Vídeo: Ángulos en triángulos

Aprende cómo poner en práctica lo que sabes sobre la suma de los ángulos internos de un triángulo (180°) en una variedad de contextos, incluyendo problemas con ecuaciones algebraicas y problemas de proporciones.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a estudiar un hecho clave de los ángulos de los triángulos y cómo usarlo para resolver problemas en esta área.

El hecho fundamental que debemos conocer sobre los ángulos en los triángulos es el siguiente. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 grados. Por ángulos internos, nos referimos a aquellos que están dentro del triángulo. Es decir, los ángulos que llamamos 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en este diagrama. Ahora vamos a ver una forma de probar este hecho.

Vamos a usar el diagrama que tenemos aquí. Lo primero que vamos a hacer es añadir una recta que sea paralela a la base de este triángulo. Así que esta recta que hemos trazado en la parte superior del diagrama es paralela a la base. Como puedes ver, la hemos marcado con flechas. Esta prueba se basa en algunos hechos clave sobre ángulos en rectas paralelas. Y es por esto que decidimos agregar esta recta extra.

Así que, primero, pensemos en este ángulo que hemos marcado en rojo. Bien, si miramos el diagrama cuidadosamente, veremos que tiene una relación particular con el ángulo 𝑎, que está aquí. Estos son ángulos a los que nos referimos como ángulos alternos internos en rectas paralelas. Y un hecho clave sobre ellos, es que estos ángulos son iguales, lo que significa que este ángulo de aquí mide lo mismo que el ángulo 𝑎. Por eso, podemos llamarlo 𝑎 también. Entonces, si escribimos la razón también, es porque, como ya dijimos, los ángulos alternos internos son iguales.

Ahora pensemos en este ángulo de aquí. Nuevamente, si miramos con atención al diagrama, vemos que este ángulo, marcando en color verde, tiene una relación especial con el ángulo 𝑏. Y es la misma relación. También son ángulos alternos internos en rectas paralelas. Bien, dado que los ángulos alternos internos son iguales, podemos nombrar este ángulo pequeño de aquí, Podemos llamarlo 𝑏. Y eso se debe al mismo razonamiento anterior, en una parte diferente del diagrama.

Finalmente. Fijémonos en la parte superior del diagrama. Vemos que los ángulos 𝑎, 𝑐 y 𝑏, están todos uno al lado del otro en una recta. Y una vez más, recordamos que el punto clave sobre los ángulos en una recta, es que estos suman 180 grados. Lo que nos dice que 𝑎 más 𝑏 más 𝑐, puestos, digamos, en este orden, hacen 180 grados. Y la razón es que los ángulos en una recta suman 180 grados.

Y esto es lo que tratamos de demostrar. Que 𝑎, 𝑏 y 𝑐, que son los ángulos en el triángulo, suman 180 grados, usando lo que sabemos sobre los ángulos en rectas paralelas, específicamente ángulos alternos internos. Y usando que los ángulos en una recta suman 180 grados, hemos demostrado este resultado. Ahora veamos cómo aplicarlo para contestar un par de preguntas.

Aquí tenemos un dibujo y nos piden hallar la medida del ángulo 𝐵𝐴𝐶. Este es el ángulo formado cuando nos movemos desde 𝐵 a 𝐴 a 𝐶, entonces es este de aquí.

Así que, este es el ángulo que queremos hallar. Pero no podemos resolverlo de inmediato porque en este momento solo conocemos uno de los ángulos del triángulo. Sin embargo, podemos determinar que el otro ángulo en el triángulo es el ángulo 𝐵𝐶𝐴. Notemos que el ángulo 𝐵𝐶𝐴 está en una línea recta con este ángulo de 163 grados.

Podemos usar el hecho clave sobre los ángulos en una recta para hallar el ángulo 𝐵𝐶𝐴 primero. Así que la medida del ángulo 𝐵𝐶𝐴 en el triángulo es 180 menos 163, y esto nos da 17 grados. Y el razonamiento para esto, es que los ángulos en una línea recta suman 180 grados. Entonces, puedo marcar el ángulo 𝐵𝐶𝐴 en el diagrama. Y ahí está.

Ahora tenemos suficiente información para calcular este ángulo 𝐵𝐴𝐶 que originalmente nos pidieron, porque como hemos dicho antes, sabemos que los ángulos en un triángulo suman 180 grados. Y si conocemos dos, podemos hallar el tercero. Así que para hallar el ángulo 𝐵𝐴𝐶, vamos a hacer 180 menos 100 menos 17. Restamos los otros dos ángulos en el triángulo. Lo que nos da una medida de 63 grados para el ángulo 𝐵𝐴𝐶. Y esto se debe a que, como ya hemos dicho, los ángulos en un triángulo suman 180 grados.

