Vídeo de la lección: Factoriales

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo hallar el factorial de un número entero positivo 𝑛, el cual es el producto de todos los números enteros menores o iguales que 𝑛 y mayores o iguales que uno. También vamos a aprender cómo usar las propiedades de los factoriales para resolver problemas y cómo resolver problemas que contienen variaciones (arreglos) y factoriales. Comencemos con una definición y una propiedad del factorial de un número.

El factorial de un entero positivo 𝑛 es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que 𝑛. Usamos la notación 𝑛 seguida de un signo de exclamación, que se lee como 𝑛 factorial. 𝑛 factorial es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑛 menos dos y así sucesivamente multiplicado por dos multiplicado por uno. También definimos el factorial de cero como igual a uno; es decir, el factorial de cero vale uno por definición. De esta definición se sigue que, para cualquier entero 𝑛 mayor o igual a uno, 𝑛 factorial es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno factorial. Podemos ver eso en la regla general para 𝑛 factorial aquí arriba. Esta propiedad será realmente útil cuando resolvamos problemas más complicados en este video. Aunque vamos a comenzar con una cuestión sencilla.

Halla cuatro factorial.

Recordamos que el factorial de cualquier entero positivo 𝑛 es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que 𝑛. Esto significa que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑛 menos dos y así sucesivamente hasta uno. Por tanto, cuatro factorial es igual a cuatro multiplicado por tres multiplicado por dos multiplicado por uno. Cuatro multiplicado por tres es igual a 12. Multiplicar esto por dos nos da 24, y multiplicar 24 por uno también es 24. Podemos multiplicar los números enteros cuatro, tres, dos y uno en cualquier orden y siempre obtendremos la misma respuesta de 24. Por lo tanto, cuatro factorial es igual a 24.

En nuestra próxima cuestión, vamos a resolver un problema más complicado.

Simplifica la expresión seis factorial sobre cuatro factorial menos 27 factorial sobre 28 factorial. Da la respuesta como una fracción.

Recordamos que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑛 menos dos y así sucesivamente hasta uno. Esto significa que podemos calcular seis factorial multiplicando seis por cinco, por cuatro, por tres, por dos y por uno. Si bien esto no sería demasiado difícil para la primera fracción, calcular 27 factorial y 28 factorial de esta forma nos tomaría muchísimo tiempo. Por lo tanto, vamos a usar otra regla para calcular 𝑛 factorial. Es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno factorial. También podemos ver que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑛 menos dos factorial. Esto nos permite reescribir seis factorial como seis multiplicado por cinco multiplicado por cuatro factorial.

El primer término en nuestra cuestión se simplifica a seis multiplicado por cinco por cuatro factorial todo dividido por cuatro factorial. Y vemos que se cancelan los cuatro factoriales y que nos queda seis multiplicado por cinco. Esto es igual a 30. Podemos usar este método para la segunda fracción también porque 28 factorial es igual a 28 multiplicado por 27 factorial. Esta vez, 27 factorial se cancela, dejándonos con uno sobre 28. Necesitamos restar uno sobre 28, o un veintiochoavo, de 30. Esto es igual al número mixto 29 con veintisiete veintiochoavos.

Para escribir nuestra respuesta en forma de fracción, necesitaremos convertirla en una fracción impropia. Hacemos esto multiplicando primero el número entero 29 por el denominador 28. Esto es igual a 812. Después sumamos el numerador de 27, lo que nos da 839. La expresión seis factorial sobre cuatro factorial menos 27 factorial sobre 28 factorial es, por lo tanto, igual a la fracción 839 sobre 28.

En nuestra siguiente cuestión, vamos a utilizar nuestro conocimiento de los factoriales para resolver una ecuación.

Halla el conjunto solución de uno sobre 𝑛 más siete factorial más uno sobre 𝑛 más ocho factorial igual a 256 sobre 𝑛 más nueve factorial.

Hay muchos primeros pasos que podemos dar para resolver esta cuestión. Uno de los más obvios es multiplicar ambos miembros de la ecuación por 𝑛 más nueve factorial. Multiplicar el primer término por 𝑛 más nueve factorial nos da 𝑛 más nueve factorial sobre 𝑛 más siete factorial. El segundo término en el lado izquierdo se convierte en 𝑛 más nueve factorial sobre 𝑛 más ocho factorial. Y, como 𝑛 más nueve factorial dividido por 𝑛 más nueve factorial es igual a uno, el miembro derecho se convierte en 256.

