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Vídeo: La sorprendente divisibilidad de los números

En este vídeo, echamos una ojeada a la divisibilidad de los números e investigamos por qué parece que tantos números de 6 cifras son divisibles por 143.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo, echamos una ojeada a la divisibilidad de los números y encontramos un par de resultados sorprendentes. Pensemos solo en los números enteros positivos: uno, dos, tres, cuatro, cinco, etc. Estos se denominan números naturales, e incluso tenemos este símbolo especial para representarlos. Ahora, las propiedades que veremos en este vídeo también funcionan con números enteros negativos, pero no nos vamos a ocupar de eso por ahora.

¿Qué proporción de los números naturales son divisibles por dos? Bueno, un número de cada dos es un múltiplo de dos: dos, cuatro, seis, ocho, 10 y así sucesivamente. Así que la mitad de los números naturales son divisibles por dos. Si elijo un número natural al azar, la mitad del tiempo elegiría un número divisible entre dos y la otra mitad del tiempo elegiría un numero no divisible entre dos.

Muy bien, pensemos ahora qué proporción de números son divisibles entre tres. Bueno, un número de cada tres es un múltiplo de tres. Así que un tercio de los números son divisibles por tres. Si les pido a todos los que miran este video que escojan un número natural al azar, un tercio elegiría un número que es divisible por tres. Y también podemos ver que una cuarta parte de los números naturales son divisibles por cuatro, una quinta parte de ellos son divisibles por cinco, y así sucesivamente.

Así que vamos a intentar un experimento. Para ser honesto, esto funciona mejor si estás en un grupo de 30 personas o más, y quizás algunos de los que están viendo el vídeo lo estén, por ejemplo, si están en una clase. Necesitarás una calculadora, así que si no tienes una, haz una pausa en el video ahora y consigue una. ¡Perfecto! Así que quiero que elijas un número aleatorio de tres cifras, por ejemplo, uno dos tres; aunque estoy seguro de que se te ocurrirá algo mucho más imaginativo que eso. Ahora escríbelo en tu calculadora. Ahora, para hacer esto un poco más interesante con números más grandes, quiero que repitas esas tres cifras para formar un número de seis cifras. Así que mi uno dos tres se convierte en uno dos tres, uno dos tres, por ejemplo.

Y ahora, tenemos un número natural al azar de seis cifras. Ahora, la mitad de los que miran el vídeo tendrá un número divisible por dos, un tercio tendrá un número divisible por tres, una cuarta parte tendrá un número divisible por cuatro, y así sucesivamente. Pero, ¿qué proporción tendrá un número divisible por siete? ¿Es un séptimo? Bueno, trata de dividir tu número de seis cifras por siete. ¿Es la respuesta un número entero? Apuesto a que lo es. Entonces esa proporción es de un 100 por cien; de los que miran el vídeo, todos tienen un número que es divisible por siete.

Bien, borra tu calculadora y escribe ese número de seis cifras nuevamente. ¿Qué proporción de los que miran el vídeo tiene un número que es divisible por 91? Bien, divide ese número por 91 y ve si obtienes un número entero. Cabría pensar que la respuesta sería de uno dividido por 91, alrededor del uno por ciento, pero la proporción es de un 100 por cien. Todos los que miran este vídeo tienen un número que es divisible por 91.

Bien, una última vez, borra tu calculadora; y escribe ese número de seis cifras de nuevo. Y la nueva pregunta es ¿qué proporción tendrá ahora un número que es divisible por 143? Bueno, debería ser uno dividido por 143, poco más de la mitad del uno por ciento. Pero divide ese número por 143 y creo que todo el mundo obtendrá un número entero. La proporción es de 100 por cien, todo el mundo. Entonces, ¿por qué nuestras proporciones de divisibilidad no se están cumpliendo? Es raro, ¿no? Bueno, tal vez no lo sea tanto.

Pensemos en lo que pasó cuando te dije que repitieras tres cifras elegidas al azar para hacer un nuevo número aleatorio de seis cifras. Así que comencemos con un número de tres cifras. En mi caso, uno estaba en la columna de los 100, dos estaba en la columna de los 10 y tres en la columna de las unidades. Si multiplico eso por 1000, obtengo 123000. 1000 veces 100 es 100000, 1000 veces 10 es 10000, y 1000 veces uno es 1000. Así que todas esas cifras se han movido a columnas que tienen un valor de posición 1000 veces más grande.