Generalmente en preguntas como esta, no podemos calcular el ángulo que buscamos inmediatamente. A menudo tenemos que calcular otros ángulos del dibujo primero, usando la información sobre los ángulos en un triángulo o ángulos en una recta. Y una vez que los tenemos, podemos calcular el ángulo que estamos buscando. Bien, aquí tenemos el siguiente problema que vamos a ver.

Nos han dado un dibujo de un triángulo. Y nos piden hallar el valor de 𝑥. Si miramos el diagrama, veremos que los tres ángulos en este triángulo están expresados en términos de la variable 𝑥.

Si pensamos un poco en cómo abordar este problema vemos que necesitamos otra vez el hecho clave sobre los ángulos en un triángulo. Y por supuesto, este es que los ángulos suman 180 grados. Así que pensamos en cómo podemos usar esta información para resolver este problema. Bien, no sabemos cuáles son los valores de los ángulos, en términos de sus medidas, pero los sabemos en términos de la incógnita 𝑥.

Podemos comenzar escribiendo una ecuación. Bien, si sumamos todos los diferentes ángulos en este triángulo. La expresión sería 𝑥 más dos 𝑥 menos 10 más 𝑥 más 30, al sumarlos todos debemos obtener un total de 180 grados. Y aquí está la ecuación, o el principio de la ecuación, que puede ser usada para hallar el valor de 𝑥.

Nuestro siguiente paso es simplificar la ecuación. Si miramos el lado izquierdo, tenemos 𝑥 más dos 𝑥 más 𝑥, y esto es cuatro 𝑥. Y tenemos, menos 10 más 30, que es igual a 20. Así que, simplificando esta ecuación, hemos hallado que cuatro 𝑥 más 20 es igual a 180. Ahora queremos resolver esta ecuación. El primer paso es restar 20 de ambos lados. Y al hacer esto, obtenemos cuatro 𝑥 igual a 160.

A continuación, para calcular el valor de 𝑥, necesitamos dividir ambos lados de la ecuación por cuatro. Y cuando hacemos esto, obtenemos que 𝑥 es igual a 40, que es por lo tanto la respuesta a nuestra pregunta. Esta pregunta requirió el uso de la información de la suma de los ángulos en un triángulo, pero también álgebra, en lo referente a la resolución de ecuaciones, para poder hallar el valor de esta incógnita 𝑥.

Bien, nuestra siguiente pregunta. La razón de los tres ángulos en un triángulo es cinco a cuatro a nueve. Halla la medida del ángulo más pequeño.

Cuando se trata de preguntas sobre proporciones, se pueden usar muchos enfoques diferentes. Veremos dos de estos enfoques, y después podremos decidir cuál de ellos preferimos. El primer enfoque es el enfoque algebraico, en el cual no sabemos cuánto miden estos ángulos, pero sabemos que están en la razón de cinco a cuatro a nueve. Esto quiere decir que podemos igualar estos ángulos a cinco 𝑥, cuatro 𝑥, y nueve 𝑥, en donde 𝑥 representa un valor desconocido. Pero esto mantiene la razón de cinco a cuatro a nueve.

Recordemos ahora nuestro punto clave, la suma de los ángulos en un triángulo es 180 grados. Por tanto, podemos convertir esto en una ecuación. Así que, si añadimos signos de adición entre estos tres términos, habrá un total de 180 grados. Lo que hemos hecho aquí es formular una ecuación en la incógnita 𝑥. Y ahora podemos simplificar esta ecuación. Sumando cinco 𝑥 más cuatro 𝑥 más nueve 𝑥, obtenemos 18 𝑥. Tenemos, pues, 18 𝑥 igual a 180. Para resolver la ecuación, necesitamos dividir ambos lados de la ecuación por 18, y esto nos da 𝑥 es igual a 10.

Recordemos ahora que la pregunta nos pide la medida del ángulo más pequeño. Y el ángulo más pequeño es este cuatro 𝑥, el cual tiene el término más pequeño en esta razón. Así que, para hallar el ángulo más pequeño, tenemos que multiplicar 𝑥 por cuatro. Ahora tenemos cuatro 𝑥. Cuatro multiplicado por 10 es igual a 40. Y esto nos da la solución a nuestro problema, que nos pide hallar la medida del ángulo más pequeño, la cual es 40 grados.

