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Vídeo de la lección: Las funciones cúbicas y sus gráficas Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo graficar funciones cúbicas, cómo determinar sus ecuaciones a partir de gráficas y cómo describir sus propiedades.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo graficar funciones cúbicas, cómo determinar sus ecuaciones a partir de gráficas y cómo describir sus propiedades. Empecemos considerando la función cúbica estándar, que es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo.

Siempre es bueno recordar que podemos dibujar la gráfica cualquier función hallando las coordenadas de unos cuantos puntos de la función. Podemos elegir un rango de valores de entrada o 𝑥 y calcular los valores de salida, o sea, los valores de 𝑓 de 𝑥 correspondientes. Una vez que tenemos estas coordenadas o pares ordenados de números, podemos situarlos en un sistema de coordenadas y unirlos con una curva.

Echemos un vistazo a las propiedades de la función cúbica básica. En primer lugar, podemos decir que el valor de la función es positivo cuando 𝑥 es positivo, negativo cuando 𝑥 es negativo y cero cuando 𝑥 es igual a cero. En segundo lugar, al tratarse de un polinomio de grado impar de tres, la gráfica tiene comportamientos opuestos en los extremos. Este comportamiento en los extremos es tal que cuando 𝑥 tiende a más ∞, 𝑓 de 𝑥 también tiende a más ∞. Y cuando 𝑥 decrece, 𝑓 de 𝑥 también decrece hacia menos ∞. Finalmente, ocurre también que se trata de una función impar, ya que 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el dominio de 𝑓. También notamos que cuando transformamos esta función, la definición de la curva se conserva.

Veamos ahora algunas de las diferentes transformaciones. Podemos clasificar las diferentes transformaciones en dos tipos principales: las que cambian los valores de entrada y las que cambian los valores de salida. Además, estos cambios en los valores de entrada o en los valores de salida se pueden clasificar como suma, multiplicación o negación.

Vamos a empezar explorando cómo la suma cambia el aspecto de la función, comenzando con los cambios en los valores de salida.

Empecemos con la función cúbica estándar 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo y agreguemos otras dos funciones a considerar: 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo más dos y ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo menos uno. Observa cómo ha cambiado la gráfica para estas dos funciones. No son 𝑥 al cubo; una es 𝑥 al cubo más dos y la otra es 𝑥 al cubo menos uno. Podríamos usar una tabla de valores para ayudarnos y luego representar estas tres funciones juntas en los mismos ejes de coordenadas.

Podemos ver que la función cúbica básica pasa por cero, cero, pero 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo más dos pasa por el punto cero, dos. Asimismo, ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo menos uno pasa por la coordenada cero, menos uno. Lo que tenemos aquí son traslaciones verticales. En general, la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 más 𝑘 para una constante 𝑘 real es una traslación vertical de la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. Si 𝑘 es mayor que cero, entonces su gráfica es la traslación en 𝑘 unidades hacia arriba de la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo.

Podemos ver esto en la función 𝑔 de 𝑥. El valor de 𝑘 aquí es más dos, y la gráfica se trasladó dos unidades hacia arriba. Y si 𝑘 es menor que cero, entonces la gráfica será una traslación hacia abajo del valor absoluto de 𝑘 unidades de la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. Si miramos la función ℎ de 𝑥, el valor de 𝑘 aquí es negativo; es menos uno. Y su valor absoluto es uno. Y podemos ver que ℎ de 𝑥 es una traslación de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo por una unidad hacia abajo.

A continuación, vamos a ver cómo cambia la función si sumamos o restamos una constante a todos los valores de entrada. Vamos a mantener la función cúbica básica 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo, pero vamos a añadir dos nuevas funciones 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥. Como ahora estamos cambiando los valores de entrada, ya no es simplemente 𝑥 al cubo sino 𝑥 más dos al cubo y 𝑥 menos uno al cubo.

Podemos trazar las tres gráficas en los mismos ejes de coordenadas. Esta vez, tenemos una traslación horizontal. Ya vimos que 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo pasa por cero en el eje 𝑥. Sin embargo, 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 más dos al cubo pasa por menos dos en el eje 𝑥. Y ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 menos uno al cubo pasa por más uno en el eje 𝑥. Esta puede ser una transformación un tanto difícil de recordar. Por ejemplo, cuando sumamos dos, es tentador pensar que la traslación va a ser siempre en la dirección positiva, en este caso, dos unidades hacia la derecha. Sin embargo, 𝑔 de 𝑥 es una traslación de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo por dos unidades a la izquierda.

Del mismo modo, cuando restamos uno, pensamos que la traslación debe ir hacia la izquierda. Pero de hecho va hacia la derecha. Para ayudarnos a recordar esto, podemos decir que, si cambiamos la entrada 𝑥 a 𝑥 menos ℎ, hay una traslación de ℎ unidades hacia la derecha. Por ejemplo, en la función ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 menos uno al cubo, el valor de ℎ sería igual a uno y la traslación es de una unidad hacia la derecha. Cuando el valor de ℎ es negativo, se trata de una traslación del valor absoluto de ℎ unidades hacia la derecha. Esto es lo que tenemos en la función 𝑔 de 𝑥, donde el valor de ℎ aquí sería menos dos, que es una traslación de dos unidades hacia la izquierda.