Recordamos que 𝑟 factorial es igual a 𝑟 multiplicado por 𝑟 menos uno factorial. Esto significa que 𝑛 más nueve factorial puede ser reescrito como 𝑛 más nueve multiplicado por 𝑛 más ocho factorial o 𝑛 más nueve multiplicado por 𝑛 más ocho multiplicado por 𝑛 más siete factorial. Por lo tanto, el primer término se simplifica a 𝑛 más nueve multiplicado por 𝑛 más ocho. El segundo término se simplifica a 𝑛 más nueve. Obtenemos, pues, 𝑛 más nueve multiplicado por 𝑛 más ocho más 𝑛 más nueve igual a 256.

Desarrollamos los paréntesis usando el método PEIÚ. Multiplicar los primeros términos nos da 𝑛 al cuadrado, los términos externos ocho 𝑛, los términos internos nueve 𝑛 y los últimos términos 72. Ahora tenemos una ecuación 𝑛 al cuadrado más ocho 𝑛 más nueve 𝑛 más 72 más 𝑛 más nueve igual a 256. Al reducir términos semejantes, el lado izquierdo se simplifica a 𝑛 al cuadrado más 18𝑛 más 81. Y podemos restar 256 de ambos lados de la ecuación para obtener 𝑛 al cuadrado más 18𝑛 menos 175 igual a cero.

Podemos expresar esta expresión cuadrática como un producto de dos factores lineales. El primer término en cada uno de estos factores es 𝑛, ya que 𝑛 multiplicado por 𝑛 es 𝑛 al cuadrado. Los segundos términos suman 18 y tienen un producto de menos 175. 25 multiplicado por siete es 175. Esto significa que 25 multiplicado por menos siete es menos 175. Los números más 25 y menos siete también suman 18. Como esta expresión es igual a cero, uno de nuestros paréntesis debe ser igual a cero. Esto significa que 𝑛 es igual a menos 25 o 𝑛 es igual a siete. Los factoriales solo está definidos para enteros no negativos. Esto significa que podemos descartar la solución 𝑛 igual a menos 25. El valor de 𝑛 que satisface la ecuación es 𝑛 igual a siete. El conjunto solución de nuestra ecuación está formado simplemente por el número siete.

Nuestra última cuestión contiene variaciones (arreglos) y factoriales. Antes de pasar a esto, recordaremos la definición de variación. Una variación (arreglo) es el reordenamiento de una colección de elementos. Se define como el número de formas en que podemos extraer sin repetición 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos. Hay muchas formas de escribir esto, pero en este video vamos a usar subíndice 𝑛 P mayúscula subíndice 𝑟. Esto se lee simplemente como 𝑛P𝑟. Está definido por 𝑛 factorial dividido por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Por ejemplo, nueve P cinco es igual a nueve factorial dividido por nueve menos cinco factorial. Esto se simplifica a nueve factorial dividido por cuatro factorial.

Usando la propiedad de que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno factorial, nueve factorial es igual a nueve multiplicado por ocho multiplicado por siete multiplicado por seis multiplicado por cinco multiplicado por cuatro factorial. Y puesto que cuatro factorial se cancela, solo tenemos que multiplicar los cinco números enteros nueve, ocho, siete, seis y cinco, lo que nos da 15120.

A continuación, vamos a resolver una cuestión sobre variaciones (arreglos) y factoriales.

Sabiendo que 𝑛P𝑟 es igual a 504 y 𝑟 factorial es igual a seis, halla 𝑛 y 𝑟.

Recordemos que, puesto que se trata de variaciones, 𝑛P𝑟 es igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. También nos dicen que 𝑟 factorial es igual a seis. Esta es una ecuación factorial que podemos resolver fácilmente. Sabemos que tres multiplicado por dos multiplicado por uno es igual a seis. Esto significa que tres factorial es igual a seis. Nuestro valor de 𝑟 es, por tanto, igual a tres.

