Vídeo: Primitivas o antiderivadas de una función

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la primitiva o antiderivada de una función. Una primitiva de una función (𝑥) es toda función 𝐹(𝑥) tal que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

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Transcripción del vídeo

Primitivas o antiderivadas

Seguro que ya sabes cómo calcular las derivadas de diversas funciones. Y que conoces sus distintas aplicaciones. En este vídeo vamos a formular una pregunta que va a servir para dar la vuelta a este proceso. Dada una función 𝑓, ¿cómo hallamos una función cuya derivada sea 𝑓? ¿Y por qué querríamos hallar dicha función?

La respuesta a la primera pregunta es la primitiva o antiderivada. Y la pregunta fue: dada una función 𝑓, ¿cómo hallamos una función cuya derivada es 𝑓? Una primitiva o antiderivada de una función 𝑓 es una función que tiene a 𝑓 como derivada. Es decir, es una función que invierte la acción de la derivada. Pensemos en la función 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥. Hallar la primitiva de esta función, significa hallar una función cuya derivada es dos 𝑥. Como sabemos, cuando hallamos la derivada de 𝑥 al cuadrado, obtenemos dos 𝑥. Y eso significa que la antiderivada de dos 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Sin embargo, 𝑥 al cuadrado no es la única primitiva de dos 𝑥. 𝑥 al cuadrado más uno es también una primitiva de dos 𝑥. Esto se debe a que la derivada de una constante es cero. Teniendo esto en cuenta, decimos que la antiderivada de dos 𝑥 es 𝑥 al cuadrado más 𝑐, donde 𝑐 es cualquier valor constante.

Bien, veamos ahora por qué nos puede interesar hacer algo así. Vamos a pensar en lo que sabemos sobre el movimiento. Si comenzamos con la posición de un objeto que está descrita por la función 𝑠 de 𝑡, podemos hallar la velocidad de ese objeto, 𝑣 de 𝑡, hallando la derivada de la función de posición. Y, si tomamos la derivada de la función de velocidad, obtenemos la aceleración del objeto, 𝑎 de 𝑡. Pero, ¿y si queremos ir en el otro sentido? Digamos que sabemos cuál es nuestra aceleración y queremos hallar la posición, entonces necesitamos la primitiva. Este es solo uno de los muchísimos casos en los que necesitamos la primitiva. Bien, continuemos y veamos algunos ejemplos en los que debemos hallar la antiderivada.

Halla la antiderivada más general 𝐹 mayúscula de 𝑥 de la función 𝑓 minúscula de 𝑥 igual a dos 𝑥 elevado a siete menos tres 𝑥 elevado a cinco menos 𝑥 al cuadrado.

Para resolver este problema, vamos a hallar la primitiva de cada uno de los términos por separado. Queremos hallar la primitiva de dos por 𝑥 elevado a siete. Queremos saber qué función, cuando hallamos la derivada, es igual a dos por 𝑥 elevado a siete. Pero para 𝑥 elevado a 𝑎, podemos hallar la antiderivada haciendo 𝑥 elevado a 𝑎 más uno partido por 𝑎 más uno. Y luego, en la forma general, sumamos 𝑐 para representar una constante. Aplicamos esto a dos por 𝑥 elevado a siete. Dejamos dos a un lado, y obtenemos 𝑥 elevado a siete más uno y lo dividimos por siete más uno.

La primitiva de dos por 𝑥 elevado a siete es dos por 𝑥 elevado a ocho partido por ocho. Simplificamos esto a uno sobre cuatro. Dos por 𝑥 elevado a siete tiene una antiderivada de 𝑥 a la octava sobre cuatro. Repetimos este proceso con menos tres 𝑥 a la quinta. Mantenemos el menos tres y hacemos 𝑥 elevado a cinco más uno todo partido entre cinco más uno. Menos tres por 𝑥 elevado a seis sobre seis, que se simplifica a 𝑥 elevado a seis sobre dos. Y nos aseguramos de mantener el signo menos.

Repetimos el proceso una vez más. Estamos operando con menos 𝑥 al cuadrado, así que sacamos menos uno. Así que tenemos menos uno por 𝑥 al cuadrado más uno partido por dos más uno, que es menos 𝑥 al cubo sobre tres. Como estamos buscando la forma más general, no podemos olvidarnos de esta constante. Lo que hace que nuestra antiderivada 𝐹 de 𝑥 sea igual a 𝑥 elevado a ocho sobre cuatro menos 𝑥 elevado a seis sobre dos menos 𝑥 al cubo sobre tres más 𝑐.

