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Vídeo de la lección: Trigonometría de triángulos rectángulos: cálculo de ángulos Matemáticas • Undécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo calcular un ángulo en un triángulo rectángulo utilizando la función trigonométrica inversa apropiada conocidas las longitudes de dos lados.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo calcular un ángulo en un triángulo rectángulo utilizando la función trigonométrica inversa apropiada conocidas las longitudes de lados.

Comencemos repasando algo del vocabulario relacionado con los triángulos rectángulos. Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con uno de los ángulos no rectos etiquetado como 𝜃. Los lados del triángulo tienen nombres específicos en relación con este ángulo. El lado del triángulo que está directamente opuesto al ángulo recto, que siempre es el lado más largo de un triángulo rectángulo, se llama hipotenusa. En relación con el ángulo 𝜃, el lado directamente opuesto a este ángulo se llama cateto opuesto. Y el otro lado del triángulo, el que está entre el ángulo 𝜃 y el ángulo recto, se llama cateto contiguo o cateto adyacente. A menudo veremos los nombres de estos tres lados abreviados como O, A y H.

Las tres razones trigonométricas seno, coseno y tangente son los valores de los cocientes entre diferentes pares de longitudes de lados de un triángulo rectángulo. Para un valor fijo de 𝜃, la razón entre las longitudes de cada par es siempre la misma, sin importar lo grande que sea el triángulo. Podemos usar el acrónimo SOH CAH TOA para recordar las definiciones de las tres razones trigonométricas. La primera letra en cada parte se refiere a la razón trigonométrica que se aplica: seno, coseno o tangente. Y luego las siguientes dos letras se refieren al par de lados involucrados en esta razón particular, con el lado en el numerador primero, seguido por el lado en el denominador. Así que sen 𝜃 es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa. cos de 𝜃 es el cateto adyacente o cateto contiguo dividido por la hipotenusa. Y la tangente o tan de 𝜃 es el cateto opuesto dividido por el cateto adyacente.

Para mejor aprovechar este video, conviene estar familiarizados con el uso de estas tres razones trigonométricas para calcular la longitud de un lado en un triángulo rectángulo, conocida la longitud de uno de los otros dos lados y la medida de uno de los ángulos agudos. En este video, nos vamos a enfocar en hallar la medida de un ángulo conocidas las longitudes de dos de los lados del triángulo. Para hacer esto, vamos a usar las funciones trigonométricas inversas. Estas son esencialmente las funciones que deshacen lo que hacen las funciones seno, coseno y tangente. Las escribimos usando el superíndice menos uno, y las leemos como las funciones seno inverso, coseno inverso y tangente inversa. También se conocen como las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente.

Es importante no olvidar que este superíndice de menos uno no significa el recíproco. El inverso sen de 𝑥 no es lo mismo que uno sobre sen 𝑥. Estas funciones trigonométricas inversas son otra forma de expresar la relación entre un ángulo y los valores de sus tres razones trigonométricas. Su interpretación es la siguiente. Si un valor 𝑥 es tal que 𝑥 es igual a sen de 𝜃, entonces podemos expresar esta relación de manera equivalente escribiendo que 𝜃 es igual a sen inverso de 𝑥. Del mismo modo, si un valor 𝑦 es tal que 𝑦 es igual a cos de 𝜃, entonces 𝜃 es igual a cos inverso de 𝑦. Y si hay valor 𝑧 es tal que 𝑧 es igual a tan de 𝜃, entonces 𝜃 es igual a tan inversa de 𝑧.

Si conocemos el valor de una de las tres razones trigonométricas, el valor de 𝑥, 𝑦 o 𝑧, podemos trabajar al revés para hallar el ángulo asociado con esta razón, aplicando para ello una función trigonométrica inversa. Para encontrar estas funciones en nuestras calculadoras, generalmente tenemos que presionar SHIFT y luego el botón sen, cos o tan para obtener la inversa de cada función. Vamos a comenzar con un ejemplo de cómo podemos usar estas funciones para hallar la medida de un ángulo conocidas las longitudes de dos lados en un triángulo rectángulo.

Para la siguiente figura, halla la medida del ángulo 𝐵𝐴𝐶 en grados con dos cifras decimales.

