos siete 𝜋 sobre seis es menor o igual que 𝜃.

Dibujemos, pues, una línea continua en menos siete 𝜋 sobre seis. También tenemos que 𝜃 es menor que cinco 𝜋 sobre seis. Por lo tanto, también trazamos una línea discontinua en cinco 𝜋 sobre seis. Tracemos ahora la recta 𝑦 igual a menos dos tercios. Las soluciones de nuestra ecuación van a ser los puntos donde intersecan la recta 𝑦 igual a menos dos tercios y la recta 𝑦 igual a cos 𝜃. Como podemos ver, tenemos dos soluciones.

Si calculamos con nuestra calculadora el coseno inverso de menos dos tercios, obtenemos un valor de 2.300523983. Este valor se encuentra entre 𝜋 medios y 𝜋. Esta es, pues, la solución a la derecha de nuestra gráfica. Para encontrar la otra solución, podemos usar el hecho de que el gráfico es simétrico con respecto al eje 𝑦. Esto significa que la segunda solución será simplemente el opuesto de la primera solución. Esto nos da menos 2.300523983.

Podríamos redondear aquí. Sin embargo, esto podría hacernos perder precisión en nuestra respuesta. Así que mantengamos por ahora, estos dos valores de la inversa del coseno. Sabemos que 𝜃 es igual a la inversa del coseno de menos dos tercios. Ahora podemos sustituir de nuevo en la expresión de 𝜃 que teníamos antes. Tenemos, pues, 𝜋 sobre 12 por 𝑡 menos 14 igual a coseno inverso de menos dos tercios. Ahora, vamos a despejar 𝑡.

Podemos empezar multiplicando ambos lados por 12 sobre 𝜋. Y ahora solo tenemos que añadir 14 a ambos lados. Y obtenemos que 𝑡 es igual a 14 más 12 sobre 𝜋 multiplicado por el coseno inverso de menos dos tercios. Ahora solo tenemos que sustituir los dos valores de los cosenos inversos de menos dos tercios que hemos hallado más arriba. Sustituyendo la solución positiva nos da que 𝑡 es igual a 22,78735433 horas. Y sustituyendo la solución negativa nos da que 𝑡 es igual a 5,212645674 horas.

Ahora bien, esta no es una buena respuesta porque tiene una parte decimal. Debemos de convertir esta parte decimal en minutos. Para hacerlo debemos multiplicar la parte decimal por 60. Haciendo esto obtenemos una respuesta de 47 minutos. Está bien redondear aquí ya que no necesitamos más precisión que de minutos. Para la segunda respuesta hacemos lo mismo: multiplicamos la parte decimal por 60. Y obtenemos un tiempo de 13 minutos. Concluimos, pues que la temperatura fue de cero grados a las 5 horas y 13 minutos de la mañana y a las 22 horas y 47 minutos de la noche.

En un horario de 12 horas las soluciones se escriben 5:13 a.m. y 10:47 p.m.

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