Vídeo: Interpretar las gráficas de las derivadas

En este vídeo vamos a ver cómo podemos relacionar la gráfica de una función con las gráficas de su primera y segunda derivadas.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a ver cómo podemos relacionar la gráfica de una función con las gráficas de su primera y segunda derivadas. Vamos a ver cómo usar las gráficas de la primera y segunda derivadas de una función para hacer deducciones sobre la gráfica y las propiedades de la función en sí. Para beneficiarte de este vídeo debes estar familiarizado con las características principales de la gráfica de una función, como los mínimos relativos y los máximos relativos. También debes conocer la definición de concavidad de una función y su relación con los puntos de inflexión de una función. Por último, se supone que sabes lo que se entiende por una función creciente o decreciente en un determinado intervalo, aunque vamos a repasar brevemente cada uno de estos conceptos en los siguientes ejemplos.

Vamos a comenzar analizando una función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo más tres 𝑥 al cuadrado menos nueve 𝑥. Podemos usar diferenciación para hallar la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos nueve, y también su segunda derivada, 𝑓 doble prima de 𝑥, que es igual a seis 𝑥 más seis. Ahora vamos a dibujar las gráficas de cada una de estas funciones, tal vez usando una calculadora gráfica para ayudarnos, en caso de ser necesario, para luego analizar lo que nos dicen. Aquí tenemos tres gráficas. La gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es cúbica. La gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 prima de 𝑥 es cuadrática. Y la gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 doble prima de 𝑥 es una línea recta. A partir de la gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, vemos que nuestra función tiene dos puntos críticos, que se dan en los valores de 𝑥 de menos tres y más uno.

En la gráfica de nuestra primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, podemos ver que el valor de 𝑓 prima de 𝑥 es cero en cada uno de esos valores de 𝑥 puesto que la parábola interseca al eje de las 𝑥 en estos dos puntos. Ya sabemos, por nuestra definición de punto crítico, que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cero o no está definida en el punto crítico de la función. Pero, a partir de la gráfica de solo la primera derivada, podríamos haber deducido que la función 𝑓 de 𝑥 tiene puntos críticos. Hay máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión en estos dos valores de 𝑥.

Otra propiedad de la función 𝑓 de 𝑥 que podemos ver a partir de su gráfica es que es, por ejemplo, creciente en el intervalo abierto menos infinito, menos tres. Si nos fijamos en la gráfica de 𝑓 prima de 𝑥, vemos que 𝑓 prima de 𝑥 es siempre positiva en este intervalo ya que la gráfica de 𝑓 prima de 𝑥 está por encima del eje de las 𝑥. Por lo tanto, considerando el signo de 𝑓 prima de 𝑥, es decir, donde la línea está por encima o por debajo del eje 𝑥 en un intervalo determinado, podemos deducir si una función es creciente o decreciente en ese intervalo. Podemos, por lo tanto, deducir si una función es creciente o decreciente a partir de la gráfica de su primera derivada sin necesidad de dibujar la gráfica de la función.

Además, vemos a partir de la gráfica de 𝑓 de 𝑥 que 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 igual a menos uno, pues aquí la concavidad de la gráfica cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Si nos fijamos en las gráficas de 𝑓 prima de 𝑥 y 𝑓 doble prima de 𝑥, vemos que ocurren dos cosas en este punto. En primer lugar, la pendiente de la gráfica de 𝑓 prima de 𝑓 pasa de negativa a positiva. O podemos decir que la primera derivada cambia de decreciente a creciente cuando 𝑥 es igual a menos uno. Esto quiere decir que la segunda derivada pasa de negativa a positiva cuando 𝑥 es igual a menos uno, que es consistente con lo que vemos en la tercera gráfica. La línea rosa está por debajo del eje de las 𝑥 para los valores de 𝑥 menores que menos uno y por encima del eje de las 𝑥 para los valores de 𝑥 mayores que menos uno.