Comencemos identificando el ángulo 𝐵𝐴𝐶 en el diagrama. Es el ángulo que se forma cuando nos desplazamos de 𝐵 a 𝐴 a 𝐶, así que es este ángulo de aquí. Podemos denotar este ángulo con la letra griega 𝜃 si lo deseamos. Vemos que el triángulo que nos dan es un triángulo rectángulo, en el que conocemos las longitudes de dos de los lados, y queremos calcular la medida de un ángulo. Por lo tanto, podemos abordar este problema usando trigonometría de triángulos rectángulos.

Vamos a comenzar nombrando a cada uno de los tres lados del triángulo en relación con este ángulo 𝜃. El lado más largo del triángulo, que es el lado directamente opuesto al ángulo recto, es la hipotenusa. El lado opuesto a este ángulo 𝜃, que es el lado 𝐵𝐶, es el cateto opuesto. Y el lado entre el ángulo 𝜃 y el ángulo recto, el lado 𝐴𝐵, es el cateto contiguo o cateto adyacente. Para ayudarnos a decidir cuál de las tres razones trigonométricas necesitamos en esta cuestión, podemos recordar el acrónimo SOH CAH TOA. Las longitudes de dos lados que nos han dado para este triángulo son el cateto opuesto y el cateto contiguo o cateto adyacente. Lo que indica que necesitamos usar la razón de la tangente.

Para un ángulo 𝜃 en un triángulo rectángulo, tan del ángulo 𝜃 es igual a la longitud del lado opuesto dividido por la longitud del adyacente. Así que, en este triángulo, la tangente del ángulo 𝜃 es igual a siete partido por cinco. Para hallar el valor de 𝜃, necesitamos aplicar la función inversa de la tangente. Tenemos que 𝜃 es igual a la inversa de tangente de siete sobre cinco. Podemos evaluar esto en nuestras calculadoras. Por lo general, necesitamos presionar SHIFT y luego la función tan para que aparezca la función tangente inversa.

Nos han pedido que demos nuestra respuesta en grados, por lo que también debemos asegurarnos de que nuestra calculadora esté en modo de grados. Evaluar tan inversa de siete sobre cinco da 54.4623 etcétera. La cuestión especifica que debemos dar nuestra respuesta con dos cifras decimales. Y como el dígito en el tercer lugar decimal es un dos, redondeamos hacia abajo a 54.46. Al aplicar la función tangente inversa, hallamos que la medida del ángulo 𝐵𝐴𝐶 en grados con dos cifras decimales es 54.46 grados.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a hallar ambos ángulos desconocidos en un triángulo rectángulo usando dos funciones trigonométricas inversas diferentes.

Para la figura dada, halla las medidas del ángulo 𝐴𝐵𝐶 y del ángulo 𝐴𝐶𝐵 en grados con dos cifras decimales.

Mirando el diagrama, vemos que tenemos un triángulo rectángulo en el que conocemos las longitudes de dos lados. Por lo tanto, podemos abordar este problema usando trigonometría de triángulos rectángulos. Nuestro primer paso en un problema como este es nombrar los lados del triángulo. Pero para hacer esto, necesitamos saber con respecto a qué ángulo estamos etiquetando los lados. Calculemos primero, pues, el ángulo 𝐴𝐵𝐶, así que podemos etiquetar este ángulo como 𝜃. El lado directamente opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. El lado entre este ángulo y el ángulo recto es el cateto adyacente o cateto contiguo. Y el lado final, el lado más largo, que siempre está directamente opuesto al ángulo recto, es la hipotenusa.

Para decidir cuál de las tres razones trigonométricas necesitamos usar, podemos usar el acrónimo SOH CAH TOA. Con relación al ángulo 𝐴𝐵𝐶 o ángulo 𝜃, los dos lados cuya longitud nos han dado son el cateto contiguo y la hipotenusa. Por lo tanto, necesitamos la razón coseno. Para un ángulo 𝜃 en un triángulo rectángulo, el coseno del ángulo 𝜃 se define como igual a la longitud del cateto adyacente o cateto contiguo dividido por la longitud de la hipotenusa. Así que, sustituyendo las longitudes que conocemos, tenemos que el coseno de 𝜃 es igual a cuatro novenos. Para hallar el valor de 𝜃, necesitamos aplicar la función coseno inverso. Esta es la función que responde la pregunta de que, si cos de 𝜃 es cuatro novenos, ¿cuál es el valor de 𝜃?

