Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo identificar como función una relación binaria representada por un conjunto de pares ordenados, un diagrama de flechas, una ecuación o una gráfica.
Recordemos que una relación vincula elementos de un primer conjunto con elementos de un segundo conjunto. Si cada elemento en el primer conjunto de se vincula con exactamente un elemento en el segundo conjunto, la relación se llama función. Comencemos por definir esto formalmente. Una función asigna a cada elemento del primer conjunto de partida exactamente un elemento del segundo conjunto. Las funciones pueden ser uno a uno (inyectiva), donde a cada valor de entrada es asignado un solo valor de salida, o varios a uno, donde varios valores de entrada son asignados el mismo valor de salida. Si una función 𝑓 vincula el elemento 𝑥 al elemento 𝑦, podemos usar la siguiente notación. Las funciones pueden ser representadas por pares ordenados de números, diagramas de flechas, ecuaciones y gráficas. En el primer ejemplo vamos a demostrar cómo aplicar esta definición de función determinando si un conjunto de pares ordenados corresponde a una función.
¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función?
En esta cuestión, se nos dan dos relaciones 𝐴 y 𝐵, las cuales constan de cinco pares ordenados. Para comenzar, vamos a recordar que una función es una regla que toma cada elemento de un conjunto y le asigna exactamente un elemento de un segundo conjunto. Para un grupo de pares ordenados 𝑥, 𝑦, el valor de entrada es 𝑥 y el valor de salida es 𝑦. Esto significa que para que un grupo de pares ordenados represente una función, no debe haber dos pares ordenados que tengan la misma entrada con una salida diferente. Es decir, si dos pares ordenados comparten el mismo valor de 𝑥, su valor de 𝑦 también debe ser el mismo.
Podemos ver que la relación 𝐴 tiene dos pares ordenados con un valor de 𝑥 de cuatro. Para que la relación 𝐴 sea una función, los valores de 𝑦 en estos pares ordenados también deben ser los mismos. Sin embargo, los pares ordenados son cuatro, 12 y cuatro, 15. Como los valores de 𝑦 no son los mismos, la relación 𝐴 no representa una función. La relación 𝐴 también tiene dos pares ordenados con un valor de 𝑥 de cinco. También tienen diferentes valores de 𝑦: los pares ordenados cinco, 18 y cinco, 21. Así que la relación 𝐴 no representa una función.
Los pares ordenados de la relación 𝐵 tienen valores de 𝑥 únicos: los enteros cuatro, cinco, seis, siete y ocho. Esto satisface la condición de que una función toma todos los elementos de un conjunto y les asigna exactamente un elemento del segundo conjunto. Así que la relación que representa una función es la relación 𝐵.
También podemos representar estos pares ordenados en un diagrama de flechas. Si consideramos la relación 𝐴, podemos ver que a los elementos cuatro y cinco de la columna de entrada o 𝑥 se les asignan más de un elemento en la columna 𝑦 de salida. Por lo tanto, este diagrama de flechas no puede representar una función. Para que un diagrama de flechas represente una función, cada valor de entrada debe tener un único valor de salida. Cuando consideramos la relación 𝐵, vemos que cada valor de entrada, los enteros cuatro, cinco, seis, siete y ocho, tienen un único valor de salida, los enteros 12, 15, 18, 21 y 24. Aunque no se nos pide en esta cuestión, nos podemos dar cuenta de que los valores de 𝑦 son tres veces los valores de 𝑥. Por lo tanto, la función puede representarse por la ecuación 𝑦 es igual a tres 𝑥.
En este primer ejemplo, hemos visto que podemos determinar si una relación es una función usando pares ordenados o diagramas de flechas. Veamos ahora lo que pasa cuando una relación está representada por una gráfica. Al igual que una función puede representarse mediante un conjunto de pares ordenados, también puede representarse mediante una gráfica, siendo esta una representación visual de la función. La gráfica de una función 𝑓 está definida como un conjunto de puntos de coordenadas 𝑥, 𝑦, siendo 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Consideremos la función 𝑓 que asigna a cada valor 𝑥 el valor 𝑥 al cuadrado. El conjunto de pares ordenados que representa esta función viene dado por 𝑥, 𝑥 al cuadrado. Y la gráfica de la función es la parábola de ecuación 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado, la cual se muestra en la figura.
Este es un ejemplo de una función de varios a uno, ya que hay valores en el rango (recorrido) de la función que están asociados con más de un valor en el dominio. Por ejemplo, los puntos dos, cuatro y menos dos, cuatro tienen el mismo valor de 𝑦 pero un valor distinto de 𝑥. Para determinar si una gráfica representa una función o no, podemos usar el criterio de la recta vertical. Para aplicar el criterio de la recta vertical, dibujamos rectas paralelas al eje de las 𝑦. Si podemos dibujar una recta vertical que interseca la curva más de una vez, entonces la gráfica no representa una función. Y si no es posible dibujar una recta que corte la curva en más de un punto, entonces la gráfica representa una función.
Veamos dos ejemplos. Podemos ver que, en la primera figura, la recta vertical corta la curva dos veces. Esto significa que esta gráfica no representa una función. Pero en la segunda figura, toda recta vertical intersecará la curva exactamente una vez. Por lo tanto, esta gráfica sí representa una función. Veamos ahora una aplicación del criterio de la recta vertical.
¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función sabiendo que 𝑥 es el valor de entrada y que 𝑦 es el valor de salida?
