Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo extender las operaciones de números complejos a
la multiplicación. Vamos a comenzar efectuando la multiplicación de un número complejo por un número
real y, seguidamente, por otro número complejo. Luego extenderemos esto para derivar una regla general para elevar al cuadrado
números complejos y exploraremos cómo nos puede ayudar esto a elevar números
complejos a exponentes mayores que dos. Y, finalmente, aprenderemos cómo aplicar estos métodos para ayudarnos a resolver
ecuaciones.
Si has estado estudiando números complejos por algún tiempo, sabrás que las
operaciones con números complejos son muy similares, o hasta podemos decir
idénticas, a las operaciones con expresiones algebraicas. De hecho, multiplicar números complejos es como multiplicar expresiones algebraicas
con la excepción de que la letra 𝑖 no es una variable. 𝑖 es obviamente la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Esto significa que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno y, de hecho, a menudo decimos
que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno.
Comencemos analizando cómo multiplicar números complejos de la forma 𝑧 igual a 𝑎
más 𝑏𝑖 por una constante real. Llamemos 𝑐 a nuestra constante, de modo que 𝑐 es un número real. 𝑐 multiplicado por 𝑧, escrito simplemente como 𝑐𝑧, es exactamente lo mismo que 𝑐
multiplicado por el número complejo 𝑎 más 𝑏𝑖. Y ponemos paréntesis para mostrar que este es el caso.
Recordemos la propiedad distributiva, la cual nos dice cómo multiplicar cada parte de
un número complejo por un número real 𝑐. Usándola, vemos que 𝑐𝑧 es igual a 𝑐𝑎 más 𝑐𝑏𝑖. Y por claridad, esto se escribe a veces como 𝑎𝑐 más 𝑏𝑐𝑖. Lo que probablemente no es una sorpresa. Es exactamente lo que esperamos si multiplicamos cualquier expresión algebraica de
dos términos por una constante real.
Veamos ahora un ejemplo de cómo se hace esto en la práctica.
Sabiendo que 𝑟 es igual a menos cinco más dos 𝑖 y 𝑠 es igual a menos ocho menos
dos 𝑖, halla dos 𝑟 más tres 𝑠.
Nos han dado dos números complejos 𝑟 y 𝑠. Queremos hallar la suma de dos 𝑟 y tres 𝑠. Vamos a resolver la cuestión por partes y comenzaremos hallando dos 𝑟 y tres 𝑠 por
separado. Dos 𝑟 es dos multiplicado por el número complejo menos cinco más dos 𝑖. Desarrollamos estos paréntesis multiplicando cada parte del número complejo por el
número dos. Dos multiplicado por menos cinco es menos 10 y dos multiplicado por dos 𝑖 es cuatro
𝑖. Y vemos que dos 𝑟 es igual a menos 10 más cuatro 𝑖.
Vamos a repetir este procedimiento con 𝑠. Esta vez, multiplicamos cada parte del número complejo 𝑠 por el número tres. Tres multiplicado por menos ocho es menos 24 y tres multiplicado por menos dos 𝑖 es
menos seis 𝑖. Y ahora que tenemos los números complejos dos 𝑟 y tres 𝑠, podemos hallar su
suma. Esto es 10 más cuatro 𝑖 más menos 24 menos seis 𝑖.
Recordemos que para sumar dos números complejos, hemos de sumar por separado sus
partes reales y sus partes imaginarias. Menos 10 más menos 24 es menos 34 y cuatro 𝑖 más menos seis 𝑖 es menos dos 𝑖. Para los números complejos que nos han dado, dos 𝑟 más tres 𝑠 es igual a menos 34
menos tres 𝑖.
Todo esto está bien. Pero, ¿qué pasaría si multiplicáramos nuestros números complejos por un número
imaginario puro? Ya hemos visto que la propiedad distributiva es realmente útil para multiplicar
números complejos por una constante real. Y, de hecho, podemos usar esta misma propiedad para multiplicar un número complejo
por un número imaginario puro. Este es un número de la forma 𝑐𝑖, donde 𝑐 es un número real y 𝑖 es la unidad
imaginaria, es decir, la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos
uno.