Podemos evaluar esto en nuestras calculadoras, generalmente presionando shift y luego el botón cos para que aparezca la función coseno inversa. Y nos da 63.6122 etcétera. La cuestión dice que debemos dar nuestra respuesta con dos cifras decimales, por lo que redondeamos a 63.61 grados. A continuación, necesitamos calcular la medida del ángulo 𝐴𝐶𝐵, que podemos etiquetar en nuestro diagrama como ángulo 𝛼. Y, por supuesto, podríamos calcular este ángulo, usando el hecho de que los ángulos en un triángulo suman 180 grados. Sin embargo, vamos a calcular este ángulo usando trigonometría y luego verificaremos nuestra respuesta sumando los tres ángulos.

Ahora es importante, porque estamos calculando un ángulo diferente, volver a etiquetar los lados del triángulo. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre el mismo lado. Es el lado directamente opuesto al ángulo recto. Pero el cateto adyacente y el cateto opuesto deben estar marcados en relación con el ángulo que habíamos calculado antes. El cateto opuesto es el lado directamente opuesto a este ángulo. Por lo tanto, en relación con el ángulo 𝛼, el cateto opuesto es el lado 𝐴𝐵 Y luego, en relación con el ángulo 𝛼, el cateto contiguo o cateto adyacente es el lado 𝐴𝐶.

Vemos que en relación con el ángulo 𝛼, es el opuesto y la hipotenusa cuyas longitudes conocemos. Así que, esta vez, necesitamos usar la razón seno. Para un ángulo 𝛼 en un triángulo rectángulo, sen de 𝛼 es igual a la longitud del cateto opuesto dividido por la longitud de la hipotenusa. Así que esta vez, tenemos que sen de 𝛼 es igual a cuatro novenos. Para hallar el valor de 𝛼, necesitamos aplicar la función seno inverso, dando 𝛼 igual al seno inverso de cuatro novenos. Evaluando esto en una calculadora, que debe estar en modo de grados, nos da 26.3877 etcétera, y esto se redondea a 26.39 con dos cifras decimales.

Podemos verificar nuestra respuesta sumando las medidas de los tres ángulos en el triángulo y confirmando que esto es igual a 180 grados. Por lo tanto, aplicando dos razones trigonométricas diferentes y luego sus funciones trigonométricas inversas, hemos hallado que la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶 es 63.61 grados y la medida del ángulo 𝐴𝐶𝐵 es 26.39 grados, cada una con dos cifras decimales.

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, hemos hallado uno o dos ángulos faltantes en un triángulo rectángulo usando las funciones trigonométricas inversas. A veces nos pueden pedir que vayamos más allá y encontremos todos las medidas incógnitas de los ángulos y todas las longitudes incógnitas de los lados en un triángulo rectángulo. A esto se le llama resolver un triángulo. Y vamos a practicar esto en nuestro siguiente ejemplo.

𝐴𝐵𝐶 es un triángulo con un ángulo recto en 𝐵, donde 𝐵𝐶 es igual a 10 centímetros y 𝐴𝐶 es igual a 18 centímetros. Halla la longitud 𝐴𝐵, dando la respuesta al centímetro más cercano, y la medida de los ángulos 𝐴 y 𝐶, dando la respuesta al grado más cercano.

Comencemos dibujando este triángulo, que según nos dicen es un triángulo rectángulo en 𝐵. La longitud de 𝐵𝐶 es 10 centímetros y la longitud de 𝐴𝐶 es 18 centímetros. Necesitamos hallar las medidas desconocidas de los dos ángulos agudos y la longitud del tercer lado 𝐴𝐵. Comencemos calculando la medida del ángulo 𝐴, que podemos llamar 𝜃 en nuestro diagrama. Como tenemos un triángulo rectángulo en el que conocemos las longitudes de dos lados, podemos calcular la medida de este ángulo usando trigonometría de triángulos rectángulos. Comenzamos nombrando los tres lados del triángulo en relación con este ángulo. 𝐵𝐶 es el cateto opuesto, 𝐴𝐵 es el cateto adyacente o cateto contiguo y 𝐴𝐶 es la hipotenusa.

Recordando el acrónimo SOH CAH TOA, podemos ver que necesitamos usar la razón seno porque las longitudes que nos han dado son el opuesto y la hipotenusa. En relación a un ángulo 𝜃 en un triángulo rectángulo, el seno del ángulo 𝜃 es igual a la longitud del cateto opuesto dividido por la longitud de la hipotenusa. Por lo tanto, para este triángulo, tenemos que seno de 𝜃 es igual a 10 sobre 18. Para hallar el valor de 𝜃, necesitamos aplicar la función seno inverso. Así que tenemos que 𝜃 es igual a la inversa del seno de 10 sobre 18. Evaluando esto en una calculadora, que debe estar en modo de grados, nos da 33.7489 etcétera. Luego, redondeando al grado más cercano, obtenemos 34 grados.

