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Representación de funciones racionales como series de potencias
En esta lección, vamos a aprender cómo expresar funciones racionales como series de potencias usando nuestros conocimientos sobre series geométricas. Vamos a analizar el radio y el intervalo de convergencia de estas series. Y finalmente, veremos algunos ejemplos de cómo expresar una serie de potencias como una función racional.
Vamos a comenzar recordando algunos resultados que conocemos sobre la series geométricas. Primero, para una serie geométrica infinita con primer término 𝑎 y razón entre términos sucesivos 𝑟, la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 multiplicada por 𝑟 a la 𝑛 es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, si el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es menor que uno. Y también recordamos que la misma serie geométrica —la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la 𝑛— divergirá cuando el valor absoluto de nuestra razón sea mayor que uno.
Imagina que nuestra razón entre términos sucesivos en vez de estar representada por 𝑟, fuera en realidad una función de 𝑥. Llamemos a esto 𝑓 de 𝑥. Tenemos una expresión que se ve así: 𝑎 dividido por uno menos alguna función de 𝑥. Podemos utilizar nuestro conocimiento sobre series geométricas para escribir esto como una serie de potencias, suponiendo que el valor absoluto de nuestra razón entre términos sucesivos es menor que uno. Así que podemos reescribir 𝑎 dividido por uno menos 𝑓 de 𝑥 como la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 a la 𝑛 si que el valor absoluto de la razón entre nuestros términos sucesivos, que en nuestro caso es 𝑓 de 𝑥, es menor que uno.
Y, en particular, usando el segundo hecho, sabemos que, si el valor absoluto de nuestra razón entre términos sucesivos es mayor que uno, la serie diverge. De modo que cuando nuestra razón 𝑟 es alguna función de 𝑥, sabemos que nuestra serie de potencias divergirá cuando el valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 sea mayor que uno. Particularmente, notamos que no sabemos qué sucede cuando el valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 es igual a uno. Si nos pidieran que encontremos un intervalo de convergencia, tendríamos que revisar cada uno de estos casos por separado.
Bien, hemos visto cómo escribir la función racional 𝑎 dividida por uno menos 𝑓 de 𝑥 como una serie de potencias y también hemos hallado el radio de convergencia. Sin embargo, esto nos deja con la pregunta «¿Qué pasa con una función racional general, un polinomio 𝑝 de 𝑥 arbitrario dividido por otro polinomio arbitrario 𝑞 de 𝑥?» ¿Cómo escribiríamos esto como una serie de potencias? Como ya hemos visto cómo escribir funciones racionales en la forma 𝑎 dividido por uno menos 𝑓 de 𝑥 como una serie de potencias, podríamos intentar escribir nuestra función racional como la suma de fracciones de esta forma.
Existen varias formas diferentes de hacer esto. Una de las herramientas que podemos usar es la manipulación algebraica. Un ejemplo de manipulación algebraica es reescribir la fracción uno dividido por uno más 𝑥 como uno dividido por uno menos menos 𝑥. Y vemos que ahora está en la forma 𝑎 dividido por uno menos 𝑓 de 𝑥, donde 𝑎 es uno y 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 𝑥. Otra herramienta que podemos usar para reescribir nuestra función racional es la división polinómica. Por ejemplo, usando la división polinómica, tenemos que dos 𝑥 al cuadrado más tres, todo dividido por 𝑥 al cuadrado más uno es igual a dos más uno dividido por uno más 𝑥 al cuadrado. Y podemos escribir esto como una serie de potencias usando el mismo truco que usamos antes: uno más 𝑥 al cuadrado es igual a uno menos menos 𝑥 al cuadrado.
El último método que vamos a discutir es reescribir nuestra función racional como fracciones parciales (fracciones simples). Por ejemplo, usando fracciones parciales, podemos reescribir 𝑥 más tres todo dividido por 𝑥 más uno multiplicado por 𝑥 menos uno como dos dividido por 𝑥 menos uno menos uno dividido por 𝑥 más uno. Y luego podemos usar manipulación algebraica en la función racional resultante para escribirla en la forma 𝑎 dividido por uno menos 𝑓 de 𝑥. En nuestra primera función racional, si multiplicamos el numerador y el denominador por menos uno, obtenemos menos uno dividido por uno menos 𝑥. Y podemos escribir el denominador en nuestra segunda fracción como uno menos menos 𝑥.
Ahora estamos listos para probar algunos ejemplos.
Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno dividido por dos más 𝑥, halla la serie de potencias para 𝑓 de 𝑥. Identifica su intervalo de convergencia.