Ahora vamos a ver un ejemplo en el que no buscamos la forma más general.

Determina la primitiva 𝐹 mayúscula de la función 𝑓 minúscula de 𝑥 igual a cinco 𝑥 elevado a cuatro más cuatro 𝑥 al cubo, tal que 𝐹 mayúscula de uno es igual a menos dos.

Antes de hacer nada más, vamos a hallar la primitiva general. Así que vamos a seguir el mismo proceso que hemos seguido en el ejemplo anterior. Sacamos la constante, sumamos uno al exponente, y dividimos por el valor del nuevo exponente. En este caso, obtenemos cinco por 𝑥 a la quinta entre cinco. Y lo simplificamos a 𝑥 a la quinta. Ahora, para el segundo término, sacamos el cuatro, transformamos 𝑥 al cubo en 𝑥 a la cuarta, y dividimos por cuatro. Esto se simplifica a 𝑥 a la cuarta. El cuatro en el numerador y el cuatro en el denominador se cancelan.

Si queremos hallar la forma general, sumamos una constante 𝑐. Y decimos que 𝐹 mayúscula de 𝑥 es igual a 𝑥 a la quinta más 𝑥 a la cuarta más 𝑐. Queremos calcular 𝐹 de uno para ayudarnos a hallar el valor de 𝑐. 𝐹 de uno es igual a menos dos. Uno a la quinta más uno a la cuarta. Uno más uno es dos. Por lo tanto, dos más 𝑐 tiene que ser igual a menos dos. Restamos dos a ambos lados. Y vemos que la constante es menos cuatro. Tomamos esa información y la sustituimos en la expresión de la antiderivada general. La primitiva que buscábamos es 𝑥 a la quinta más 𝑥 a la cuarta menos cuatro.

Sabiendo que la segunda derivada de 𝑓 de 𝑥 es igual a tres 𝑥 a la quinta más tres 𝑥 al cubo más cinco 𝑥 al cuadrado más dos, halla 𝑓 de 𝑥.

Como tenemos una segunda derivada, si hallamos la primitiva, obtendremos la primera derivada de 𝑓 de 𝑥. Y si luego hallamos la antiderivada de esa función obtendremos la función 𝑓 de 𝑥 que se nos pide. El proceso que vamos a seguir va a ser el mismo que el de los ejemplos anteriores. Pero vamos a hacerlo dos veces. Hallamos la antiderivada de tres 𝑥 a la quinta, y obtenemos tres por 𝑥 a la sexta partido por seis. Y el segundo término, tres por 𝑥 al cubo, tiene una antiderivada de tres por 𝑥 a la cuarta sobre cuatro. Cinco 𝑥 al cuadrado se convierte en cinco 𝑥 al cubo sobre tres. Y la antiderivada de dos es dos 𝑥. Nos aseguramos de sumar la constante.

Bien, ya tenemos la primera derivada de esta función. Y podríamos simplificar algunos de los coeficientes aquí. Sin embargo, como vamos a volver a hallar aún la antiderivada, vamos a esperar a simplificar en el último paso. Ahora necesitamos la primitiva de tres por 𝑥 a la sexta partido por seis. Tres sextos por 𝑥 a la séptima sobre siete. Tres cuartos por 𝑥 a la cuarta es tres cuartos por 𝑥 elevado a cinco sobre cinco. Cinco tercios por 𝑥 al cubo. Cinco tercios por 𝑥 a la cuarta sobre cuatro. Dos 𝑥 se convierte en dos por 𝑥 al cuadrado sobre dos. La primitiva de una constante es esa constante por 𝑥. Y necesitamos una constante adicional al final, que vamos a llamar 𝐷.

