Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo estimar integrales definidas usando
rectángulos. Esto se conoce como aproximación mediante sumas de Riemann. Vamos a ver cómo dividir el área entre la curva y el eje de las 𝑥 en rectángulos de
diferente anchura. También vamos a analizar la precisión de estas aproximaciones a través de una serie
de ejemplos con distintos grados de dificultad.
Supongamos que queremos calcular el área entre la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al
cuadrado, el eje de abscisas, o sea, el eje de las 𝑥, y las rectas verticales 𝑥
igual a uno y 𝑥 igual a tres. Podemos calcular el área exacta haciendo uso de la integral definida. Calculamos la integral con respecto a 𝑥 de 𝑥 al cuadrado entre los límites de uno y
tres. La integral de 𝑥 al cuadrado es 𝑥 al cubo sobre tres. Calculamos el área entre los límites uno y tres, y obtenemos tres al cubo sobre tres
menos uno al cubo sobre tres, que es 26 partido por tres o 8.67 unidades
cuadradas. Sin embargo, integrar una función no es siempre tan sencillo. Y, por tanto, puede que a veces tengamos que aproximar el área entre la curva y el
eje de las 𝑥.
Para ello, tenemos varias opciones. En este vídeo vamos a usar un procedimiento conocido como el método de las sumas de
Riemann. Para ello vamos a dividir el área bajo la curva en rectángulos y luego vamos a
calcular el área de cada uno de ellos. Se suelen utilizar tres formas de hacer esto. Podemos calcular la altura de los rectángulos usando el valor de la función en el
extremo izquierdo de cada rectángulo, en el extremo derecho, o en el punto
central. Puede que también decidamos utilizar subintervalos de distinta anchura, pero esto no
es usual. Volvamos a nuestro ejemplo.
Imaginemos que vamos a dividir el área en cuatro subintervalos, en cuatro rectángulos
de la misma anchura. Para calcular el ancho de cada rectángulo, hallamos la diferencia entre los extremos
del rectángulo. Y la dividimos en 𝑛 partes, siendo 𝑛 el número de subintervalos. Aquí esto es tres menos uno entre cuatro, que es un medio. Por lo tanto, cada subintervalo mide 0.5 unidades de ancho. Formalmente, decimos que la anchura de cada rectángulo, 𝛥𝑥, es igual a 𝑏 menos 𝑎
partido por 𝑛. Siendo 𝑏 y 𝑎 los extremos del intervalo y 𝑛 el número de subintervalos. Vamos a aproximar el área usando el extremo derecho de cada subintervalo. Es decir, vamos a calcular la altura de cada rectángulo considerando el valor de la
función en el extremo derecho de cada uno de los subintervalos.
Empezamos al comienzo del intervalo y sumamos 0.5 a 1. Así, obtenemos que la altura de este rectángulo es igual al valor de la función en 𝑥
igual a 1.5. Eso es 𝑓 de 1.5, que es 1.5 al cuadrado, que es 2.25. Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de su base por su
altura, calculamos el área de este rectángulo multiplicando 0.5 por 2.25. Lo que nos da 1.125 unidades cuadradas. A continuación, sumamos otro 0.5 a 1.5 y obtenemos dos. La altura de este rectángulo es el valor de la función en 𝑥 igual a dos. Eso es 𝑓 de dos, que es dos al cuadrado, que es cuatro. En este caso el área del rectángulo es cuatro veces 0.5, que son dos unidades
cuadradas. Sumamos otro 0.5 a 2 y obtenemos 2.5. Y vemos que la altura de este rectángulo es el valor de 𝑓 en 2.5. 𝑓 de 2.5 es 2.5 al cuadrado, que es 6.25. Por lo tanto, el área del tercer rectángulo es 6.25 por 0.5, que es 3.125 unidades
cuadradas.
Finalmente, si sumamos otro 0.5, obtenemos tres. Este es el extremo superior de nuestro intervalo. Y es el cuarto rectángulo, como se nos pide. Esta vez, su altura es 𝑓 de tres. Eso es tres al cuadrado, que es nueve. Y, por lo tanto, el área del rectángulo final es nueve veces 0.5, que es 4.5 unidades
cuadradas. Para hallar una aproximación del área total bajo la curva y, por lo tanto, una
estimación de la integral definida entre uno y tres de 𝑥 al cuadrado, sumamos estos
datos. Un valor aproximado de la integral es 1.125 más dos más 3.125 más 4.5, que son 10.75
unidades cuadradas.