Para responder a esta pregunta, vamos a hacer uso del criterio de la recta vertical. Esta es una forma gráfica de determinar si una curva representa una función. Si una curva representa una función, toda recta vertical intersecará la curva una vez como máximo. Así que añadimos una recta vertical a nuestros diagramas para ver el número de puntos de intersección que hay con las curvas. En la figura (A), podemos ver que, si añadimos la recta vertical 𝑥 igual a cinco, la recta interseca la curva dos veces. Esto significa que la gráfica (A) no representa una función. La recta vertical 𝑥 igual a menos cuatro interseca la curva de la gráfica (B) exactamente una vez. Y podemos trasladar esta recta vertical una distancia arbitraria horizontalmente, y este será siempre el caso. Así que la gráfica (B) representa una función. La respuesta correcta es (B).
Nuestra definición de función dice que es una regla que asigna a cada valor de entrada exactamente un valor de salida. En muchos casos, podemos definir esa regla algebraicamente. Por ejemplo, la gráfica (B) representa la función con ecuación 𝑦 igual a dos 𝑥 más cuatro. Vamos a hacer algo de espacio para ver cómo podemos definir esto como una función. Podemos definir la función usando notación de funciones como 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 más cuatro. Alternativamente, podemos usar notación de flechas. Así que podemos determinar si 𝑓 representa una función trazando la gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y aplicando el criterio de la recta vertical.
¿Puede la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a cuatro expresarse como una función? En caso afirmativo, indica la función.
Recordemos que el criterio de la recta vertical puede utilizarse para determinar si una curva representa una función. Esto significa que, para determinar si la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a cuatro puede expresarse como una función, podemos dibujar su gráfica. Toda ecuación de la forma 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado representa una circunferencia centrada en el origen y de radio 𝑟. En esta cuestión, como 𝑟 al cuadrado es igual a cuatro y 𝑟 debe ser positivo, el radio de nuestra circunferencia es dos. Dibujamos la circunferencia, y vemos que corta tanto el eje de las 𝑥 como el eje de las 𝑦 en dos y menos dos.
Si añadimos una recta vertical a nuestro diagrama, observamos que interseca la circunferencia dos veces. Como hay más de un punto de intersección, la curva no representa una función. Por lo tanto, podemos concluir que la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a cuatro no puede expresarse como una función. La respuesta correcta es no.
En esta cuestión nos resultó bastante sencillo dibujar la gráfica de la ecuación para poder aplicar el criterio de la recta vertical. Pero también podríamos haber tratado de reescribir la ecuación en términos de 𝑥. Si restamos 𝑥 al cuadrado de ambos lados de nuestra ecuación, obtenemos que 𝑦 al cuadrado es igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Al hacer la raíz cuadrada en ambos lados de esta ecuación obtenemos que 𝑦 es igual a más o menos raíz cuadrada de cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Nos damos cuenta de que cuando hacemos la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, obtenemos tanto la raíz cuadrada positiva como la raíz cuadrada negativa de la expresión cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Esto significa que, para cualquier valor de 𝑥, podría haber dos posibles valores de la función, uno positivo y otro negativo. Como una función asigna a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento de un segundo conjunto, podemos deducir que la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a cuatro no puede representar una función.
En el último ejemplo vamos a demostrar cómo realizar un proceso similar para convertir una ecuación a notación de funciones.
¿Cuál de las siguientes es la ecuación 𝑦 al cubo igual a 𝑥 al cuadrado más uno expresada en notación de funciones? ¿Es (A) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más uno? ¿(B) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más uno, todo al cubo? ¿Es (C) que esto no puede expresarse como una función? ¿(D) 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cúbica de 𝑥 al cuadrado más uno? ¿O (E) 𝑓 de 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más uno?
Para expresar una ecuación en notación de funciones, tenemos que ver si podemos expresar 𝑦 como una función de 𝑥, o sea, tenemos que reorganizar la ecuación a la forma 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Así que vamos a reorganizar la ecuación para despejar 𝑦. Para ello, aplicamos la raíz cúbica a ambos lados de la ecuación. Y obtenemos que 𝑦 es igual a la raíz cúbica de 𝑥 al cuadrado más uno. Como ves, ahora 𝑦 está expresada como una función de 𝑥. Es decir, para hallar el valor de 𝑦, podemos sustituir un valor de 𝑥 en la expresión raíz cúbica de 𝑥 al cuadrado más uno. Hemos reorganizado 𝑦 al cubo igual a 𝑥 al cuadrado más uno a notación de funciones, y hemos obtenido que 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cúbica de 𝑥 al cuadrado más uno. La respuesta correcta es, pues, la opción (D).
Es importante insistir en que reorganizar una ecuación para expresar 𝑦 como una función de 𝑥 no siempre dará como resultado una función. Debemos asegurarnos de que cualquier valor de 𝑥 del dominio de esa función nos dé un valor de 𝑦 único cuando se sustituye. Por esta razón, si al reorganizar la ecuación necesitamos invertir un exponente par —aplicando por ejemplo, la raíz cuadrada o la raíz cuarta—, no obtendremos como resultado una función.
Vamos a resumir los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Una función asigna a cada elemento de un primer conjunto exactamente un elemento de un segundo conjunto. Las funciones pueden ser uno a uno (inyectiva), es decir, todo valor de entrada tiene un único valor de salida, o varios a uno, donde a varios valores de entrada se les asigna el mismo valor de salida. Hemos visto, además, que las funciones pueden representarse mediante pares ordenados de números, diagramas de flechas, ecuaciones y gráficas. Y que la notación de funciones 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 significa que 𝑦 es una función de 𝑥. La notación de flechas que se muestra significa que la función 𝑓 asigna a elementos del conjunto 𝑥 elementos del conjunto 𝑦. En este vídeo hemos visto, además, que hay varias formas de comprobar si una relación es una función. La forma gráfica es usar el criterio de la recta vertical.