Cuando 𝑥 es igual a menos uno, la línea interseca el eje 𝑥 haciendo que 𝑓 doble prima de menos uno sea igual a cero. Esto, junto con el cambio de signo de 𝑓 doble prima de 𝑥, nuestra segunda derivada, habría sido suficiente para deducir que la gráfica de 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 igual a menos uno, sin necesidad de dibujar las gráficas de 𝑓 de 𝑥 o 𝑓 prima de 𝑥. Por último, también podemos usar la gráfica de nuestra segunda derivada para clasificar los extremos relativos de nuestra función 𝑓. Vemos que el valor de la segunda derivada en 𝑥 igual a menos tres es negativo. Y, por lo tanto, a partir de la regla de la segunda derivada, el punto crítico en 𝑥 igual a menos tres es un máximo relativo, que es consistente con lo que vemos en la gráfica de la función 𝑓.

El valor de 𝑓 doble prima de uno, sin embargo, es positivo. Por lo tanto, de acuerdo con la regla de la segunda derivada, sabemos que el punto crítico en 𝑥 igual a uno es un mínimo relativo que es, de nuevo, consistente con lo que vemos en la gráfica de 𝑓. Vamos a ver ahora cómo aplicar a algunos ejemplos algunos de los principios generales que hemos visto.

Se muestra la gráfica de la primera derivada 𝑓 prima de una función 𝑓. ¿En qué intervalos es 𝑓 cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo?

Comencemos recordando lo que quieren decir estos dos términos, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Si una función es cóncava hacia arriba en un intervalo determinado, esto significa que las tangentes a la gráfica de esa función se encuentran debajo de la curva en ese intervalo determinado. Si dibujamos esas tangentes, podemos ver, además, que la pendiente de las tangentes es creciente. Tal vez esto se vea más claro en el dibujo de la derecha. Pero en el dibujo de la izquierda vemos que las tangentes tienen una pendiente negativa. Y son cada vez menos inclinadas, por lo que los valores son cada vez menos negativos y por lo tanto crecientes.

Así pues, podemos ver una relación entre la concavidad de una función y su primera derivada. Si una función es cóncava hacia arriba, su primera derivada es creciente. Si una función es cóncava hacia abajo, sin embargo, en un intervalo determinado, entonces las tangentes a su gráfica están por encima de la curva en ese intervalo. A partir de este dibujo, podemos ver que la pendiente de la tangente es ahora decreciente. Y, por lo tanto, vemos que cuando una función es cóncava hacia abajo, su primera derivada es decreciente. Esto nos da una pista importante sobre cómo podemos usar la figura que nos dan, que, recordemos, es la gráfica de la primera derivada de esta función, para determinar algo sobre la concavidad de la función.

Para determinar los puntos en los que la función es cóncava hacia arriba, tenemos que ver si la gráfica de la primera derivada es creciente, lo que significa que tendrá una pendiente positiva. Podemos ver que esto ocurre en el intervalo abierto cero, uno, en primer lugar. También vemos que es cierto en el intervalo abierto dos, tres, y en el intervalo abierto cinco, siete. Fijándonos dónde la pendiente de nuestra primera derivada es negativa y por tanto dónde la primera derivada es decreciente, podemos deducir dónde la función 𝑓 es cóncava hacia abajo. En primer lugar, el intervalo abierto uno, dos; el intervalo abierto tres, cinco; y, por último, el intervalo abierto siete, nueve. Así que ya tenemos la solución a nuestro problema.

Debemos tener cuidado y saber exactamente lo que estamos buscando. No estamos buscando el punto en el que la primera derivada es positiva o negativa, sino creciente o decreciente, que se determina no por el signo de la primera derivada, sino por la pendiente de su gráfica.

En nuestro siguiente ejemplo vamos a usar la gráfica de una función para determinar el signo de su primera y segunda derivada.

Se muestra la gráfica de una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, y se pide deducir en qué punto son negativas d𝑦 entre d𝑥 y d dos 𝑦 entre d𝑥 al cuadrado.

Así que tenemos la gráfica de una función. Y se nos pide que la usemos para determinar en cuál de estos cinco puntos son, tanto la primera como la segunda derivada de la función, negativas. Primero, vamos a considerar el signo de la primera derivada d𝑦 entre d𝑥 en cada punto. Recordemos que la primera derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Por lo tanto, dibujando las tangentes a la curva en cada punto, podremos determinar el signo de su primera derivada.