Este es uno de los enfoques, tratarlo como un problema algebraico y plantearlo como una ecuación. El otro enfoque para los problemas de razones es pensar en las partes de la razón. Tenemos una razón de cinco a cuatro a nueve. Si sumamos, cinco más cuatro más nueve, es igual a 18. Así que, en total hay 18 partes en esta razón. Y, como hemos dicho anteriormente en este video, la suma de los ángulos en un triángulo es 180 grados. Así que, estas 18 partes valen 180. Queremos calcular el tamaño del ángulo más pequeño, así que queremos saber cuánto valen cuatro partes.

Y hay muchas maneras diferentes en que la que podemos hacer esto. Podemos calcular cuánto vale una parte, dividiendo por 18. Haciendo esto me daría que una parte es igual a 10. Y luego, para hallar cuatro partes, tendría que multiplicar por cuatro. Y, por supuesto, eso me da la misma respuesta que antes de 40 grados. Pero tal vez podemos tratar esta razón de una forma diferente.

En vez de hallar una parte, podríamos haber hallado quizás dos partes. Esto habría requerido dividir ambos lados por nueve, y después simplemente lo habríamos duplicado para encontrar las cuatro partes como 40. Por tanto, cualquiera que sea el enfoque, ya sea un enfoque algebraico que implique formular una ecuación, o usando una relación en términos de partes iguales, hay que dividir primero para luego multiplicar hasta llegar a la cantidad de partes que estamos buscando.

Muy bien, veamos ahora la última pregunta que vamos a analizar. Dice, un ángulo en un triángulo isósceles mide 50 grados. ¿Cuánto pueden medir los otros ángulos?

Hay dos palabras que destacan en esta pregunta. La primera es «isósceles». Recordemos que un triángulo isósceles es un tipo particular de triángulo, el que tiene dos lados de la misma longitud. Pero, en términos de ángulos, también tiene dos ángulos que son iguales. La otra palabra que destaca es «pueden». Porque cada vez que vemos esta palabra, sabemos que puede haber más de una respuesta posible a esta pregunta. Así que debemos pensar cuidadosamente sobre por qué ese podría ser el caso.

Veamos, pues, este problema. Hemos dibujado un triángulo isósceles, y hemos señalado estos dos lados de igual longitud trazando esta pequeña rayita en ellos. Se nos dice que un ángulo en este triángulo isósceles mide 50 grados. Así que puede ser el caso que este ángulo mida 50 grados. Ahora, si este es el caso, como los triángulos isósceles tienen dos lados iguales, y dado que son los ángulos base, en donde estos lados iguales se unen al tercer lado. Esto quiere decir que este ángulo de aquí tiene que medir 50 grados también, porque deben ser iguales entre sí.

El tercer ángulo entonces es este ángulo de aquí, lo podemos calcular usando el hecho clave sobre los ángulos en un triángulo. Entonces, si los ángulos en el triángulo suman 180 grados, este ángulo se puede calcular haciendo 180 menos 50 menos 50, es decir restando los otros dos ángulos. Esto nos da 80 grados para el tercer ángulo. Por lo tanto, hay una posibilidad para los tres ángulos en este triángulo. Pueden medir 50 grados, 50 grados y 80 grados.

Pero la pregunta dice pueden. Y como hemos dicho, esto sugiere que tal vez hay más de una respuesta. Por consiguiente, vamos a dibujar el diagrama de nuevo. En vez de que el ángulo de 50 grados sea uno de los dos ángulos base, quizás 50 grados sea la medida del tercer ángulo en el triángulo. Este ángulo de aquí. Y ahora, si queremos calcular los otros dos. Bien, los ángulos en un triángulo suman 180 grados. Si restamos estos 50 grados, nos quedan 130 grados.

Estos dos ángulos son iguales, ambos deben medir la mitad de eso. Los dos equivalen a 180 menos 50 y después dividido por dos. Y esto nos da 65 grados para cada uno de ellos. Así que, ahora tenemos otra posibilidad de 50 grados, 65 grados y 65 grados para los ángulos en este triángulo. Y estas son las dos posibilidades que tenemos.

En resumen, en este video, hemos analizado el resultado clave de que la suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es 180 grados. Hemos visto cómo comprobarlo utilizando datos sobre ángulos alternos internos en rectas paralelas. Y luego hemos aplicado este hecho para resolver algunos problemas.

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