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En este video, vamos a aprender cómo simplificar potencias con exponentes fraccionarios y cómo realizar cálculos con fracciones y decimales elevados a este tipo de exponentes. Empecemos recordando lo que son las potencias y los exponentes. Aquí tenemos tres por tres, escrito en forma de potencia: tres al cuadrado. Tres al cuadrado, el número completo, es una «potencia», el tres es la «base» de la potencia y el dos es el «exponente» de la potencia.
Si vemos el número cuatro elevado al cubo, significa que tenemos que escribir tres veces el número cuatro y luego multiplicar los tres cuatros. Cuando trabajamos con potencias, a veces necesitamos usar la regla del producto de potencias de igual base. Por ejemplo, si tenemos tres a la cuarta multiplicado por tres a la quinta, nuestro tres a la cuarta se escribe como cuatro treses que se multiplican entre sí. Y nuestro tres a la quinta es cinco treses multiplicados entre sí.
Cuando multiplicamos estos dos valores, obtenemos el número tres escrito nueve veces. De modo que nuestra respuesta es tres elevado a nueve. Esto puede generalizarse a la regla del producto de potencias de igual base, la cual dice que 𝑥 elevado a 𝑎 multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏.
En nuestro ejemplo, tenemos tres a la cuarta por tres a la quinta. Y cuando sumamos estos exponentes, obtenemos nueve. Por lo que la respuesta es tres elevado a nueve.
¿Qué sucede si tenemos que calcular nueve elevado a un medio por nueve elevado a un medio? Bueno, usando nuestra regla del producto de potencias de igual base, escribimos esto como nueve elevado a un medio más un medio, que es igual a nueve elevado a uno. Y esto, por supuesto, es simplemente igual a nueve. Esto significa que nuestro número nueve elevado a un medio multiplicado por nueve elevado a un medio es igual a nueve.
Y nueve es, por supuesto, igual a tres multiplicado por tres, o en otras palabras, la raíz cuadrada de nueve por la raíz cuadrada de nueve. Por lo tanto, nueve elevado a un medio es igual a la raíz cuadrada de nueve.
Veamos otro ejemplo, como calcular 27 elevado a un tercio por 27 elevado a un tercio por 27 elevado a un tercio. Podemos usar la regla del producto de potencias, que nos dice que sumemos los exponentes, lo que nos da 27 elevado a un tercio más un tercio más un tercio. Que es igual a 27 elevado a uno, que, por supuesto, es igual a 27. Y el número que al multiplicarse por sí mismo y luego por sí mismo otra vez da 27 debe ser la raíz cúbica de 27, que es tres, ya que tres por tres por tres es 27.
Vemos pues que 27 elevado a un tercio es igual a la raíz cúbica de 27. A partir de estos dos ejemplos, podemos ver que la regla general es que elevar 𝑥 al exponente uno sobre 𝑎 es lo mismo que hallar la raíz 𝑎-ésima de 𝑥. Usemos ahora esta regla general para evaluar una potencia con exponente fraccionario.
Calcula 64 elevado a un tercio.
Para resolver esta cuestión, vamos a usar la regla según la cual, si tenemos un valor 𝑥 elevado a uno sobre 𝑎, esto es equivalente a la raíz 𝑎-ésima de 𝑥. Podemos escribir nuestro valor 64 elevado a un tercio como la raíz cúbica de 64. Y esto es fácil de comprobar, porque si hacemos 64 elevado a un tercio por 64 elevado a un tercio por 64 elevado a un tercio obtenemos 64 elevado a uno. Y podemos hacer esto por la regla del producto de potencias de igual base, que dice que cuando multiplicamos valores escritos como potencias de igual base, sumamos los exponentes. En este caso, la suma de nuestros exponentes, un tercio más un tercio más un tercio, nos da uno.
Y, por lo tanto, este valor que podemos multiplicar por sí mismo y después por sí mismo otra vez para darnos 64, debe ser la raíz cúbica de 64. Pero ¿cuál es la raíz cúbica de 64? Es cuatro, ya que cuatro por cuatro por cuatro es 64. Así que, 64 elevado a un tercio es cuatro.
Veamos ahora una potencia con un exponente fraccionario en el que el numerador no es la unidad. Y eso lo hace un poco más interesante. Para esto, vamos a usar la regla que hemos visto antes, la cual dice que, para multiplicar números escritos en forma de potencias de igual base, hemos de sumar los exponentes. Aquí podemos usar esta fórmula, pero un poco como al revés. Comenzamos con nuestro 27 elevado a dos tercios y lo separamos en dos números iguales, 27 elevado a un tercio y 27 elevado a un tercio.