Ahora vamos a multiplicar un número complejo 𝑎 más 𝑏𝑖 por 𝑐𝑖. Al hacer esto, obtenemos 𝑐𝑖 multiplicado por 𝑎 más 𝑏𝑖. 𝑐𝑖 multiplicado por 𝑎 es 𝑐𝑎𝑖 y 𝑐𝑖 multiplicado por 𝑏𝑖 es 𝑐𝑏𝑖 al
cuadrado. Pero ya que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, podemos escribir esto como menos
𝑐𝑏. Y si ahora escribimos esto en forma binómica, vemos que nuestro número complejo
multiplicado por un número imaginario puro es menos 𝑐𝑏 más 𝑐𝑎𝑖.
Aunque ahora tengamos una fórmula para multiplicar un número complejo por un número
imaginario puro. Debemos enfocarnos en aplicar este proceso cada vez en lugar de aprenderlo de
memoria. Aquí, vamos a ver un ejemplo de dónde podemos aplicar estos procedimientos para
multiplicar un número complejo por un número imaginario puro.
¿Cuánto es menos siete 𝑖 multiplicado por menos cinco más cinco 𝑖?
Tenemos el número complejo menos cinco más cinco 𝑖 y queremos multiplicarlo por el
número imaginario puro menos siete 𝑖. Y sabemos que multiplicar números complejos es como multiplicar expresiones
algebraicas. Aquí podemos aplicar la propiedad distributiva para desarrollar paréntesis. Multiplicamos cada parte dentro de los paréntesis por el número que está fuera. Esto es menos siete 𝑖 multiplicado por menos cinco que es igual a 35𝑖 y menos siete
𝑖 multiplicado por cinco 𝑖, que nos da menos 35𝑖 al cuadrado.
Y aquí recordamos que 𝑖 es la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos
uno, de modo que 𝑖 al cuadrado debe ser igual a menos uno. Por lo tanto, menos 35𝑖 al cuadrado es lo mismo que menos 35 multiplicado por menos
uno, que es simplemente 35. Y ya que ahora tenemos un número complejo que, por supuesto, es el resultado de sumar
un número real y un número imaginario puro, lo escribimos como 35 más 35𝑖.
Como era de esperar, podemos extender estas ideas a la multiplicación de dos números
complejos. Y vamos a comenzar considerando el producto general de dos números complejos. Digamos que tenemos dos números complejos, 𝑧 uno y 𝑧 dos, de modo que 𝑧 uno es
igual a 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑧 dos es igual a 𝑐 más 𝑑𝑖. Su producto 𝑧 uno 𝑧 dos es el producto de 𝑎 más 𝑏𝑖 por 𝑐 más 𝑑𝑖.
Y ya hemos visto que podemos aplicar técnicas algebraicas a números complejos. Aquí podemos usar cualquier técnica que nos guste usar para multiplicar dos
binomios. El método PEIÚ y el método de cuadrícula son dos métodos usuales. Vamos a ver el método PEIÚ.
P representa primero. Multiplicamos el primer término en el primer paréntesis por el primer término en el
segundo paréntesis. 𝑎 multiplicado por 𝑐 es 𝑎𝑐. E significa exterior. Multiplicamos los términos externos y obtenemos 𝑎𝑑𝑖. I representa el interior. Multiplicamos los términos internos y obtenemos 𝑏𝑐𝑖. Y Ú representa el último. Multiplicamos el último término en cada paréntesis, y obtenemos 𝑏𝑑𝑖 cuadrado.
Y dado que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, podemos escribir esta última parte
como menos 𝑏𝑑. Podemos reorganizar esto un poco y vemos que los productos de 𝑧 uno y 𝑧 dos son
𝑎𝑐 menos 𝑏𝑑 más 𝑎𝑑 más 𝑏𝑐𝑖. Es un número complejo con una parte real 𝑎𝑐 menos 𝑏𝑑 y una parte imaginaria 𝑎𝑑
más 𝑏𝑐. Así que hemos desarrollado una fórmula para multiplicar un número complejo por otro
número complejo. Pero nos debemos centrar sobre todo en ser capaces de aplicar el proceso cada
vez.