En la cuestión nos dan una función racional 𝑓 de 𝑥. Nos piden hallar una serie de potencias para la función 𝑓 de 𝑥 y después hallar el intervalo de convergencia para esta serie de potencias. Recordamos un hecho de las series de potencias. La sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la 𝑛 es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, si el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es menor que uno. Y también recordamos que la serie de potencias diverge si el valor absoluto de 𝑟 es mayor que uno. Si podemos reescribir nuestra función 𝑓 de 𝑥 en la forma 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, entonces podemos usar este hecho sobre las series geométricas para reescribir nuestra función como una serie de potencias.
Queremos que el denominador de nuestra fracción esté en la forma uno menos la razón 𝑟. Sin embargo, en nuestra fracción para 𝑓 de 𝑥, tenemos un dos en el denominador. Como queremos que el denominador sea uno menos la razón 𝑟, extraemos un factor dos en el denominador. Dos por uno es dos y dos multiplicado por 𝑥 dividido por dos nos da 𝑥. Podemos sacar la constante un medio de nuestra fracción. Esto nos da un medio multiplicado por uno dividido por uno más 𝑥 sobre dos. Esto está casi en la forma que necesitamos. Tenemos la constante uno en el numerador. Pero en vez de menos 𝑟 en el denominador, tenemos uno más 𝑥 sobre dos.
Podemos arreglar esto usando un poco de manipulación algebraica. En vez de sumar 𝑥 sobre dos, podemos restar menos 𝑥 sobre dos. Si igualamos el numerador de nuestra función a 𝑎 y el denominador de nuestra fracción a uno menos 𝑟, es decir, que 𝑟 sea igual a menos 𝑥 sobre dos. Habremos demostrado que esta fracción está en la forma de la suma infinita de una serie geométrica con 𝑎 igual a uno como primer término y la razón 𝑟 igual a menos 𝑥 sobre dos.
Usando la fórmula de las series geométricas, podemos escribir esto como un medio multiplicado por la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de uno multiplicado por menos 𝑥 sobre dos a la 𝑛. Y, en particular, sabremos que esto es cierto cuando el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es menor que uno. Y sabemos que divergirá si el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es mayor que uno. En nuestro caso, tenemos 𝑟 es igual a menos 𝑥 dividido por dos. Por tanto, esta serie de potencias debe convergir cuando el valor absoluto de menos 𝑥 dividido por dos es menor que uno.
Podemos simplificar nuestra serie de potencias ligeramente notando que menos 𝑥 sobre dos es igual a un medio multiplicado por menos 𝑥. Podemos distribuir el exponente con respecto al paréntesis. Esto nos da un medio por la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de un medio a la 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛. Finalmente, podemos traer el coeficiente de un medio dentro de nuestro sumando. Pero entonces, un medio multiplicado por un medio a la 𝑛 es igual a un medio a la 𝑛 más uno. Así que la representación de la serie de potencias de nuestra función 𝑓 de 𝑥 es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de un medio a la 𝑛 más uno multiplicado por menos 𝑥 a la 𝑛.
La segunda parte de nuestra cuestión nos pide determinar el intervalo de convergencia de esta serie de potencias. Recordamos que el intervalo de convergencia es todos los valores de 𝑥 donde nuestra serie converge. Ya hemos visto que nuestra serie converge cuando el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es menor que uno. Y divergirá cuando el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es mayor que uno. En nuestro caso, nuestra razón 𝑟 es igual a menos 𝑥 sobre dos. Nuestra serie de potencias debe converger cuando el valor absoluto de menos 𝑥 dividido por dos es menor que uno. El valor absoluto de menos 𝑥 sobre dos es simplemente igual al valor de 𝑥 sobre dos.
Ahora bien, decir que el valor absoluto de 𝑥 sobre dos es menor que uno es lo mismo que decir que menos uno es menor que 𝑥 sobre dos, el cual a su vez es menor que uno. Podemos multiplicar esta desigualdad por dos. Esto nos da que menos dos es menor que 𝑥, que es menor que dos. Este es nuestro radio de convergencia. Nuestra serie de potencias converge para todos los valores de 𝑥 entre dos y menos dos. Y sabemos que divergirá cuando 𝑥 sea menor que menos dos o cuando 𝑥 sea mayor que dos. Sin embargo, no sabemos qué sucederá cuando 𝑥 sea igual a dos o cuando 𝑥 sea igual a menos dos.
Para descubrir qué sucede en los límites de nuestro radio de convergencia, sustituyamos 𝑥 igual a dos y 𝑥 igual a menos dos en nuestra serie de potencias. Sustituir 𝑥 igual a dos nos da la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de un medio a la 𝑛 más uno multiplicado por menos dos a la 𝑛. Hay varias formas diferentes de evaluar esta serie. Por ejemplo, podríamos usar la prueba de divergencia del 𝑛-ésimo término. Sin embargo, vamos a ver término por término el desarrollo de nuestra serie.