Y hemos hallado la medida del ángulo 𝐴. Ahora veamos cómo podemos hallar la medida del ángulo 𝐶. Si lo deseamos, podemos volver a etiquetar los lados del triángulo en relación con este ángulo. 𝐴𝐵 se convierte en el opuesto y 𝐵𝐶 se convierte en el adyacente. Hecho esto podríamos calcular la medida del ángulo 𝐶 usando la razón del coseno. Sin embargo, es más eficiente recordar que los ángulos en cualquier triángulo suman 180 grados. Así que, para calcular la medida del tercer ángulo en un triángulo, podemos restar las medidas de los otros dos ángulos de 180 grados. Esto nos dice que el ángulo 𝛼 o ángulo 𝐶, al grado más cercano, es 56 grados.

Por último, necesitamos calcular la longitud del lado 𝐴𝐵, lo cual podemos hacer usando otra razón trigonométrica. En relación con el ángulo 𝜃 o ángulo 𝐴 cuya medida conocemos, el lado 𝐴𝐵 es el cateto adyacente o cateto contiguo. Usando la razón del coseno, tenemos que el coseno de 33.7489 etcétera grados es igual a 𝐴𝐵 sobre 18. Multiplicando ambos lados de esta ecuación por 18 obtenemos que 𝐴𝐵 es igual a 18 cos de 33.7489 grados. Y estamos usando el valor no redondeado aquí para mayor precisión. Evaluando esto en una calculadora da 14.9666 etcétera, y redondeando esto al número entero más cercano nos da 15. Tenemos entonces que la longitud de 𝐴𝐵 al centímetro más cercano es 15 centímetros. Y las medidas de los ángulos 𝐴 y 𝐶, cada una al grado más cercano, son 34 grados y 56 grados.

Podemos verificar nuestra respuesta para la longitud de 𝐴𝐵 usando el teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es siempre igual al cuadrado de la hipotenusa. Si tomamos el valor no redondeado de 𝐴𝐵 y lo elevamos al cuadrado y luego sumamos 10 al cuadrado para 𝐵𝐶 al cuadrado, esto nos da 324. El cuadrado de la hipotenusa, que es 18 al cuadrado, también es igual a 324. Y como estos dos valores son iguales, esto confirma que nuestra respuesta para 𝐴𝐵 es correcta. También podríamos haber calculado la longitud de 𝐴𝐵 usando el teorema de Pitágoras y luego verificar nuestra respuesta usando trigonometría.

Resumamos ahora los puntos clave de este video. Cuando trabajamos con triángulos rectángulos, usamos los términos cateto opuesto, cateto adyacente o cateto contiguo, e hipotenusa para referirnos a los lados del triángulo. La hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto y es, además, el lado más largo. El cateto opuesto y el cateto adyacente, o cateto contiguo, se nombran siempre en relación con un ángulo especificado, el cual es a menudo denotado 𝜃. El cateto opuesto es el lado directamente opuesto a este ángulo, y el cateto adyacente o cateto contuiguo es el lado entre este ángulo y el ángulo recto.

El acrónimo SOH CAH TOA puede ayudarnos a recordar las definiciones de las tres razones trigonométricas. sen de 𝜃 es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa, cos de 𝜃 es igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa, y tan de 𝜃 es igual al cateto opuesto sobre el adyacente. Podemos hallar la medida de un ángulo en un triángulo rectángulo conocidas las longitudes de dos lados usando las funciones trigonométricas inversas. Si hay un valor 𝑥 tal que 𝑥 es igual a sen 𝜃, entonces 𝜃 es igual a sen inverso de 𝑥. Si 𝑦 es igual a cos 𝜃, 𝜃 es igual a coseno inverso de 𝑦. Y si 𝑧 es igual a tan de 𝜃, entonces 𝜃 es igual a tan inverso de 𝑧.

Hemos visto que podemos usar las tres funciones trigonométricas y sus inversas para resolver triángulos, lo que significa hallar la longitud de todos los lados desconocidos y las medidas de todos los ángulos desconocidos. Para hacer esto, también podemos hacer uso del teorema de Pitágoras o de la suma de los ángulos en un triángulo, ya sea como un método alternativo o para verificar nuestras respuestas.

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