De hecho, si quisiéramos ser matemáticamente precisos, podríamos escribir ambos con el exponente 𝑎 ya que es el mismo valor. Y sabemos, además, que podemos escribir 27 elevado a un tercio como la raíz cúbica de 27. Lo que nos da raíz cúbica de 27 multiplicada por raíz cúbica de 27. Que es lo mismo que raíz cúbica de 27 al cuadrado.
¿Te das cuenta de cómo se relaciona con la cuestión original? Si tomamos un valor 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏, es equivalente a la raíz 𝑏-ésima de 𝑥, todo elevado a 𝑎. Y también es equivalente a la raíz 𝑏-ésima de 𝑥 elevado a 𝑎. Si no puedes ver la diferencia, en el primer caso, primero sacamos la raíz de índice 𝑏 de 𝑥 y después la elevamos al exponente 𝑎. Pero en el segundo caso, primero elevamos 𝑥 al exponente 𝑎 y luego sacamos la raíz de índice 𝑏.
Puesto que son equivalentes, no importa qué forma usemos. Pero, a menudo, esta primera forma es más sencilla porque, en este caso, hallamos primero la raíz de índice 𝑏, lo que nos da un número menor, del cual tenemos que hallar luego la potencia de exponente 𝑎. En nuestra cuestión podemos decir que la raíz cúbica de 27 al cuadrado se obtiene hallando el cuadrado de 27 y sacando luego la raíz cúbica.
En la primera forma, hallamos la raíz cúbica de 27 primero, que es tres, y luego la elevamos al cuadrado, lo que nos da nueve. En la segunda forma, primero elevamos al cuadrado 27, que es 729, y después sacamos la raíz cúbica, que es nueve. En ambas formas, obtuvimos el mismo valor de nueve. Pero en la primera forma, en la que hallamos primero la raíz cúbica, realizamos mucho menos trabajo.
Echemos ahora un vistazo a otra cuestión en la que usamos esta regla para exponentes fraccionarios. Es posible que quieras pausar el video después de haber visto la pregunta para hacer un intento primero.
Calcula 16 elevado a tres cuartos.
Aquí tenemos un número escrito con un exponente fraccionario de tres cuartos. Podemos usar la regla que dice que 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏, equivale a la raíz 𝑏-ésima de 𝑥, elevado a 𝑎. Comenzando con nuestra base 16, vamos a hallar la raíz cuarta. Y seguidamente hallamos la tercera potencia. En relación con la raíz cuarta, es fácil hallar que la raíz cuarta de 16 es dos, ya que dos por dos por dos por dos es 16. Y luego necesitamos obtener la tercera potencia de esto. Dos por dos por dos nos da ocho. Así que 16 elevado a tres cuartos es igual a ocho.
Calcula 3125 elevado a tres quintos.
Para resolver esta cuestión, usamos la regla que dice que 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏 es equivalente a la raíz de índice 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑎. En un exponente fraccionario, el número superior es el exponente. Así que aquí vamos a hallar la tercera potencia. Y el denominador es la raíz, por lo que vamos a hallar la raíz quinta.
Comenzamos por la raíz quinta de 3125, y después hallaremos la tercera potencia del resultado. La raíz quinta de 3125 es igual a cinco, porque cinco por cinco por cinco por cinco por cinco es 3125. La tercera potencia de cinco significa que estamos multiplicando cinco por cinco por cinco. Y cinco por cinco es 25, por cinco nos da 125. Así que 3125 elevado a tres quintos es 125.
En el siguiente ejemplo, vamos a ver una fracción elevada a un exponente fraccionario.
Calcula 125 sobre 343 elevado a dos tercios.
Lo primero que debemos tener en cuenta aquí es que el quebrado dos tercios es un exponente. Y que no lo estamos multiplicando por el quebrado 125 sobre 343. Lo primero que vamos a hacer es tomar la potencia y escribirla como una potencia en el numerador sobre una potencia en el denominador. En otras palabras, hemos aplicado la regla que dice que una fracción 𝑥 sobre 𝑦 elevado a 𝑎, es equivalente a 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑦 elevado a 𝑎. En nuestro caso, podemos escribir nuestro numerador como 125 elevado a dos tercios y nuestro denominador como 343 elevado a dos tercios.
El siguiente paso es reorganizar estos exponentes fraccionarios de dos tercios. Recuerda que si tenemos una base 𝑥 elevada a 𝑎 sobre 𝑏, esto equivale a la raíz 𝑏-ésima de 𝑥 elevada a 𝑎. Y, por lo tanto, en nuestro numerador, 125 elevado a dos tercios es equivalente a la raíz cúbica de 125, al cuadrado. Nuestro denominador es equivalente a la raíz cúbica de 343, al cuadrado.