Ya hemos hallado 𝑓 de 𝑥, pero queremos simplificarla. Simplificamos tres sobre seis a un medio. Y obtenemos 𝑥 elevado a siete sobre 14. Multiplicamos los denominadores del segundo término. Y obtenemos tres por 𝑥 a la quinta sobre 20. El tercer término es cinco por 𝑥 a la cuarta partido por 12. En el cuarto término, los doses se cancelan y nos queda 𝑥 al cuadrado. Los dos últimos términos, 𝑐𝑥 más 𝐷 no pueden simplificarse más. Lo que significa que la primitiva general de la función que tenemos es 𝑥 a la séptima partido por 14 más tres por 𝑥 a la quinta partido por 20 más cinco por 𝑥 a la cuarta entre 12 más 𝑥 al cuadrado más 𝑐𝑥 más 𝐷.

En los dos últimos ejemplos vamos a ver lo que a primera vista pueden parecer casos complicados.

Determina la función primitiva 𝐹 mayúscula de 𝑥 más general de la función 𝑓 minúscula sabiendo que 𝑓 minúscula de 𝑥 es igual a cinco partido por dos más cuatro sobre 𝑥.

Este primer término, cinco sobre dos es un término constante. Y hallamos su antiderivada obteniendo cinco sobre dos por 𝑥. Puede que a primera vista no sepamos qué hacer con cuatro sobre 𝑥. Pero, ¿y si lo escribimos así, cuatro por uno sobre 𝑥? Pues ¿qué función tiene una derivada de uno sobre 𝑥? El logaritmo neperiano de 𝑥 tiene una derivada de uno sobre 𝑥. Esto significa que la primitiva de cuatro por uno sobre 𝑥 va a ser cuatro por el logaritmo neperiano de 𝑥. Pues cuatro por el logaritmo neperiano de 𝑥 tiene una derivada de cuatro por uno sobre 𝑥. Así que es cuatro por el logaritmo neperiano de 𝑥. Y, como nos interesa la forma general, tenemos que sumar una constante 𝑐. 𝐹 mayúscula de 𝑥 es igual a cinco sobre dos 𝑥 más cuatro por el logaritmo neperiano de 𝑥 más 𝑐.

Teniendo en cuenta la regla del producto, halla la función 𝑓 tal que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 más dos por 𝑒 elevado a 𝑥 multiplicado por la raíz cuadrada de 𝑥.

En primer lugar, vamos a recordar la regla del producto para derivadas. Esta regla dice que la derivada de la función 𝑓 de 𝑥 por la función 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 por la derivada de 𝑔 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥 por la derivada de 𝑓 de 𝑥. Antes de hallar 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥, vamos a reescribir la función. Tenemos 𝑓 prima de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Y sabemos que está multiplicada por uno partido por la raíz cuadrada de 𝑥. Podemos expresar esto como 𝑥 elevado a menos un medio. Esto es 𝑒 elevado a 𝑥 por 𝑥 elevado a menos un medio más dos por 𝑒 elevado a 𝑥 por 𝑥 elevado a un medio.

Sabemos que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Si 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥, entonces 𝑓 prima de 𝑥 también es igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Esto quiere decir que 𝑥 elevado a menos un medio es igual a 𝑔 prima de 𝑥. Y, por lo tanto, 𝑔 de 𝑥 es igual a dos por 𝑥 elevado a un medio. 𝑔 de 𝑥 es igual a dos por 𝑥 elevado a un medio. Comprobamos esa derivada y obtenemos dos por un medio por 𝑥 elevado a un medio menos uno, que es 𝑥 elevado a menos un medio. Pero, ¿qué significa esto para nosotros? En la regla del producto este valor es la derivada de 𝑓 de 𝑥 por 𝑔 de 𝑥. Y eso significa que la primitiva va a ser 𝑓 de 𝑥 por 𝑔 de 𝑥. Hemos hallado 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥, por lo que la primitiva es igual a dos por 𝑥 elevado a un medio por 𝑒 elevado a 𝑥. Y podemos volver a expresarlo en la forma en la que se nos ha dado. Dos por la raíz cuadrada de 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑥.

Vamos a resumir brevemente lo que hemos aprendido sobre las primitivas o antiderivadas. Si tenemos una función 𝑓 prima de 𝑥, su primitiva o antiderivada es la función 𝑓 de 𝑥 cuya derivada es 𝑓 prima de 𝑥. En el primer ejemplo hemos visto que, cuando 𝑓 prima de 𝑥 es igual a dos 𝑥, la primitiva es 𝑥 al cuadrado más una constante 𝑐. Y 𝑥 al cuadrado más una constante 𝑐, si calculamos la derivada, es dos 𝑥.

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