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Vídeo de la lección: Aplicaciones de los sistemas de inecuaciones Matemáticas • Noveno grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver problemas de sistemas de inecuaciones expresando para ello cada condición con una inecuación.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver problemas de sistemas de inecuaciones expresando para ello cada condición con una inecuación. Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales de varias variables. Estos sistemas se suelen utilizar cuando las soluciones de un problema forman un intervalo, y hay, además, más de una restricción en las soluciones, por ejemplo, una tienda que intenta reponer sus existencias con un presupuesto determinado. Veamos cómo representamos estos sistemas de inecuaciones.

Por ejemplo, si tenemos el sistema de inecuaciones 𝑥 mayor o igual que dos, 𝑦 mayor o igual que cuatro, y dos 𝑥 más tres 𝑦 menor o igual que 24, lo representamos de esta forma en un sistema de coordenadas. La ecuación 𝑥 igual a dos puede representarse como una recta vertical que pasa por el punto dos en el eje de las 𝑥. Como la inecuación dada es 𝑥 mayor o igual que dos, la región que nos interesa está a la derecha de esta recta. Así que eliminamos la región a la izquierda de esta recta.

Es importante tener en cuenta que, si tuviéramos una inecuación estricta, como 𝑥 mayor que dos, entonces la representaríamos con una línea discontinua. La ecuación 𝑦 igual a cuatro está representada por una recta horizontal que pasa por el eje de las 𝑦 en cuatro. Como la inecuación es 𝑦 mayor o igual que cuatro, la región que nos interesa está por encima de esta recta. Así que eliminamos la región de abajo. Por último, trazamos la recta dos 𝑥 más tres 𝑦 igual a 24. Esta recta corta el eje de las 𝑦 en el punto de abscisa 𝑥 igual a cero, y esto ocurre cuando la ordenada 𝑦 es igual a ocho. Asimismo, la recta corta el eje de las 𝑥 en 𝑦 igual a cero, y esto ocurre cuando 𝑥 es igual a 12. Representamos la ecuación dos 𝑥 más tres 𝑦 igual a 24 en el plano de esta manera.

Para determinar qué lado de esta recta es el que contiene las soluciones, reorganizamos nuestra inecuación y despejamos 𝑦. En primer lugar, restamos dos 𝑥 de ambos lados. Luego dividimos por tres y obtenemos 𝑦 es menor o igual que menos dos tercios de 𝑥 más ocho. Como 𝑦 es menor o igual que menos dos tercios de 𝑥 más ocho, la región que buscamos está por debajo de la recta. Así que eliminamos la región por encima de esta recta. Esto nos deja con una región triangular que satisface el sistema de inecuaciones.

Respecto a los bordes de la región, es importante saber que solo incluimos los valores en aquellos bordes en los que hay una línea continua. Esto se debe a que todas las inecuaciones deben satisfacerse y una inecuación estricta excluye la línea del conjunto de soluciones.

Veamos algunas cuestiones en las que se nos pide enunciar un sistema de inecuaciones a partir de un problema en un contexto del mundo real.

Un pastor quiere construir un cercado rectangular para sus ovejas. La longitud del establo debe ser superior a 88 metros y su perímetro debe ser inferior a 253 metros. Deriva el sistema de inecuaciones que describe la situación, denotando la longitud del establo con 𝑥 y su anchura con 𝑦.

El enunciado nos dice que un pastor quiere construir un cercado rectangular para sus ovejas con una longitud de 𝑥 metros y una anchura de 𝑦 metros. Y se nos pide que enunciemos un sistema de inecuaciones que satisfaga las condiciones dadas. Se nos dice que la longitud del establo debe ser superior a 88 metros. Por lo tanto, 𝑥 debe ser mayor que 88. Como la anchura del establo no puede ser un valor negativo, tenemos que 𝑦 es mayor o igual que cero.