Nuestro primer término cuando 𝑛 es igual a cero nos da un medio elevado a cero más uno, que es un medio. Y luego, multiplicamos esto por menos dos elevado a cero, que es uno. Podemos hacer lo mismo con nuestro segundo término. Cuando 𝑛 es igual a uno, obtenemos un medio al cuadrado multiplicado por menos dos, lo que podemos calcular como menos un medio. Nuestro tercer término, cuando 𝑛 es igual a dos, nos da un medio al cubo multiplicado por menos dos al cuadrado, que es más un medio. De hecho, esta serie continúa. Sumamos un medio. Después, restamos un medio. Luego, sumamos un medio y restamos un medio, etc. Podemos considerar cómo se verán las sumas parciales.
Nuestra primera suma parcial será igual a un medio. Nuestra segunda suma, la suma de los primeros dos términos de nuestra serie, será un medio menos un medio que es cero. Nuestra tercera suma parcial, la suma de los primeros tres términos de nuestra serie, será un medio. Y nuestra cuarta suma parcial, la suma de los primeros cuatro términos de nuestra serie, será cero. Y podemos ver que esta secuencia continúa. De hecho, esto significa que nuestras sumas parciales no convergerán. Van a fluctuar entre un medio y cero. Ya que la sucesión de sumas parciales no converge, podemos concluir que nuestra serie de potencias no converge cuando 𝑥 es igual a dos. Así que 𝑥 igual a dos no está en nuestro intervalo de convergencia.
Podemos hacer lo mismo cuando 𝑥 es igual a menos dos. Reemplazamos 𝑥 igual a menos dos en nuestra serie de potencias y después calculamos la serie término a término. Vemos que cada uno de los términos de nuestra serie es igual a un medio. Por lo tanto, nuestra 𝑛-ésima suma parcial de esta serie será un medio más un medio más un medio por 𝑛 o 𝑛 dividido por dos. Por lo tanto, nuestra 𝑛-ésima suma parcial no está acotada, y podemos concluir que la serie de potencias no converge cuando 𝑥 es igual a menos dos. Por lo tanto, como hemos demostrado que ninguno de los extremos de nuestro radio de convergencia está en nuestro intervalo de convergencia, podemos concluir que el intervalo de convergencia para la serie de potencias de la función uno dividido por dos más 𝑥 es el intervalo abierto desde menos dos hasta dos.
Veamos un ejemplo donde nuestra función racional 𝑓 de 𝑥 tiene un polinomio en el numerador.
Consideremos la función 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 dividido por tres menos 𝑥. Halla la representación en serie de potencias de 𝑔 de 𝑥. Halla el radio de convergencia.
La cuestión nos da una función racional 𝑔 de 𝑥. Nos pide hallar la representación en serie de potencias de la función 𝑔 de 𝑥. Y que después hallemos el radio de convergencia para esta serie de potencias. Para hacer esto, Recordamos un hecho sobre la suma de una serie geométrica infinita. La sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛 es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, si el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es menor que uno.
Si podemos escribir nuestra función racional 𝑔 de 𝑥 en la forma 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, podemos usar este hecho sobre las series geométricas para escribirla como una serie de potencias y hallar su radio de convergencia usando que el valor absoluto de 𝑟 ha de ser menor que uno. Comenzamos notando que podemos sacar el factor 𝑥 fuera de nuestra función racional. Esto nos da 𝑥 multiplicado por uno sobre tres menos 𝑥. Queremos que nuestro denominador esté en la forma uno menos la razón 𝑟. Sin embargo, tenemos tres menos 𝑥 como nuestro denominador. Para obtener un denominador en la forma uno menos 𝑟, vamos a extraer un factor de tres en nuestro denominador. Esto nos da tres multiplicado por uno menos 𝑥 dividido por tres. Podemos simplificar esto tomando el factor tres en nuestro denominador y poniéndolo fuera de nuestra función racional.
Si igualamos 𝑎 a uno y 𝑟 a 𝑥 dividido por tres, podemos usar nuestra serie geométrica para reescribir nuestra expresión. Usando nuestra fórmula para series geométricas, hallamos que 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑥 dividido por tres multiplicado por la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de uno multiplicado por 𝑥 sobre tres a la 𝑛, si el valor absoluto de nuestra razón 𝑥 dividido por tres es menor que uno. Podemos seguir simplificando.
Primero, podemos eliminar la multiplicación por uno. Después, podemos incluir nuestro factor 𝑥 dividido por tres en el sumatorio, obteniendo 𝑥 sobre tres multiplicado por 𝑥 sobre tres a la 𝑛. Y podemos simplificar esto aún más para que sea 𝑥 sobre tres, todo elevado a la 𝑛 más uno. Hallamos que nuestra función 𝑔 de 𝑥 es igual a la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑥 sobre tres a la 𝑛 más uno, si el valor absoluto de 𝑥 sobre tres es menor que uno.