Multiplica menos tres más 𝑖 por dos más cinco 𝑖.
Multiplicar dos números complejos es como multiplicar dos binomios y podemos usar
cualquier técnica que nos guste. Probemos el método de cuadrícula. Dos multiplicado por menos tres es menos seis y dos multiplicado por 𝑖 es dos
𝑖. Cinco 𝑖 multiplicado por menos tres es menos15 𝑖 y cinco 𝑖 multiplicado por 𝑖 es
cinco 𝑖 al cuadrado. Y, por supuesto, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y cinco 𝑖 al cuadrado es cinco multiplicado por menos uno, lo que es igual a menos
cinco.
Vamos a simplificar mediante la agrupación de términos similares. Y, agrupando la parte real y la imaginaria, obtenemos menos seis menos cinco más dos
𝑖 menos 15𝑖. Menos seis menos cinco es menos 11 y dos 𝑖 menos 15𝑖 es menos 13𝑖. Por lo tanto, si multiplicamos menos tres más 𝑖 por dos más cinco 𝑖, obtenemos
menos 11 menos 13𝑖.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo ampliar estas ideas para elevar al
cuadrado números complejos.
Sabiendo que 𝑟 es igual a menos dos más cuatro 𝑖 y 𝑠 es igual a ocho menos 𝑖,
halla 𝑟 menos 𝑠 todo al cuadrado.
En esta pregunta, nos han dado dos números complejos y nos piden que hallemos el
cuadrado de su diferencia, 𝑟 menos 𝑠. Podemos escribir 𝑟 menos 𝑠 al cuadrado como 𝑟 menos 𝑠 multiplicado por 𝑟 menos
𝑠 y desarrollar estos paréntesis como de costumbre. Si hacemos esto obtenemos tres términos: 𝑟 al cuadrado, 𝑠 al cuadrado y menos dos
𝑟𝑠. Y resulta trabajoso calcular todos y cada uno de estos números complejos.
Nos ahorramos trabajo si primero hallamos la diferencia entre los términos y después
los elevamos al cuadrado. 𝑟 menos 𝑠 es menos dos más cuatro 𝑖 menos ocho menos 𝑖. Y para restar números complejos, restamos sus partes reales, por un lado, y sus
partes imaginarias, por otro lado. Alternativamente, podemos considerar esto un poco como una típica reagrupación de
términos similares. Pero antes de hacerlo, distribuyamos el segundo par de paréntesis multiplicando cada
término dentro del paréntesis por menos uno. Eso nos da menos ocho más 𝑖.
Menos dos menos ocho es menos 10 y cuatro más uno 𝑖 es cinco 𝑖. De modo que 𝑟 menos 𝑠 es menos 10 más cinco 𝑖. Esto significa que 𝑟 menos 𝑠 al cuadrado es menos 10 más cinco 𝑖 al cuadrado. Pero como elevar al cuadrado un número es lo mismo que multiplicarlo por sí mismo, lo
escribimos como menos 10 más cinco 𝑖 multiplicado por menos 10 más cinco 𝑖.
Y multiplicar dos números complejos es como multiplicar binomios. Podemos usar cualquier técnica que nos guste. Veamos el método PEIÚ. Comenzamos multiplicando el primer término en el primer paréntesis por el primer
término en el segundo paréntesis. Menos 10 multiplicado por menos 10 es 100, multiplicamos los términos externos: menos
10 multiplicado por cinco 𝑖 es menos 50𝑖. Y obtenemos lo mismo si multiplicamos los dos términos internos.
Finalmente, multiplicamos el último término en cada paréntesis. Y obtenemos 25𝑖 al cuadrado. Pero como 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, podemos escribir esto como 25
multiplicado por menos uno, que es menos 25. 100 menos 25 es 75. Y menos 50 menos más 50 es menos 100. Obtenemos menos 100𝑖. Y podemos ver que 𝑟 menos 𝑠 todo al cuadrado es 75 menos 100𝑖.