Nos dicen que 𝑛P𝑟 es igual a 504. Por lo tanto, 𝑛P tres es igual a 504. Sustituyendo 𝑟 igual a tres en nuestra fórmula general para variaciones, tenemos 𝑛 factorial dividido por 𝑛 menos tres factorial es igual a 504. Sabemos que 𝑛 factorial puede reescribirse como 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑛 menos dos multiplicado por 𝑛 menos tres factorial. Dividiendo esto por 𝑛 menos tres factorial, nos queda 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑛 menos dos. Esto es igual a 504. Así que estamos buscamos tres números enteros consecutivos que multiplicados nos den 504.

Podríamos intentar obtener estos valores mediante ensayo y mejora. Sin embargo, hay un truco que podemos usar para encontrar más rápidamente tres enteros consecutivos que se multiplican para dar un número determinado. Comenzamos por sacar la raíz cúbica de ese número. La raíz cúbica de 504 es 7.958 y así sucesivamente. Pero ¿cómo nos ayuda esto? Esto no es un número entero. Pero podemos tomar los números enteros a ambos lados de este número. En este caso, son siete y ocho. Hecho esto podemos dividir nuestro número, en este caso 504, por los dos enteros. 504 dividido por siete es igual a 72. Por lo tanto, siete multiplicado por 72 es 504. Después dividimos 72 por el segundo entero, ocho. Y 72 dividido por ocho es nueve. Y ocho multiplicado por nueve es 72.

Así que hemos escrito 504 como el producto de tres números enteros consecutivos. Estos números enteros son siete, ocho y nueve, que corresponden a 𝑛 menos dos, 𝑛 menos uno y 𝑛, respectivamente. Nuestro valor de 𝑛 es nueve. Si 𝑛P𝑟 es igual a 504 y 𝑟 factorial es seis, entonces, 𝑟 es igual a tres y 𝑛 es igual a nueve. Hay métodos un poco diferentes que podríamos haber usado para calcular 𝑟 y luego calcular 𝑛. En primer lugar, volvamos al hecho de que sabemos que 𝑟 factorial es igual a seis.

Cuando buscamos un entero desconocido de factorial conocido, podemos dividirlo por enteros positivos consecutivos. Por lo que comenzamos dividiendo nuestro número seis por uno. Esto es igual a seis. Después dividimos por el siguiente entero, dos. Seis dividido por dos es igual a tres. Luego dividimos por el siguiente entero positivo tres, y tres dividido por tres es igual a uno. Como seis dividido por uno dividido por dos dividido por tres es igual a uno, seis ha de ser igual a tres multiplicado por dos multiplicado por uno. Una vez más hemos demostrado que tres factorial es igual a seis. Por lo tanto, 𝑟 es igual a tres.

Cuando llegamos a la etapa en que 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑛 menos dos era igual a 504, pudimos haber usado nuestro conocimiento de los factores primos para intentar reagruparlos en números enteros consecutivos. 504 es igual a dos multiplicado por 252. 252 es igual a dos multiplicado por 126. Al repetir este proceso de dividir por números primos, podemos escribir 504 como un producto de sus factores primos. 504 es igual a dos multiplicado por dos multiplicado por dos multiplicado por siete multiplicado por tres multiplicado por tres. Esto se puede reescribir como dos al cubo multiplicado por siete multiplicado por tres al cuadrado. Dos al cubo es igual a ocho y tres al cuadrado es igual a nueve. Una vez más, tenemos tres enteros consecutivos siete, ocho y nueve, de modo que siete es igual a 𝑛 menos dos, ocho es igual a 𝑛 menos uno y nueve es igual a 𝑛.

Resumamos los puntos clave de este video. El factorial de un entero positivo 𝑛 se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que 𝑛. La propiedad clave del factorial es que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos uno factorial. Podemos usar esto para simplificar expresiones que contienen factoriales y también para resolver ecuaciones factoriales. Cuando buscamos un entero desconocido y conocemos su factorial, dividimos por enteros positivos consecutivos hasta llegar a una respuesta igual a uno. Finalmente, hemos visto que el número de variaciones (arreglos) de 𝑟 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 elementos se denota a veces como 𝑛P𝑟 y es igual a 𝑛 factorial dividido por 𝑛 menos 𝑟 factorial.