Recuerda que la respuesta que obtuvimos al calcular la integral fue 8.67. Y, si nos fijamos bien, podemos ver que los rectángulos son todos un poco más grandes
que el área que se nos pide calcular. Por lo tanto, lo que hemos obtenido es una sobreestimación. Podemos hacer que nuestra aproximación sea más exacta definiendo los rectángulos
sobre subintervalos más pequeños. Y, de hecho, ocurre que, cuando el número de subintervalos 𝑛 tiende a infinito, la
suma de Riemann se aproxima a la integral definida de la función entre los
extremos. Sin embargo, conviene recordar que, si la función toma valores positivos y negativos,
como vemos aquí. Entonces, la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se
encuentran por encima del eje de las 𝑥 menos la suma de las áreas de los
rectángulos que se encuentran por debajo del eje de las 𝑥. En este problema se trata del área de los rectángulos de color rosa menos el área de
los rectángulos de color amarillo. Ahora vamos a ver un ejemplo sobre este proceso usando la suma de Riemann por la
izquierda.
Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a cuatro coseno 𝑥, y que 𝑥 es mayor o igual que cero
y menor o igual que 𝜋 sobre cuatro, calcula, con seis cifras decimales, la suma de
Riemann para 𝑓 con seis subintervalos, usando los valores de la función en los
extremos izquierdos.
Como sabemos, podemos aproximar la integral definida de una función entre los
extremos, por ejemplo, 𝑎 y 𝑏, dividiendo el área entre la curva y el eje de las 𝑥
en 𝑛 subintervalos. De este modo, la anchura de cada rectángulo, 𝛥𝑥, será igual a la diferencia entre
los extremos superior e inferior dividido por 𝑛, el número de subintervalos. En este problema vamos a dividir el área en seis subintervalos, por lo que 𝑛 es
igual a seis. Igualamos 𝑎 a cero y 𝑏 a 𝜋 sobre cuatro. Por lo tanto, 𝛥𝑥, el ancho de los rectángulos es 𝜋 sobre cuatro menos cero sobre
seis, que es 𝜋 sobre 24. Ahora trazamos la curva de 𝑦 igual a cuatro coseno de 𝑥 entre 𝑥 igual a cero y 𝜋
sobre cuatro radianes, y la dividimos en seis subintervalos.
En esta cuestión se nos pide que utilicemos los extremos izquierdos. Así que la altura de cada uno de los rectángulos va a ser igual al valor de la
función a la izquierda de cada subintervalo. Este dibujo nos es de mucha ayuda, pues podemos ver que los rectángulos se encuentran
por encima del eje de las 𝑥. Por lo que solo tenemos que calcular el área de cada uno de ellos. Veamos el primer rectángulo. Su extremo izquierdo se encuentra en 𝑥 igual a cero. Así que podemos hallar la altura del rectángulo calculando 𝑓 de cero. 𝑓 de cero es cuatro por el coseno de cero, que es cuatro. El área del primer rectángulo es, por lo tanto, 𝜋 sobre 24, pues es el ancho de cada
rectángulo, por cuatro. Eso es 𝜋 sobre seis unidades cuadradas.
Ahora vamos a hallar el siguiente extremo. Lo hacemos sumando 𝜋 sobre 24 a cero; que es 𝜋 sobre 24. Así que podemos hallar la altura de este rectángulo calculando 𝑓 de 𝜋 sobre 24. Eso es cuatro coseno de 𝜋 sobre 24, que es aproximadamente 3.965779, etcétera. El área del segundo rectángulo es anchura por altura o base por altura. Eso es 𝜋 sobre 24 por 3.965, etcétera, que es aproximadamente 0.51911931,
etcétera. El problema nos pide que aproximemos con seis cifras decimales, por eso hemos escrito
el resultado así. Hallamos el siguiente extremo sumando 𝜋 sobre 24 a 𝜋 sobre 24 y obtenemos 𝜋 sobre
12. Por lo tanto, la altura del tercer rectángulo es 𝑓 de 𝜋 sobre 12, que es cuatro
coseno de 𝜋 sobre 12, lo que nos da raíz de seis más raíz de dos. Vemos que el área del tercer rectángulo es 𝜋 sobre 24 multiplicado por este valor,
lo que nos da aproximadamente un área de 0.505 unidades cuadradas.
Repetimos este proceso sumando 𝜋 sobre 24 a cada uno de los extremos. Y, haciendo esto, hallamos que el extremo izquierdo de cada uno de los rectángulos es
𝜋 sobre ocho, 𝜋 sobre seis y 𝑥 igual a cinco 𝜋 sobre 24. Sus alturas vienen dadas, respectivamente, por 𝑓 de 𝜋 sobre ocho, 𝑓 de 𝜋 sobre
seis y 𝑓 de cinco 𝜋 sobre 24. Multiplicando estos valores por el ancho, 𝜋 sobre 24, hallamos que el área del
cuarto rectángulo es aproximadamente 0.4837. El quinto rectángulo tiene aproximadamente un área de 0.4534 unidades cuadradas. Y el sexto un área aproximadamente de 0.4153. Como sabemos, la suma de Riemann es el área total de estos seis rectángulos. Es 2.901, etcétera. Y, si aproximamos con seis cifras decimales es 2.901067.