Luego, la cuestión nos pide que hallemos el radio de convergencia de esta serie de potencias. Recordamos que llamamos 𝑟 el radio de convergencia de una serie de potencias si la serie de potencias converge cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que 𝑟 y diverge cuando el valor absoluto de 𝑥 es mayor que 𝑟. Excepto que la serie de potencias converja para todos los valores de 𝑥, en cuyo caso decimos que el radio de convergencia es ∞. Recordamos que para una serie geométrica, la sumatoria desde 𝑛 igual cero hasta ∞ de 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la 𝑛 divergirá si el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es mayor que uno. En nuestro caso, nuestra razón 𝑟 es 𝑥 dividido por tres. Es decir que, nuestra serie de potencias converge cuando el valor absoluto de 𝑥 sobre tres es menor que uno y diverge cuando el valor absoluto de 𝑥 sobre tres es mayor que uno.
Podemos reorganizar ambas expresiones. El valor absoluto de 𝑥 sobre tres es menor que uno sí y solo sí el valor absoluto de 𝑥 es menor que tres. Y decir que el valor absoluto de 𝑥 sobre tres es mayor que tres es lo mismo que decir que el valor absoluto de 𝑥 es mayor que tres. De modo que, nuestra serie de potencias converge cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que tres y diverge cuando el valor absoluto de 𝑥 es mayor que tres. Por lo tanto, nuestro radio de convergencia 𝑟 es tres. Y nuestra serie de potencias para 𝑔 de 𝑥 convergerá si el valor absoluto de 𝑥 es menor que tres.
Veamos ahora un ejemplo de cómo convertir una serie de potencias en una función racional.
Convierte la sumatoria desde 𝑛 es igual a cero hasta ∞ de dos multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 en una función racional.
La cuestión nos da una serie de potencias. Y quiere que convirtamos esto en una función racional. Y recordamos que una función racional 𝑓 de 𝑥 es el cociente de polinomios 𝑝 de 𝑥 y 𝑞 de 𝑥. Para convertir nuestra serie de potencias en una función racional, consideramos el siguiente hecho acerca de una serie geométrica: la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 multiplicada por 𝑟 a la 𝑛 es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, cuando el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno.
Vemos que nuestra serie de potencias ya está escrita como una serie geométrica, donde 𝑎 es igual a dos y 𝑟 es igual a 𝑥. Sustituir 𝑎 igual a dos y 𝑟 igual a 𝑥 en la fórmula de la suma de una serie geométrica nos da que la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de dos multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 es igual a dos dividido por uno menos 𝑥. Y esto es cierto cuando el valor absoluto de nuestra razón 𝑥 es menor que uno.
Veamos un ejemplo más de cómo convertir una serie de potencias en una función racional.
Convierte la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de dos multiplicado por menos 𝑥 sobre tres elevado a tres 𝑛 más uno en una función racional.
Recordamos que, en las series geométricas infinitas, la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la 𝑛 es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟, si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno. Como la cuestión nos pide que convirtamos esto en una función racional, notamos que, si podemos manipular nuestra serie para que tenga la forma de una serie geométrica, podemos usar nuestra fórmula de la suma de una serie geométrica para escribirla como una función racional.
Vamos a comenzar simplificando el exponente dentro de nuestro sumando. Y para ellos sacamos este coeficiente menos 𝑥 sobre tres fuera de nuestra sumatoria. En lugar de elevar menos 𝑥 sobre tres a tres 𝑛, primero podemos elevarlo al cubo y luego elevarlo a la 𝑛. Evaluar nuestra potencia de exponente tres nos da menos 𝑥 al cubo sobre 27. Y podemos ver que esta es una serie geométrica con 𝑎 igual a dos y 𝑟 igual a menos 𝑥 al cubo sobre 27. Usando nuestra fórmula de la suma de una serie geométrica, obtenemos menos 𝑥 sobre tres multiplicado por dos dividido por uno menos menos 𝑥 al cubo sobre 27, que es igual a menos dos 𝑥 dividido por tres más 𝑥 al cubo sobre nueve. Y esto es válido cuando el valor absoluto de nuestra razón es menor que uno.
A modo de resumen de lo que hemos hecho, diremos que podemos usar nuestra fórmula de la suma de una serie geométrica para expresar funciones racionales como series de potencias y para expresar series de potencias como funciones racionales. A veces, será necesario manipular nuestra función racional o tendremos que manipular nuestra serie de potencias. Y hemos visto varias formas de hacer esto. También podemos hallar el radio de convergencia de nuestra serie de potencias usando que nuestra serie converge cuando el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es menor que uno. Finalmente, podemos obtener el intervalo de convergencia analizando los extremos del radio de convergencia.