Ahora que hemos visto un ejemplo de cómo elevar al cuadrado un número complejo,
ampliemos esto y derivemos la forma general. Supongamos que tenemos un número complejo 𝑧 en la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏
son números reales. 𝑧 al cuadrado es 𝑎 más 𝑏𝑖, todo al cuadrado. Pero sabemos que podemos elevar al cuadrado un número complejo multiplicándolo por sí
mismo y aplicando las mismas técnicas que usamos para desarrollar paréntesis.
Multiplicamos el primer término en cada paréntesis y obtenemos 𝑎 al cuadrado. Cuando multiplicamos los términos externos, obtenemos 𝑎𝑏𝑖. Cuando multiplicamos los términos internos, obtenemos nuevamente 𝑎𝑏𝑖. Y cuando multiplicamos los últimos términos, obtenemos 𝑏 al cuadrado 𝑖 al
cuadrado. Pero por supuesto, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Este último término es menos 𝑏 al cuadrado. Y vemos que 𝑧 al cuadrado es igual a 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado más dos
𝑎𝑏𝑖.
Hemos hallado, pues, que, cuando elevamos al cuadrado un número complejo 𝑧 en la
forma 𝑎 más 𝑏𝑖, la parte real de 𝑧 al cuadrado es 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al
cuadrado y la parte imaginaria es dos 𝑎𝑏. Hemos insistido a lo largo de este video que aprender la técnica es más importante
que recordar la fórmula. Pero, en este caso, aprender la formula del cuadrado de un número complejo puede ser
muy útil.
Veamos un ejemplo de un caso en donde recordar esto nos puede ayudar a simplificar
cálculos.
Halla la parte real de siete menos dos 𝑖 todo al cuadrado.
Nos han dado el número complejo siete menos dos 𝑖 y nos piden hallar la parte real
de su cuadrado. Podemos comenzar escribiendo siete menos dos 𝑖 al cuadrado como siete menos dos 𝑖
multiplicado por siete menos dos 𝑖 y desarrollando seguidamente los paréntesis
completamente. Podemos usar cualquier técnica para los binomios. Por ejemplo, podemos usar el método PEIÚ.
Multiplicamos el primer término en el primer paréntesis por el primer término en el
segundo paréntesis. Esto es siete multiplicado por siete, que es 49. Multiplicamos los términos externos. Es decir, siete multiplicado por menos dos 𝑖, que es menos 14𝑖. Y obtenemos el mismo valor al multiplicar los términos internos. Finalmente multiplicamos el último término de cada paréntesis y obtenemos más cuatro
𝑖 al cuadrado. Pero, por supuesto, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y esto se simplifica a 49 menos 28𝑖 menos cuatro, que es 45 menos 28𝑖.
Cuando tenemos un número complejo en la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, su parte real es 𝑎 y su
parte imaginaria es 𝑏. Y en este caso, podemos decir que la parte real de nuestro número complejo es 45. A pesar de que este método es absolutamente válido, la cantidad de trabajo es un
tanto excesiva. En su lugar, vamos a hacer uso de la forma general para el cuadrado de un número
complejo 𝑎 más 𝑏𝑖. Está dada por la fórmula 𝑧 al cuadrado igual a 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado
más dos 𝑎𝑏𝑖.
La parte real es 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado y la parte imaginaria es dos
𝑎𝑏. En nuestro número complejo, la parte real es siete; 𝑎 es igual a siete. Y la parte imaginaria 𝑏 es igual a menos dos. Así que, podemos decir que la parte real de 𝑧 al cuadrado es siete al cuadrado menos
menos dos al cuadrado o 49 menos cuatro. 49 menos cuatro es igual a 45. Y esa es la misma respuesta que obtuvimos anteriormente.
Las reglas que hemos aprendido para el cuadrado de números complejos pueden ayudarnos
a hallar potencias más altas de estos números.
Siendo 𝑟 igual a dos más 𝑖, expresa 𝑟 al cubo en la forma 𝑎 más 𝑏𝑖.