También se nos dice que el perímetro del establo debe ser inferior a 253 metros. Si recordamos que el perímetro de cualquier figura plana es la distancia a lo largo del borde, entonces tenemos 𝑥 más 𝑦 más 𝑥 más 𝑦. Que se simplifica a dos 𝑥 más dos 𝑦. Y si extraemos un factor común de dos, obtenemos que el perímetro del establo es igual a dos multiplicado por 𝑥 más 𝑦. Este perímetro debe ser inferior a 253 metros. Por lo tanto, dos multiplicado por 𝑥 más 𝑦 es menor que 253. Ahora tenemos un sistema de tres inecuaciones que describen la situación. La longitud 𝑥 debe ser mayor que 88. La anchura 𝑦 debe ser mayor o igual que cero. Y dos multiplicado por 𝑥 más 𝑦 es menor que 253.

Aunque no se nos pide en esta cuestión, vamos a representar este sistema de inecuaciones gráficamente. Dibujamos una línea continua en 𝑦 igual a cero y líneas discontinuas en 𝑥 igual a 88 y dos multiplicado por 𝑥 más 𝑦 igual a 253. Como 𝑥 es mayor que 88, sombreamos, o sea, eliminamos la región de la izquierda, ya que nos interesa la región de la derecha. Como 𝑦 es mayor o igual que cero, la región que necesitamos es la que está por encima del eje de las 𝑥. Y, por último, como dos multiplicado por 𝑥 más 𝑦 es menor que 253, necesitamos la región por debajo de esta recta. De esta forma obtenemos una región triangular que satisface las tres inecuaciones.

Veamos otro problema en un contexto del mundo real.

Un carpintero quiere comprar dos tipos de clavos. El primer tipo cuesta seis libras el kilogramo, y el segundo tipo cuesta nueve libras el kilogramo. Necesita al menos cinco kilogramos del primer tipo y al menos siete kilogramos del segundo. Puede gastar menos de 55 libras. Usando 𝑥 para representar la cantidad del primer tipo e 𝑦 para representar la cantidad del segundo tipo, escribe el sistema de inecuaciones que representa esta situación.

En este problema se nos pide escribir el sistema de inecuaciones que representa las condiciones requeridas para un carpintero que quiere comprar dos tipos de clavos. Vamos a denotar la cantidad del primer tipo de clavos con 𝑥 y la cantidad del segundo tipo con 𝑦. Estas serán las cantidades de clavos en kilogramos. Como necesita al menos cinco kilogramos del primer tipo, sabemos que 𝑥 es mayor o igual que cinco. También necesita al menos siete kilogramos del segundo tipo, por lo que 𝑦 es mayor o igual que siete.

La otra restricción aquí es el costo. Se nos dice que el primer tipo cuesta seis libras el kilogramo. Esto equivale a seis 𝑥. El segundo tipo de clavo cuesta nueve libras el kilogramo, y esto equivale a nueve 𝑦. Como la cantidad total que puede gastar debe ser menor que 55 libras, sabemos que la suma de estas debe ser menor que 55. El sistema de inecuaciones que representa la situación es 𝑥 es mayor o igual que cinco, 𝑦 es mayor o igual que siete, y seis 𝑥 más nueve 𝑦 es menor que 55.

Los dos problemas siguientes que vamos a ver son más complicados, pues hay más restricciones.

Un profesor dio a sus alumnos 100 minutos para resolver un examen con dos apartados: el apartado A y el apartado B. Los alumnos tenían que responder al menos a cuatro cuestiones del apartado A y al menos a seis cuestiones del apartado B y responder al menos 11 preguntas en total. Sabiendo que una alumna en particular respondió cada cuestión en el apartado A en tres minutos y cada cuestión en el apartado B en seis minutos, escribe el sistema de inecuaciones que sirve para hallar cuántas cuestiones trató de resolver en cada apartado. Usa 𝑥 para representar el número de cuestiones respondidas en el apartado A y 𝑦 para representar el número de cuestiones respondidas en el apartado B.

Se nos dice que un examen tiene dos apartados, A y B. Y denotamos con 𝑥 el número de cuestiones respondidas del apartado A y con 𝑦 el número de cuestiones respondidas en el apartado B. Se nos dice, además, que un alumno debe responder al menos a cuatro cuestiones en el apartado A. Por lo tanto, 𝑥 debe ser mayor o igual que cuatro. También se nos dice que un alumno debe responder al menos a seis cuestiones en el apartado B. Así que 𝑦 debe ser mayor o igual que seis. Como cualquier alumno también debe responder al menos 11 cuestiones en total, 𝑥 más 𝑦 debe ser mayor o igual que 11.