En el siguiente ejemplo vamos a aprender cómo hallar la suma de Riemann usando los
puntos centrales.
Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cuatro, y que 𝑥 es mayor o
igual que menos cuatro y menor o igual que dos, calcula la suma de Riemann para 𝑓
con seis subintervalos, usando como puntos de muestra los puntos centrales.
Como ya hemos visto, podemos aproximar la integral definida de una función entre los
extremos 𝑎 y 𝑏 dividiendo el área entre la curva y el eje de las 𝑥 en 𝑛
rectángulos. La anchura de cada rectángulo está dada por 𝛥𝑥, que se obtiene restando 𝑎 a 𝑏 y
dividiendo el resultado por 𝑛. En este problema vamos a dividir el área en seis subintervalos. Por lo que decimos que 𝑛 es igual a seis, y que 𝑎 es menos cuatro y 𝑏 es dos. El ancho de cada uno de los subintervalos está dado por dos menos menos cuatro sobre
seis, que es uno. Ahora vamos a trazar la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado menos cuatro entre los
extremos menos cuatro y dos. Y la vamos a dividir en seis subintervalos.
En esta cuestión se nos pide que utilicemos los puntos centrales. Por lo tanto, la altura de cada rectángulo será igual al valor de la función en el
punto central de cada subintervalo. Esto tiene esta pinta. Podemos hallar el valor de 𝑥 al final de cada rectángulo sumando uno a cuatro. Así, obtenemos estos valores. De este modo, vemos que los puntos medios son menos 3.5, 𝑥 igual a menos 2.5, menos
1.5, etcétera.
Ahora debemos tener mucho cuidado. Como vemos, algunos de los rectángulos se encuentran por debajo del eje de las
𝑥. Esto quiere decir que su área va a ser un valor negativo. En otras palabras, vamos a restar el área total de los rectángulos que se encuentran
por debajo del eje de las 𝑥 al área total de los rectángulos que están por encima
del eje de las 𝑥. Primero, calculamos los valores de las funciones en cada punto medio. Y así obtendremos la altura de cada rectángulo. Es 𝑓 de menos 3.5, 𝑓 de menos 2.5, 𝑓 de menos 1.5, etcétera. Y nuestra función es 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Sustituimos estos valores en la función, y obtenemos 8.25, 2.25, menos 1.75, menos
3.75, menos 3.75 y menos 1.75. Así, hallamos que el área del primer rectángulo es 8.25 por uno.
El área del segundo rectángulo es 2.25 por uno. El tercer rectángulo tiene un área de 1.75 por uno, no menos 1.75. Esto se debe a que por el momento solo estamos tratando con áreas. El área del cuarto rectángulo es 3.75 por uno. La base por la altura en el quinto rectángulo es 3.75 por uno. Y el área del último rectángulo es 1,75 por uno. La suma de Riemann es, por lo tanto, 8.25 más 2.25 menos la suma de 1.75, 3.75, 3.75
y 1.75 de nuevo. Esto nos da una aproximación de la integral definida entre menos cuatro y dos de 𝑥
al cuadrado menos cuatro. Es menos 0.5. Y, como sabemos, 𝑥 al cuadrado menos cuatro es una función muy sencilla de
integrar. Vamos a comprobar la respuesta calculando la integral.
Haciendo esto obtenemos 𝑥 al cubo sobre tres menos cuatro 𝑥 entre los límites de
menos cuatro y dos, y esto vale cero. Y, como vemos, nuestra estimación de menos 0,5 se acerca bastante. Por lo tanto, es muy posible que nuestros cálculos sean correctos. Es importante mencionar que no siempre podemos dibujar la curva. Así que debemos saber que, cuando el valor de 𝑓 de 𝑥 es menor que cero, restamos el
área del rectángulo con esa altura.
Ahora que hemos visto los tres tipos de sumas de Riemann, veamos cómo saber si
estamos hallando una estimación inferior o superior de nuestra integral.