Exploremos ahora cómo la multiplicación cambia la función. Esta vez, tenemos 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo, 𝑔 de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cubo y ℎ de 𝑥 igual a un medio de 𝑥 al cubo. Aquí están las tres funciones representadas juntas. ¿Qué notamos ahora? Bueno, no se trata de una traslación, ya que las tres funciones pasan por el origien cero, cero. Lo que podemos decir es que la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo ha sido alargada verticalmente. A 𝑔 de 𝑥 se le ha aplicado un alargamiento vertical de factor de escala tres, y a ℎ de 𝑥 se le ha aplicado una homotecia vertical de factor de escala un medio. Por lo tanto, podemos decir que para cualquier constante positiva 𝑎, cuando 𝑓 de 𝑥 cambia a 𝑎 por 𝑓 de 𝑥, el cambio de la gráfica es un alargamiento vertical de factor de escala 𝑎.

Veamos ahora cómo la multiplicación de los valores de entrada cambia la gráfica.

Esta vez, podemos comparar la función ℎ de 𝑥 igual a dos 𝑥 al cubo con la función cúbica básica. Para comprender completamente lo que está sucediendo aquí, analicemos algunas de las coordenadas en cada una de las funciones. Tomemos la coordenada dos, ocho en la función 𝑓 de 𝑥. Incluso podemos considerar esto en términos de una máquina de funciones. Una entrada de dos da una salida de ocho. Podemos mirar la función ℎ de 𝑥 y considerar qué valor debe ser ingresado para obtener la misma salida de ocho.

Bien, sabemos que cuando ingresamos un valor de dos, obtenemos ocho. Pero esta vez, no estamos simplemente ingresando dos; estamos ingresando dos 𝑥. Y para que el valor de entrada sea dos, eso significa que 𝑥 debe ser igual a uno. Así que la coordenada uno, ocho está en la función ℎ de 𝑥. En general, entonces, podemos decir que para cualquier 𝑏 positivo en los números reales cuando la entrada 𝑥 cambia a 𝑏 por 𝑥, ocurre un alargamiento horizontal de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo por un factor de escala de uno sobre 𝑏.

Finalmente, veamos cómo la negación cambia la función cúbica estándar. Consideremos las gráficas de las funciones 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo y 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cubo. Lo que tenemos aquí es una reflexión en el eje horizontal. Toda salida de 𝑔 de 𝑥 es el opuesto del valor para 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. Por ejemplo, la coordenada dos, ocho en la función original es dos, menos ocho en la función transformada.

Quizás te preguntes por qué es esto una reflexión en el eje horizontal y no en el eje vertical. Bien, veamos lo que sucede cuando cambiamos la entrada. Tomamos esta nueva función ℎ de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cubo. Podemos simplificar esta función escribiéndola sin los paréntesis ya que ℎ de 𝑥 es igual a menos 𝑥 al cubo. Esto crea una función idéntica a la de 𝑔 de 𝑥. Esta es una característica del hecho de que la gráfica cúbica es una función impar.

En general, si cambiamos la salida 𝑓 de 𝑥 de una función a menos 𝑓 de 𝑥, eso produce una reflexión en el eje horizontal. Cuando cambiamos la entrada a menos 𝑥, eso es una reflexión de 𝑓 de 𝑥 en el eje vertical. El hecho de que la función cúbica 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo sea impar significa que cambiar el signo de los valores de entrada o de salida produce el mismo resultado gráfico.

Hasta ahora, hemos visto cómo cambiar diferentes cosas de los valores de entrada o de salida cambia la función. Pero, por supuesto, podemos cambiar una función cúbica de más de una forma a la vez. Podemos aplicar una combinación de todas las transformaciones a la función cúbica básica. Podemos decir que si 𝑎, ℎ y 𝑘 están en el conjunto de los números reales con 𝑎 no igual a cero, entonces la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cubo más 𝑘 es una transformación de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo.

Podemos resumir cómo los diferentes valores de 𝑎, ℎ y 𝑘 cambian la forma de la función. Es posible que desees pausar el video y tomar nota de esto. Una nota final, el orden en el que realizamos estas transformaciones importa, aunque a veces obtenemos el mismo gráfico. En primer lugar, realizamos un alargamiento vertical, que es el valor de 𝑎; en segundo lugar, cualquier traslación horizontal, ese es el valor de ℎ; y finalmente, cualquier traslación vertical, que es el valor de 𝑘. A continuación, vamos a ver algunos ejemplos, comenzando con uno en el que vamos a identificar la ecuación correcta de una gráfica.

¿Qué ecuación se corresponde con la gráfica? Opción (A) 𝑦 igual a 𝑥 menos dos al cubo menos uno. Opción (B) 𝑦 igual a 𝑥 más dos al cubo menos uno. Opción (C) 𝑦 igual a 𝑥 más dos al cubo más uno. O la opción (D) 𝑦 igual a 𝑥 menos dos al cubo más uno.

