Vídeo: Curvas paramétricas y la derivada

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar la derivada para estudiar una curva definida por ecuaciones paramétricas y cómo hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar la derivada para analizar una curva definida por ecuaciones paramétricas y cómo hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a esta curva. Como ya sabemos, las ecuaciones paramétricas son fórmulas que describen magnitudes como funciones de otras variables. Puedes encontrarte con este tipo de ecuaciones en la cinemática; también se usan para describir figuras geométricas, e incluso aparecen en geometría vectorial. Así que, como puedes ver, es muy importante que seas capaz de aplicar el cálculo a las ecuaciones paramétricas.

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables tal que 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡 son un par de ecuaciones paramétricas que describen una curva.

Normalmente tendremos que hallar la recta tangente o normal a la curva, o tal vez debamos hallar la pendiente de esa curva en un punto. Habrá veces en las que podremos escribir 𝑦 como una función de 𝑥 y hallar la derivada a partir de ahí. Pero no siempre es tan sencillo. Además, este no suele resultar el método más eficiente.

En vez de eso, vamos a aplicar la regla de la cadena. En este caso, esta regla nos dice que la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑡 por la derivada de 𝑡 con respecto a 𝑥. Pero ¿qué significa esto?

Como ves, podemos derivar 𝑦 con respecto a 𝑡. Pero ¿qué pasa con el término d𝑡 sobre d𝑥? Vamos a reorganizar la función para 𝑥. Y decimos que 𝑡 es igual a la inversa de 𝑓 de 𝑥. De esta forma, como resultado del teorema de la función inversa, decimos que d𝑡 sobre d𝑥 es lo mismo que uno partido por d𝑥 sobre d𝑡. Esto nos da una pista muy buena. Pues nos damos cuenta de que podemos hallar d𝑦 sobre d𝑥 multiplicando d𝑦 sobre d𝑡 por uno partido por d𝑥 sobre d𝑡, o, lo que es lo mismo, haciendo d𝑦 sobre d𝑥 igual a d𝑦 sobre d𝑡 partido entre d𝑥 sobre d𝑡. Esto quiere decir que, para dos funciones derivables 𝑦 y 𝑥, podemos hallar la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 dividiendo la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑡 por la derivada de 𝑥 con respecto a 𝑡. Veamos un ejemplo en el que debemos aplicar esta fórmula.

Sabiendo que 𝑦 es igual a menos siete [𝑡] al cubo más ocho y que 𝑧 es igual a menos siete [𝑡] al cuadrado más tres, calcula la tasa de variación de 𝑦 con respecto a 𝑧.

Cuando nos encontramos con un problema en el que se nos pide calcular la tasa de variación de algo, debemos pensar automáticamente en la derivada. Aquí queremos, pues, hallar la razón de cambio de 𝑦 con respecto a 𝑧. Así que vamos a calcular d𝑦 sobre d𝑧. O sea, la primera derivada de 𝑦 con respecto a 𝑧.

Como acabamos de ver, dadas dos ecuaciones paramétricas — 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡 — podemos hallar d𝑦 sobre d𝑥 multiplicando d𝑦 sobre d𝑡 por uno partido por d𝑥 sobre d𝑡. O, análogamente, dividiendo d𝑦 sobre d𝑡 por d𝑥 sobre d𝑡. En esta cuestión nuestras dos funciones son 𝑦 y 𝑧. Así que decimos que d𝑦 sobre d𝑧 es igual a d𝑦 sobre d𝑡 dividido por d𝑧 sobre d𝑡. Y tenemos que derivar cada función con respecto a 𝑡.

Primero derivamos 𝑦 con respecto a 𝑡. Recuerda que, para derivar un polinomio, debemos multiplicar cada término por el exponente y luego disminuir el exponente en uno. De esta forma, la derivada de menos siete 𝑡 al cubo es tres por menos siete 𝑡 al cuadrado. Y la derivada de ocho es cero. Evidentemente, no vamos a añadir este cero. Así que tenemos que d𝑦 sobre d𝑡 es igual a menos 21𝑡 al cuadrado.

Ahora hacemos lo mismo con d𝑧 sobre d𝑡. Esta vez, la primera derivada es dos por menos siete 𝑡, que es menos 14𝑡. Obtenemos d𝑦 sobre d𝑧 dividiendo d𝑦 sobre d𝑡 entre d𝑧 sobre d𝑡. Eso es menos 21𝑡 al cuadrado dividido por menos 14𝑡. Como sabemos, menos entre menos es más. Y dividimos el numerador y el denominador por 𝑡. Ahora solo nos queda simplificar dividiendo 21 y 14 por siete. De esta forma obtenemos que la tasa de variación de 𝑦 con respecto a 𝑧 es tres 𝑡 sobre dos.