Podemos señalar sobre nuestro numerador que esto es equivalente a elevar al cuadrado 125 primero y sacar luego la raíz cúbica. Igualmente, en nuestro denominador, podríamos elevar al cuadrado 343 primero y luego sacar la raíz cúbica. Sin embargo, esta segunda forma, escrita en naranja, tendrá números mucho más grandes. Pues estamos elevando al cuadrado 125 primero y luego tratando de calcular la raíz cúbica de eso. Mientras que, si comenzamos tomando la raíz cúbica primero, y la elevamos luego al cuadrado, nuestros valores no serán tan grandes.
Por lo tanto, la raíz cúbica de 125 nos da cinco. Y como luego necesitamos elevar al cuadrarlo, tenemos cinco al cuadrado en nuestro numerador. Y en nuestro denominador, la raíz cúbica de 343 es siete, ya que siete por siete por siete nos da 343. Y luego tenemos que elevar al cuadrado. Hallar nuestros cuadrados nos da la respuesta final de 25 sobre 49.
En nuestro ejemplo final, vamos a ver una potencia de base decimal y exponente decimal. Para resolverlo, vamos a convertir ambos decimales en fracciones.
Calcula 0.0625 elevado a 0.25.
Nuestro enfoque para evaluar esto implica tomar nuestros decimales, la base y el exponente, y escribirlos como fracciones. 0.0625 equivale a 625 sobre 10000, y nuestro exponente de 0.25 equivale a un cuarto. Así que ya podemos aplicar las reglas de los exponentes fraccionarios.
La primera regla que vamos a utilizar es la que dice que una fracción 𝑥 sobre 𝑦 elevado a 𝑎 es equivalente a 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑦 elevado a 𝑎. Nuestra fracción es equivalente a 625 elevado a un cuarto sobre 10000 elevado a un cuarto.
Pensemos en lo que significa elevar algo a un cuarto. Podemos usar nuestra segunda regla para ayudarnos, esta dice que, si tenemos un valor 𝑥 elevado a uno sobre 𝑎, es equivalente a la raíz 𝑎-ésima de 𝑥. Por lo tanto, nuestro exponente fraccionario de un cuarto es equivalente a la raíz cuarta.
En el numerador tenemos la raíz cuarta de 625. Y en el denominador, la raíz cuarta de 10000. Hallar la raíz cuarta de 625 nos da cinco, ya que, si escribimos cinco cuatro veces y multiplicamos, obtenemos 625. Y la raíz cuarta de 10000 es 10, porque, si escribimos 10 cuatro veces y multiplicamos, obtenemos 10000. Obtenemos la fracción cinco décimos, que podemos simplificar a una respuesta final de un medio.
Resumamos ahora algunas de las cosas que hemos aprendido en este video. En primer lugar, hemos visto cómo se pueden escribir los números en forma de potencia, por ejemplo, tres al cuadrado. En este caso, tres es la base de la potencia y dos es el exponente de la potencia. También hemos recordado y utilizado la regla para multiplicar potencias con la misma base, la cual dice que 𝑥 elevado a 𝑎 multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏.
Hemos descubierto la regla que dice que 𝑥 elevado a uno sobre 𝑎 es igual a la raíz 𝑎-ésima de 𝑥. Por ejemplo, nueve elevado a un medio es igual a la raíz cuadrada de nueve, y 27 elevado a un tercio es igual a la raíz cúbica de 27. Hemos descubierto, además, una regla más amplia, que 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏 es igual a la raíz 𝑏-ésima de 𝑥, elevada a 𝑎. Hemos usado esta regla para ayudarnos a calcular 16 elevado a tres cuartos y hemos obtenido que es igual a ocho.
Para concluir, hemos usado la regla que dice que podemos escribir la potencia 𝑥 sobre 𝑦 elevado a 𝑎 sobre 𝑏 como 𝑥 elevado a 𝑎 sobre 𝑏, todo dividido entre 𝑦 elevado a 𝑎 sobre 𝑏. También hemos visto que una potencia cuya base o exponente, o ambos, es un número decimal se puede evaluar convirtiendo los números decimales a quebrados. En nuestra última cuestión tuvimos que cambiar 0.0625 elevado a 0.25 a 625 sobre 10000 elevado a un cuarto. Y una vez hecho esto fuimos ya capaces de continuar con la resolución.
Así que hemos visto cómo evaluar potencias con exponente fraccionario. Ya puedes ir y resolver algunas cuestiones por ti mismo.