Se nos dice, además, que hay una limitación de tiempo de 100 minutos. Y sabemos que una alumna respondió a cada cuestión en el apartado A en tres minutos. Y respondió a cada cuestión a en el apartado B en seis minutos. Esto significa que el tiempo total que dedicó a responder cuestiones puede escribirse como la expresión tres 𝑥 más seis 𝑦. Y como la duración total del examen fue de 100 minutos, esto debe ser menor o igual a 100. El sistema de inecuaciones que sirve para hallar cuántas cuestiones ha intentado resolver la alumna en cada apartado es 𝑥 mayor o igual que cuatro, 𝑦 mayor o igual que seis, 𝑥 más 𝑦 mayor o igual que 11, y tres 𝑥 más seis 𝑦 menor o igual que 100.

Veamos una última cuestión.

Una fábrica de alimentos para bebés produce dos tipos de alimentos para bebés. El primer tipo contiene dos unidades de vitamina A y tres unidades de vitamina B por gramo. El segundo tipo contiene tres unidades de vitamina A y dos unidades de vitamina B por gramo. Suponiendo que un bebé necesita al menos 100 unidades de vitamina A y 120 unidades de vitamina B al día, escribe un sistema de inecuaciones que sirva para determinar los alimentos de cada tipo que el bebé debe consumir cada día para cumplir con estos requisitos. Usa 𝑥 para representar la cantidad en gramos del primer tipo de comida para bebé y 𝑦 para representar la cantidad en gramos del segundo tipo de comida para bebé.

En esta pregunta, se nos dice que una fábrica produce dos tipos de alimentos para bebés. Usamos 𝑥 para denotar la cantidad del primer tipo de comida para bebés y 𝑦 para denotar la cantidad del segundo tipo de alimento. Como estas cantidades están expresadas en gramos, sabemos que tanto 𝑥 como 𝑦 deben ser valores no negativos. Por lo tanto, 𝑥 es mayor o igual que cero, y 𝑦 es mayor o igual que cero. Sabemos que el primer tipo de comida para bebés contiene dos unidades de vitamina A por gramo y el segundo tipo contiene tres unidades de vitamina A por gramo. Como también se nos dice que un bebé necesita al menos 100 unidades de vitamina A al día, sabemos que dos 𝑥 más tres 𝑦 debe ser mayor o igual que 100.

Podemos hallar una inecuación similar para la vitamina B. El primer tipo de comida para bebés contiene tres unidades y el segundo tipo contiene dos unidades. Como un bebé necesita 120 unidades de vitamina B al día, tenemos tres 𝑥 más dos 𝑦 es mayor o igual que 120. Por lo tanto, tenemos un sistema de cuatro inecuaciones que describe la comida que un bebé debe comer cada día. 𝑥 es mayor o igual que cero, 𝑦 es mayor o igual que cero, dos 𝑥 más tres 𝑦 es mayor o igual que 100, y tres 𝑥 más dos 𝑦 es mayor o igual que 120.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En una situación dada, para enunciar un sistema de inecuaciones, debemos denotar cada una de las cantidades con letras tales como 𝑥 o con 𝑦. Si las cantidades son valores que nunca pueden ser negativos, entonces siempre comenzamos con 𝑥 mayor o igual que cero y con 𝑦 mayor o igual que cero. También se nos pueden dar otras restricciones para las cantidades, como un valor mínimo o máximo para cada una. Por ejemplo, 𝑥 es mayor o igual que 10 o 𝑦 es menor o igual que 15. Estas inecuaciones también pueden ser inecuaciones estrictas, como 𝑥 es mayor que 10 o 𝑦 es menor que 15.

Las inecuaciones lineales adicionales se pueden formular a partir de las restricciones dadas para determinadas combinaciones de cantidades, como el tiempo y el costo. Estas pueden escribirse en la forma dos 𝑥 más tres 𝑦 es mayor o igual que 15. También hemos visto que podemos representar cualquiera de estos sistemas de inecuaciones gráficamente. Y aunque no es algo que hemos visto en este vídeo, también conviene saber que podemos resolver estos sistemas de ecuaciones para hallar soluciones óptimas.

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