En ocasiones podemos aplicar el método de sustitución para expresar 𝑦 en términos de 𝑥 y derivar como de costumbre. Por ejemplo, si tenemos dos ecuaciones paramétricas — 𝑦 igual a cinco 𝑡 al cuadrado y 𝑥 igual a tres 𝑡 menos dos — podemos expresar la ecuación para 𝑥 como 𝑡 igual a 𝑥 más dos partido entre tres. A continuación reemplazamos 𝑡 por 𝑥 más dos partido entre tres. Y obtenemos que 𝑦 es igual a cinco por 𝑥 más dos partido entre tres todo al cuadrado. Podemos derivar a partir de aquí, aunque como puedes ver no resulta muy eficiente. En el próximo ejemplo vamos a ver cómo aplicar la regla de la cadena a ecuaciones paramétricas más complicadas.

Halla la derivada de siete 𝑥 más cuatro seno de 𝑥 con respecto a coseno de 𝑥 más uno en 𝑥 igual a 𝜋 sobre seis.

Vamos a comenzar definiendo las dos funciones. Hacemos 𝑦 igual a siete 𝑥 más cuatro seno de 𝑥. Y definimos coseno de 𝑥 más uno como 𝑧. Como hemos visto, dadas dos ecuaciones paramétricas — 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡 — podemos hallar d𝑦 sobre d𝑥 multiplicando d𝑦 sobre d𝑡 por uno partido de d𝑥 sobre d𝑡. O, de manera análoga, dividiendo d𝑦 sobre d𝑡 por d𝑥 sobre d𝑡.

En esta cuestión tenemos las funciones 𝑦 y 𝑧. Y están en términos de 𝑥. Por lo tanto, d𝑦 sobre d𝑧 será igual a d𝑦 sobre d𝑥 dividido por d𝑧 sobre d𝑥. Así que comenzamos derivando cada una de las funciones con respecto a 𝑥. La primera derivada de siete 𝑥 es siete. Y cuando derivamos seno de 𝑥, obtenemos coseno de 𝑥. De esta forma obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es siete más cuatro coseno de 𝑥.

Si derivamos coseno de 𝑥, obtenemos menos seno de 𝑥. Eso es d𝑧 sobre d𝑥. Es menos seno de 𝑥. d𝑦 sobre d𝑧 es el cociente. Es siete más cuatro coseno de 𝑥 dividido por menos seno de 𝑥. Pero aún no hemos acabado. Pues queremos hallar la derivada en el punto donde 𝑥 es igual a 𝜋 sobre seis. Así que reemplazamos 𝑥 por 𝜋 sobre seis en la expresión. Y obtenemos siete más cuatro coseno de 𝜋 sobre seis partido de menos seno de 𝜋 sobre seis.

Coseno de 𝜋 sobre seis es la raíz cuadrada de tres medios. Y seno de 𝜋 sobre seis es un medio. Dividir por un medio es lo mismo que multiplicar el numerador por dos. Por lo tanto, la derivada de nuestra función, siete 𝑥 más cuatro seno de 𝑥, con respecto a coseno de 𝑥 más uno en 𝑥 igual a 𝜋 sobre seis es menos 14 menos cuatro raíz cuadrada de tres.

Hasta ahora hemos visto cómo hallar la derivada y calcularla en un punto determinado. Recuerda que la derivada calculada en un punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Esto quiere decir que podemos aplicar geometría de coordenadas para hallar la ecuación de la tangente a una curva. Veamos qué pinta tiene esto.

Halla la ecuación de la tangente a la curva 𝑥 igual a cinco sec 𝜃 y 𝑦 igual a cinco tan 𝜃 en 𝜃 igual a 𝜋 sobre seis.

Para hallar la ecuación de una recta tangente tenemos que calcular su pendiente. Esto es el valor de la derivada en ese punto. Así que comenzamos calculando el valor de d𝑦 sobre d𝑥 cuando 𝜃 es igual a 𝜋 sobre seis.

Estas son, por supuesto, ecuaciones paramétricas. Hay una ecuación para 𝑥 en términos de 𝜃 y una ecuación para 𝑦 en términos de 𝜃. Recuerda que, dadas dos ecuaciones paramétricas — siendo 𝑥 una función en 𝜃 y 𝑦 otra función en 𝜃 — podemos hallar d𝑦 sobre d𝑥 dividiendo d𝑦 sobre d𝜃 por d𝑥 sobre d𝜃. Muy bien, vamos a comenzar derivando cada una de las funciones con respecto a 𝜃. Para ello vamos a hacer uso de la fórmula general para la derivada de la secante de 𝑥 y de la tangente de 𝑥.

La derivada de la secante de 𝑥 es sec 𝑥 tan 𝑥. Y la derivada de la tangente de 𝑥 es sec cuadrado 𝑥. Esto significa que d𝑥 sobre d𝜃 es cinco sec 𝜃 tan 𝜃. Y que d𝑦 sobre d𝜃 es cinco sec al cuadrado 𝜃. d𝑦 sobre d𝑥 es el cociente. Es cinco sec al cuadrado 𝜃 dividido por cinco sec 𝜃 tan 𝜃. Vamos a simplificar esto dividiendo por cinco y por sec 𝜃. Sabemos que sec 𝜃 es lo mismo que uno sobre coseno de 𝜃. Entonces, secante de 𝜃 es uno partido por cos 𝜃. Dividimos esto por tan 𝜃, o sea, por seno de 𝜃 sobre coseno de 𝜃.

Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el recíproco de esa fracción. Así que vamos a multiplicar uno sobre cos 𝜃 por cos 𝜃 sobre seno de 𝜃. Estupendo, podemos cancelar más términos. Y ahora ya hemos simplificado completamente la expresión de la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. Es uno sobre seno de 𝜃. También podemos escribirlo como csc 𝜃.

Recuerda que queremos hallar el valor de la pendiente de la tangente en 𝜃 igual a 𝜋 sobre seis. Así que vamos a calcular d𝑦 sobre d𝑥 cuando 𝜃 es 𝜋 sobre seis. Eso es uno sobre seno de 𝜋 sobre seis. Y como seno de 𝜋 sobre seis es un medio, obtenemos que la pendiente de la tangente es dos.

Ahora que tenemos el gradiente de la tangente, vamos a dejar un poco de espacio para ver qué más tenemos que hacer. La ecuación de una recta con una pendiente 𝑚 que pasa por un punto con coordenadas cartesianas 𝑥 uno, 𝑦 uno es 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno. Ya sabemos el valor de 𝑚. Pero no tenemos una coordenada de 𝑥𝑦 que podamos usar.

No obstante, si sustituimos 𝜃 igual a 𝜋 sobre seis en nuestras ecuaciones originales, hallaremos las coordenadas del punto en el que la tangente interseca la curva. Obtenemos que 𝑥 es igual a cinco sec de 𝜋 sobre seis. Eso es 10 por raíz de tres tercios. Luego obtenemos que 𝑦 es igual a cinco tan de 𝜋 sobre seis. Y eso es cinco por raíz de tres tercios.

Sustituimos los datos que tenemos en la fórmula de la ecuación de una recta, y obtenemos que 𝑦 menos cinco por raíz de tres sobre tres es igual a dos por 𝑥 menos 10 por raíz de tres sobre tres. Desarrollamos los paréntesis y obtenemos dos 𝑥 menos 20 por raíz de tres sobre tres en el lado derecho. Reorganizamos la expresión restando dos 𝑥 y sumando 20 por raíz de tres sobre tres a ambos lados, y obtenemos la ecuación 𝑦 menos dos 𝑥 más 15 por raíz de tres sobre tres igual a cero.

Ahora solo nos queda simplificar la fracción. Al hacerlo obtenemos que la ecuación de la tangente a la curva cuando 𝜃 es igual a 𝜋 sobre seis es 𝑦 menos dos 𝑥 más cinco por raíz de tres igual a cero.

Ahora vamos a analizar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una curva definida por ecuaciones paramétricas.

Supongamos que tenemos un par de ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑡 al cuadrado más 𝑡 y 𝑦 igual a dos 𝑡 menos uno. Y queremos determinar el comportamiento de la curva en varios intervalos. ¿Cómo hallamos, por ejemplo, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la curva?

Sabemos que una gráfica descrita por la ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es creciente cuando la primera derivada es mayor que cero. Y es decreciente cuando la primera derivada es menor que cero. Por lo tanto, para hallar intervalos de crecimiento y de decrecimiento, solemos hallar una expresión para d𝑦 sobre d𝑥 para seguidamente determinar en qué intervalos es la primera derivada mayor que cero o menor que cero. En este caso, tenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a dos partido por dos 𝑡 más uno.

Pero tenemos aquí un pequeño problemilla. Esta derivada no puede ayudarnos a hallar intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Pues la curva tiene más o menos este aspecto. Fíjate en que la gráfica crece y decrece ¡a la vez! para todos los valores de 𝑥 mayores que cero. No obstante, podemos hallar el valor de la derivada en puntos determinados por el parámetro 𝑡. Por ejemplo, si queremos calcular si la curva está aumentando o disminuyendo cuando 𝑡 es igual a menos cuatro, hallamos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos dos séptimos. Eso es menor que cero, así que la curva es decreciente en este punto. Podemos, por lo tanto, determinar el comportamiento de la función en cualquiera de sus puntos. Pero, sin embargo, no es nada fácil determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

En este vídeo hemos aprendido que las ecuaciones paramétricas son conjuntos de ecuaciones que definen un grupo de cantidades como funciones de otras variables. Hemos visto que, para dos ecuaciones paramétricas — 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡 — d𝑦 sobre d𝑥 es d𝑦 sobre d𝑡 partido de d𝑥 sobre d𝑡. También hemos aprendido que podemos usar la primera derivada para determinar la naturaleza de la curva en varios valores de 𝑡. Pero debemos tener cuidado, pues no siempre podemos calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

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