Vemos que en el punto 𝐴 la tangente está inclinada hacia abajo. Por lo tanto, la primera derivada, d𝑦 entre d𝑥, es sin duda negativa en el punto 𝐴. Sin embargo, en los puntos 𝐵 y 𝐶, las tangentes están inclinadas hacia arriba, lo que nos dice que la primera derivada d𝑦 entre d𝑥 será positiva tanto en 𝐵 como en 𝐶. En el punto 𝐷 la tangente a la curva es horizontal. Así que la primera derivada será igual a cero, no negativa en este punto. Por último, en el punto 𝐸 podemos ver que la tangente está inclinada hacia abajo. Así que la primera derivada también será negativa en el punto 𝐸. De este modo, solo nos quedan dos opciones, 𝐴 y 𝐸. Ahora tenemos que considerar el signo de la segunda derivada en cada uno de estos puntos. Y esto está relacionado con la concavidad de la curva en cada punto.

Recordemos que la curva es cóncava hacia abajo en un intervalo determinado si las tangentes a la curva en este intervalo se encuentran por encima de la curva. También podemos ver que cuando una curva es cóncava hacia abajo, la pendiente de su tangente es decreciente. Y, por lo tanto, su primera derivada también es decreciente. Cuando una función es decreciente, entonces su derivada es negativa. Y, como la derivada de la primera derivada es la segunda derivada, cumple que d dos 𝑦 entre d𝑥 al cuadrado será menor que cero cuando una curva es cóncava hacia abajo.

Esto no se nos pide aquí, pero una curva es cóncava hacia arriba cuando lo contrario es cierto. Las tangentes a la gráfica se encuentran por debajo de la gráfica. La primera derivada es creciente y, por lo tanto, la segunda derivada es positiva. Considerando la gráfica de 𝑓 de 𝑥, podemos ver que la tangente que trazamos en el punto 𝐸 se encuentra por encima de la curva. Y, por lo tanto, la forma de la curva es cóncava hacia abajo en esta región. Sin embargo, si nos fijamos en el punto 𝐴, la tangente que hemos trazado aquí está por debajo de la curva. Y, por lo tanto, la gráfica es cóncava hacia arriba en el punto 𝐴. Esto nos dice que, por lo tanto, la segunda derivada será negativa en el punto 𝐸, mientras que será positiva en el punto 𝐴.

Solo nos queda un punto en el que tanto la primera como la segunda derivada son negativas. Es el punto 𝐸. Hemos visto en este ejemplo cómo deducir algo sobre la primera y la segunda derivadas de una función a partir de una gráfica de la función.

Ahora vamos a pensar cómo podemos deducir algo sobre la gráfica de una función a partir de una gráfica de su segunda derivada.

A partir de la gráfica de una función 𝑓 doble prima que se muestra, halla las coordenadas 𝑥 de los puntos de inflexión de 𝑓.

Tenemos la gráfica de la segunda derivada de una función y el problema nos pide que la usemos para determinar algo sobre la función. Primero debemos recordar que, en un punto de inflexión, la segunda derivada 𝑓 doble prima de 𝑥 es igual a cero. Ahora bien, esta no es una condición suficiente para que un punto sea un punto de inflexión, y también es posible que la segunda derivada sea cero en un mínimo relativo o en un máximo relativo. Pero sí nos da un punto de partida. A partir de la siguiente figura, podemos ver que 𝑓 doble prima de 𝑥 es igual a cero en tres puntos, donde 𝑥 es igual a uno, donde 𝑥 es igual a cuatro y donde 𝑥 es igual a siete. Así que estas son las 𝑥 abscisas de tres posibles puntos de inflexión de nuestra función 𝑓.

Ahora vamos a determinar lo que sabemos sobre los puntos de inflexión. Hay puntos en la gráfica de una función en los que su concavidad cambia, o bien pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o viceversa. También recordamos que cuando una función es cóncava hacia abajo, su segunda derivada, 𝑓 doble prima de 𝑥, es negativa. Y cuando una función es cóncava hacia arriba, su segunda derivada es positiva. Y en el punto de inflexión en sí, 𝑓 doble prima de 𝑥 es igual a cero, que es lo que hemos usado para determinar nuestros posibles puntos de inflexión. Pero la clave es que, cuando hay un cambio en la concavidad, también habrá un cambio en el signo de la segunda derivada. A partir de la siguiente figura, podemos ver que el signo de la segunda derivada pasa de negativo a positivo cuando 𝑥 es igual a uno y de positivo a negativo cuando 𝑥 es igual a siete.