Vamos a comenzar notando que esta gráfica es muy similar a la de la función cúbica estándar 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo, la cual puede escribirse como 𝑦 igual a 𝑥 al cubo. Podemos dibujar la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo junto con la gráfica dada. La gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo tiene un punto de inflexión en cero, cero. El punto de inflexión de esta función está en menos dos, menos uno. Por lo tanto, decimos que la función 𝑦 igual a 𝑥 al cubo ha sido trasladada dos unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. Ambas gráficas tienen las mismas pendientes y no ha habido reflexión, por lo que no hay más transformaciones.

Recordemos que una función cúbica de la forma 𝑦 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cubo más 𝑘 es una transformación de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo para constantes reales 𝑎, ℎ y 𝑘 tales que 𝑎 no es igual a cero. En esta forma, el valor de 𝑎 indica el factor de escala del alargamiento vertical y hay una reflexión si 𝑎 es menor que cero; hay una traslación horizontal de ℎ unidades hacia la derecha y una traslación vertical de 𝑘 unidades hacia arriba. Realizamos estas transformaciones con el alargamiento vertical primero, la traslación horizontal en segundo lugar y la traslación vertical en tercer lugar.

En esta cuestión, la gráfica no se ha reflejado ni alargado, por lo que 𝑎 es igual a uno. Después, notamos que esta gráfica tiene una traslación de dos unidades hacia la izquierda. Como la función cúbica con esta ecuación general tiene una traslación horizontal de ℎ unidades hacia la derecha, nuestro valor de ℎ debe ser negativo. Así que ℎ es igual a menos dos. Por último, nos damos cuenta de que debe haber una traslación vertical de una unidad hacia abajo. Como esta forma nos da una traslación vertical en términos de unidades hacia arriba, nuestro valor de 𝑘 debe ser negativo. Así que es menos uno.

Ahora todo lo que necesitamos hacer es completar los valores de 𝑎, ℎ y 𝑘 en esta forma general de la función cúbica. Cuando simplificamos, obtenemos la ecuación 𝑦 igual a 𝑥 más dos al cubo menos uno. Esta es la ecuación en la opción de respuesta (B).

Veamos ahora un ejemplo en el que debemos identificar la forma correcta de una gráfica de una función cúbica de ecuación conocida.

¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a menos 𝑥 menos dos al cubo?

En esta cuestión, nos dan la ecuación de una función cúbica. Así que vamos a compararla con la función cúbica estándar 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. Podemos dibujar un bosquejo rápido de esta función. Recordemos que una función cúbica en la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cubo más 𝑘 es una transformación de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo para constantes reales 𝑎, ℎ y 𝑘, tales que 𝑎 no es igual a cero.

Aquí, 𝑎 representa un alargamiento y, tal vez, una reflexión, ℎ indica el número de unidades que la gráfica ha sido trasladada en la dirección horizontal y 𝑘 es la cantidad de unidades que la gráfica ha sido trasladada en la dirección vertical. Debemos realizar estas transformaciones con el alargamiento vertical primero, la traslación horizontal en segundo lugar y la traslación vertical en tercer lugar.

Consideremos la función que nos dan. Como 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 𝑥 menos dos al cubo, eso significa que 𝑎 es igual a menos uno. Esto indica que no hay alargamiento, o si queremos, hay un alargamiento de factor de escala uno. Sin embargo, como 𝑎 es negativo, esto significa que hay una reflexión de la gráfica con respecto al eje 𝑥. Si realizamos solo la reflexión, la gráfica se vería así como esta en rosa.

En la función, ℎ es igual a dos. Esto significa que hay una traslación de dos unidades hacia la derecha. Esto mueve el punto de inflexión de cero, cero a dos, cero. Por lo tanto, la gráfica debe ser así. Siempre es una buena idea indicar cualquier información importante en un dibujo. Y, por supuesto, sabemos que esta gráfica atraviesa el eje 𝑥 en dos, cero.

Por lo tanto, podemos dar la respuesta de que la gráfica que representa 𝑓 de 𝑥 igual a menos 𝑥 menos dos al cubo es la opción (E).

Para finalizar, resumamos los principales puntos de este video. Hemos comenzado con la función cúbica estándar 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. Luego hemos identificado una serie de propiedades importantes. Después, vimos cómo cambios aplicados a los valores de entrada o a los valores de salida de la función afectan su gráfica También, vimos cómo 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cubo más 𝑘 es la ecuación general de todas las diferentes transformaciones de la función 𝑦 igual a 𝑥 al cubo. Finalmente, vimos que el orden en el que llevamos a cabo las transformaciones de esta función cúbica importa. Así que primero debemos hacer el alargamiento vertical, el valor 𝑎; en segundo lugar, cualquier traslación horizontal, el valor ℎ; y finalmente, cualquier traslación vertical, el valor 𝑘.

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