Comenzamos escribiendo 𝑟 al cubo. 𝑟 al cubo es lo mismo que 𝑟 por 𝑟 por 𝑟, que es lo mismo que dos más 𝑖 por dos
más 𝑖 por dos más 𝑖. Vamos a comenzar multiplicando dos más 𝑖 por dos más 𝑖. Y podemos desarrollar estos dos paréntesis tal como desarrollamos binomios.
Alternativamente, recordemos que el cuadrado del número complejo 𝑎 más 𝑏𝑖 es 𝑎 al
cuadrado menos 𝑏 al cuadrado más dos 𝑎𝑏𝑖. La parte real de nuestro número complejo 𝑎 es dos. Y la parte imaginaria es el coeficiente de 𝑖; es uno. Podemos elevar este número al cuadrado reemplazando 𝑎 por dos y B por uno en la
fórmula. Obtenemos dos al cuadrado menos uno al cuadrado más dos por dos por uno 𝑖 y todo eso
multiplicado por dos más 𝑖
Dos al cuadrado es cuatro y uno al cuadrado es uno. Dos al cuadrado menos uno al cuadrado es tres y dos por dos por uno es cuatro. Así que tenemos tres más cuatro 𝑖 multiplicado por dos más 𝑖. Y podemos multiplicar estos paréntesis usando el método PEIÚ. Multiplicamos el primer término en cada paréntesis. Tres por dos es seis. Multiplicamos los términos externos y obtenernos tres 𝑖. Y para los términos internos, tenemos cuatro 𝑖 multiplicado por dos, que es ocho
𝑖. Después multiplicamos los últimos términos y cuatro 𝑖 multiplicado por 𝑖 es cuatro
𝑖 al cuadrado.
Y como sabemos que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, cuatro 𝑖 al cuadrado se
convierte en menos cuatro. Además, sabemos que tres 𝑖 más ocho 𝑖 es 11𝑖. Y nuestra expression se simplifica a dos más 11𝑖. Por tanto, 𝑟 al cubo en la forma requerida es dos más 11𝑖.
Existen técnicas para simplificar este proceso para potencias altas de 𝑧, las cuales
vamos a ir aprendiendo a medida que tengamos más confianza para trabajar con números
complejos. Nuestro último ejemplo muestra cómo resolver una ecuación usando números
complejos.
Resuelve la ecuación 𝑖𝑧 igual a menos cuatro más tres 𝑖.
Por lo general, tratamos de aplicar las mismas reglas que se usan para manipular
expresiones algebraicas. Aquí dividiríamos por 𝑖. Pero hay otra técnica que podemos usar. Sabemos que 𝑖 al cuadrado es menos uno. Por eso, vamos a multiplicar ambos lados de esta ecuación por 𝑖. Y seguidamente desarrollamos los paréntesis multiplicando cada término dentro del
paréntesis por 𝑖. Y dado que 𝑖 al cuadrado es menos uno, obtenemos menos 𝑧 igual a menos cuatro 𝑖
menos tres 𝑖. Ahora multiplicamos por menos uno y vemos que 𝑧 es igual a tres más cuatro 𝑖.
Y siempre es recomendable verificar nuestras respuestas sustituyéndolas en la
ecuación original: 𝑖 multiplicado por tres más cuatro 𝑖 es tres 𝑖 más cuatro 𝑖
al cuadrado. Y como cuatro 𝑖 al cuadrado es cuatro multiplicado por menos uno, obtenemos menos
cuatro. Y esto es, por supuesto, lo mismo que menos cuatro más tres 𝑖.
En este video, hemos aprendido que podemos multiplicar dos números complejos usando
los métodos usuales como el método de cuadrícula o el método PEIÚ. Hemos visto que el cuadrado de un número complejo 𝑎 más 𝑏𝑖 es 𝑎 al cuadrado menos
𝑏 al cuadrado más dos 𝑎𝑏𝑖. Y también hemos visto cómo podemos usar estas técnicas para hallar potencias
superiores de 𝑧 aunque este no sea necesariamente el método más eficiente.