Ahora, si vuelvo a sumar mi número original, obtengo 123123. Así que lo que he hecho es tomar mi número original, multiplicarlo por 1000 y luego sumarlo. Y así obtuve 1001 de esos números. Lo que he hecho es multiplicar mi número original por 1001. Esto quiere decir que “repite esos dígitos” en realidad significa “multiplicar ese número por 1001”.

Ahora, vamos a desviarnos un poco. Probablemente has oído hablar de los números primos; son números naturales que tienen exactamente dos factores. Es posible que hayas usado la definición de que son aquellos números que son divisibles solo por uno y por sí mismos, pero ten cuidado porque el uno no es un número primo porque solo tiene un factor, uno. Así que los números primos son dos, tres, cinco, siete, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, etcétera.

Bien, es posible que te sorprenda saber que todos los números naturales mayores que uno se pueden expresar como el producto de números primos. Por ejemplo, 210, puesto que dos por 105 es igual a 210 y dos es un número primo, acuérdate. Y 105 se puede expresar como tres por 35 y tres es un número primo. Y 35 es cinco por siete, y tanto cinco como siete son números primos. Por lo tanto, dos por tres por cinco por siete es 210. Y decimos que dos por tres por cinco veces siete es la descomposición en factores primos de 210.

Ahora, lo sorprendente es que no importa con qué número empieces, siempre puedes encontrar un grupo de números primos que pueden multiplicarse para formar ese número, y eso pasa siempre que empieces con un número entero mayor que uno. Hagamos lo mismo con 1001. Bueno, siete veces 143 es 1001, y siete es un número primo. Y 11 por 13 es 143, y también son números primos. Así que siete por 11 por 13 es igual a 1001; esa es la descomposición en factores primos de 1001.

Ahora, si recordamos nuestro número de seis cifras, que es 1001 veces nuestro número de tres cifras, podemos escribirlo así. Como 1001 es igual a siete por 11 por 13, podemos sustituir 1001 por siete por 11 por 13. Así que podemos ver que nuestro número de seis cifras es definitivamente divisible por siete porque es siete veces este pedazo.

Así es como supe que todos los números eran divisibles entre siete. Pero la multiplicación es conmutativa, que es solo una manera elegante de decir que obtendremos la misma respuesta, sin importar en qué orden multiplicamos nuestros números. Entonces, en lugar de escribir siete por 11 por 13 por 123, podría escribir siete por 13 por 11 por 123. Y como siete por 13 es igual a 91, sabía que todos los números de seis cifras eran 91 veces algo. En otras palabras, eran divisible por 91 o también podría multiplicar el 13 y el 11 para obtener 143, y así supe que todos los números era divisibles por 143.

Por lo tanto, utilizando un poco de conocimientos matemáticos y habilidades analíticas, hemos aclarado nuestro pequeño misterio. Al examinar detenidamente qué operaciones matemáticas necesitábamos aplicar para obtener el número de seis cifras de nuestro número aleatorio inicial de tres cifras, pudimos ver que simplemente lo estábamos multiplicando por 1001. Y al usar el hecho de que todos los números naturales mayores que uno pueden expresarse como un producto de números primos, podemos decir que 1001 es equivalente a siete por 11 por 13. Y al combinar esos factores primos de diferentes maneras, podemos ver que nuestros números de seis cifras son divisibles por siete, 11, 13 y siete por 11, por lo tanto 77, y siete por 13, por lo tanto 91, y 11 por 13, por lo tanto 143, y por supuesto siete por 11 por 13, que es 1001.

Así que elegí cuidadosamente esos números para que probaras la divisibilidad, de modo que sabía que todos serían factores de todos tus números. Si hubiera seleccionado otros factores para probar, se habrían cumplido las proporciones normales de divisibilidad. Si hubiera escogido 12, por ejemplo, entonces solo una doceava parte de los números habrían sido divisibles por 12. Si hubiera elegido 142, entonces solo un número de cada 142 habría sido divisible por 142. Así que esta sorprendente divisibilidad no es tan sorprendente después de todo.