Sin embargo, en ambos lados de 𝑥 igual a cuatro la segunda derivada es positiva y, así, no se produce ningún cambio de signo aquí. Por lo tanto, no hay cambio en la concavidad de la función en 𝑥 igual a cuatro, pero sí lo hay en 𝑥 igual a uno y 𝑥 igual a siete. Así que podemos concluir que nuestra función 𝑓 tiene puntos de inflexión en 𝑥 igual a uno y 𝑥 igual a siete.

En nuestro último ejemplo vamos a ver cómo determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo dado usando una gráfica de su primera derivada.

A continuación se muestra la gráfica de la derivada 𝑓 prima de una función 𝑓. ¿En qué intervalos es 𝑓 creciente y en cuáles es decreciente?

Para responder a esta pregunta, tenemos que recordar la relación entre el crecimiento o decrecimiento de una función y su primera derivada. Formalmente, se dice que una función es creciente en un intervalo 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 uno es menor que 𝑓 de 𝑥 dos para todos los pares de valores de 𝑥, 𝑥 uno y 𝑥 dos, siendo 𝑥 uno menor que 𝑥 dos en el intervalo 𝐼. En la práctica, sin embargo, esto tan solo significa que la gráfica de la función está inclinada hacia arriba. Y, por lo tanto, su primera derivada, que, recordemos, es la pendiente de la curva, es positiva. Por otro lado, una función es decreciente en un intervalo 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 uno es mayor que 𝑓 de 𝑥 dos para 𝑥 uno menor que 𝑥 dos en el intervalo 𝐼, que, en términos prácticos, significa que la línea está inclinada hacia abajo. Y, por lo tanto, la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es negativa.

Para determinar los intervalos en los que una función cualquiera es creciente o decreciente, tan solo tenemos que considerar el signo de su primera derivada. Así que la función 𝑓 será creciente cuando la gráfica de su primera derivada 𝑓 prima esté por encima del eje de las 𝑥. A partir de la siguiente figura, podemos ver que esto se cumple en el intervalo abierto uno a cinco. 𝑓 será decreciente cuando la gráfica de su primera derivada esté por debajo del eje de las 𝑥. A partir de la figura podemos ver que esto se cumple en dos intervalos abiertos, el intervalo cero, uno y el intervalo cinco, seis. Así que podemos concluir, entonces, que 𝑓 es creciente en el intervalo abierto uno a cinco y decreciente en los intervalos abiertos cero a uno y cinco a seis.

En este video hemos visto cómo usar las gráficas de la primera y segunda derivada de una función para hacer deducciones sobre las características principales de la función, y también hemos aprendido cómo usar la gráfica de una función para hacer deducciones sobre su primera y segunda derivadas. Hemos visto que, cuando la primera derivada de una función es igual a cero, la función tiene un punto crítico. Y, por lo tanto, podemos determinar los valores de 𝑥 de los puntos críticos de la función a partir de una gráfica de su primera derivada. Basta con fijarse, para ello, en dónde interseca esta gráfica el eje de las 𝑥. También sabemos que el signo de la primera derivada determina si una función es creciente o decreciente en un intervalo dado. Por lo tanto, fijándonos en si la gráfica de la primera derivada está por encima o por debajo del eje de las 𝑥 en un intervalo dado, podemos determinar si la función es creciente o decreciente.

También hemos visto que podemos usar la gráfica de la segunda derivada de una función para determinar si la función tiene puntos de inflexión. En los puntos de inflexión, la segunda derivada es igual a cero. Pero también tiene que haber un cambio en el signo de la segunda derivada, reflejando un cambio en la concavidad de la función. Fijándonos en dónde es igual a cero la gráfica de la segunda derivada y si tiene un cambio de signo en su valor, podemos determinar las coordenadas 𝑥 de cualquier punto de inflexión de la función. Por lo tanto, si entendemos las relaciones entre la gráfica de una función y la de sus derivadas, seremos capaces de obtener mucha información sobre la función sin necesidad de dibujar su gráfica. Y seremos capaces también de usar la gráfica de una función para determinar las características principales de sus derivadas.

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