A continuación, se muestra una tabla de valores para una función creciente 𝑓. Utiliza las sumas de Riemann para hallar estimaciones inferiores y superiores para la
integral definida entre los límites de cero y 20 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
Debemos tener en cuenta que tenemos una tabla de valores para una función
creciente. Esto significa que, en el intervalo cerrado de cero a 20, la gráfica de la función
siempre estará inclinada hacia arriba. Tiene más o menos este aspecto. Y sabemos que podemos hallar estimaciones para la integral usando las sumas de
Riemann. Por lo tanto, ahora lo que debemos hacer es ver qué suma de Riemann nos va a dar la
estimación inferior y cuál nos va a dar la estimación superior. Si calculamos la suma de Riemann usando los extremos izquierdos, obtendremos algo
así. Prácticamente todos los rectángulos son un poco más pequeños que el área real. Pero si usamos los extremos derechos, obtenemos bastante más que el área real. Y, si usamos el punto medio, obtendríamos algo entre medias, al igual que si
aplicamos la regla del trapecio.
Esto significa que, si usamos el extremo izquierdo obtendremos una estimación
inferior, y, que si usamos el extremo derecho obtendremos una estimación
superior. Hallemos estas dos aproximaciones. Como podemos ver, el ancho de los subintervalos es cuatro. Así que podemos decir que el ancho de cada rectángulo es cuatro unidades. Y el área del primer rectángulo es cuatro por el valor positivo de la función en el
extremo izquierdo; que es tres. El área del segundo rectángulo es cuatro por cuatro. El tercero tiene un área de cuatro por nueve. Así que tenemos un rectángulo con un área de cuatro por 18 y un área de cuatro por
30.
Observamos que el primer rectángulo se encuentra por debajo del eje de las 𝑥, y lo
restamos de la suma de los otros cuatro. Así, obtenemos un área total de 232 unidades cuadradas. Ahora repetimos el proceso usando el extremo derecho. Y vemos que el área del primer rectángulo es cuatro por cuatro. El segundo tiene un área de cuatro por nueve. Luego, tenemos un área de cuatro por 18, cuatro por 30 y cuatro por 35. Esta vez, cada uno de los rectángulos se encuentra por encima del eje de las 𝑥. Así que sumamos todos estos valores y obtenemos un total de 384 unidades
cuadradas. Las estimaciones inferiores y superiores de la integral definida de 𝑓 de 𝑥
calculadas entre cero y 20 son 232 y 384, respectivamente. De hecho, podemos generalizar el resultado. Podemos hacerlo cuando operamos con funciones crecientes. La suma de Riemann por la izquierda es una subestimación del área entre la curva y el
eje de las 𝑥. Y la suma de Riemann por la derecha nos dará una sobreestimación. Y lo contrario ocurre con funciones decrecientes.
Sean 𝑇, 𝐿 y 𝑅 las aproximaciones de la integral definida entre uno y tres de 𝑥 al
cubo más uno que obtenemos haciendo uso de la regla del trapecio, la suma de Riemann
por la izquierda y la suma de Riemann por la derecha, respectivamente, usando 10
subintervalos. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre las tres aproximaciones es la correcta? ¿Es 𝑅 menor que 𝑇 que es menor que 𝐿, es 𝐿 menor que 𝑇 que es menor que 𝑅, es
𝑅 menor que 𝐿 que es menor que 𝑇, o es 𝑇 menor que 𝐿, que es menor que 𝑅?
Consideremos la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo más uno. Sabemos, por la forma de la curva, que se trata de una función creciente. Aunque también podemos saberlo derivando para obtener tres 𝑥 al cuadrado que es
mayor que cero para valores de 𝑥 distintos de cero, lo que confirma nuestras
sospechas. Esto es realmente útil, pues sabemos que, para una función creciente, la suma de
Riemann por la izquierda nos da una subestimación del área real. Sea 𝐴 el área real. Y la suma de Riemann por la derecha nos da una sobreestimación del área real. Por lo tanto, sabemos que 𝐴 debe ser mayor que 𝐿, que debe ser menor que 𝑅. Y esto, a su vez, significa que 𝑅 debe ser mayor que 𝐿.
Pero, ¿que pasa con las aproximaciones mediante la regla del trapecio? Bueno, en realidad, lo que se obtiene con esta regla no es otra cosa que la media de
las sumas de Riemann por la izquierda y por la derecha. Por lo tanto, esta aproximación se halla entre esas dos. Y obtenemos que 𝑇 debe ser mayor que 𝐿 pero menor que 𝑅. La segunda relación entre las tres aproximaciones es la correcta.
En este vídeo hemos aprendido que podemos aproximar integrales definidas
descomponiendo el área entre la curva y el eje de las 𝑥 en rectángulos. También hemos visto que cada rectángulo tiene como altura el valor de la función en
el extremo derecho, el extremo izquierdo o el punto medio del subintervalo. Además, hemos aprendido que, para las funciones crecientes, la suma de Riemann por la
izquierda por dará un valor inferior que la suma de Riemann por la derecha. Y que para las funciones decrecientes ocurre lo contrario.
