Vídeo: Hallar el mínimo común múltiplo

Usamos descomposición en factores primos para ayudarnos a hallar el mínimo común múltiplo de dos o tres números. Seleccionando cuidadosamente y multiplicando los factores primos de nuestros números, obtenemos el mínimo común múltiplo.

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Transcripción del vídeo

Veamos el mínimo común múltiplo, qué es y cómo lo hallamos. El mínimo común múltiplo, primero es un múltiplo. Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar este número por un número entero. O dicho de otra manera, es un número que puede dividirse por aquel número sin resto.

Aquí tenemos un puñado de ejemplos de algunos múltiplos. Algunos múltiplos de tres son seis, nueve, 12 y 15. Algunos múltiplos de 12 son 12, 24, 36 y 48.

Pero no estamos solo buscando un múltiplo, estamos buscando algo que es común. Que es compartido por dos o más números. Y también el mínimo, y esto quiere decir, el número más pequeño.

Podemos decir que el mínimo común múltiplo es el número más pequeño que es un múltiplo de dos o más números. Aquí tenemos un ejemplo: halla el mínimo común múltiplo de cuatro y seis. Cuando estamos buscando el mínimo común múltiplo, generalmente escribimos MCM, y, entre paréntesis, escribimos los números de los que queremos hallar el mínimo común múltiplo. Este es el formato en el que usualmente encontraremos el mínimo común múltiplo.

Para resolver este problema debemos hallar la factorización prima de cuatro y seis. Cuatro está hecho de dos veces dos y seis de dos veces tres.

Para que un número sea un múltiplo de cuatro, necesita dos y dos. Es decir que sin importar el número que sea el mínimo común múltiplo, necesita contener dos por dos en él.

Para que un número sea un múltiplo de seis necesita un dos. Y ya hemos incluido un dos, así que no tenemos que añadir otro más. Pero aún no hemos añadido un tres, así que debemos hacerlo, dos por dos por tres será nuestro mínimo común múltiplo de cuatro y seis. Sabemos que este número es un múltiplo de cuatro porque tiene dos por dos en la factorización, y sabemos que será un múltiplo de seis porque tiene tres por dos en la factorización.

De modo que nuestro mínimo común múltiplo aquí es 12. Esto significa que 12 es el múltiplo común más pequeño de cuatro y seis. Tal vez estás pensando que podríamos haber hallado esto sin necesidad de tanta factorización. Es cierto. Hay otra forma de hacerlo.

Podríamos hacer una lista de todos los múltiplos de ambos números y después tratar de hallar el menor. Y es 12. Pero esta no siempre es la mejor forma. Esto se debe a que podemos encontrarnos con un problema como este, el mínimo común múltiplo de 137, 53, y 517. Definitivamente no querríamos empezar esto haciendo un listado de cada uno de los múltiplos. En vez de eso, a menudo es mejor buscar los factores primos y luego hallar el múltiplo.

Hablando de números grandes, aquí tenemos un par que son un poco más grandes. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 39 y 32? Queremos resolver este problema factorizando, así que comencemos. 39 es divisible por tres, 39 es tres por 13. Ambos son números primos así que nos detendremos aquí. 32 es divisible por dos y 16, 16 es dos por ocho, ocho es dos por cuatro y cuatro es dos por dos.

Cuando miramos la factorización de 39 y 32, nos damos cuenta de que no comparten ningún factor común, lo que significa que para hallar un múltiplo que lo sea de ambos, necesitamos multiplicar tres por 13 y dos por dos por dos por dos por dos. Lo que es lo mismo que multiplicar 39 por 32. El mínimo común múltiplo de 39 y 32 es 1248.

Podemos usar el mismo procedimiento que hemos usado para hallar el mínimo común múltiplo de dos números para hallar el de tres. Necesitamos hallar la descomposición en factores primos de estos tres números. Comencemos por el cuatro. Este es dos por dos. Y después el seis, dos por tres. Y finalmente el 49, que es siete por siete.

Sabemos que vamos a necesitar dos por dos. Como ya hemos agregado un dos, ahora solo necesitamos agregar un tres para nuestro seis. Pero los factores de 49 son dos sietes, y tendremos que incluir ambos.

El mínimo común múltiplo de cuatro, seis y 49 es dos por dos por tres por siete por siete para una respuesta final de 588.

Aquí está nuestro último ejemplo, la Copa Mundial de la FIFA se lleva a cabo cada cuatro años y el censo de EE se lleva a cabo cada diez años, y ambos tuvieron lugar en 2010. ¿Cuál será el siguiente año en que ambas actividades volverán a suceder? Saquemos la información clave aquí, la Copa Mundial tiene lugar cada cuatro años y el censo de los Estados Unidos se realiza cada diez años. Queremos saber cuáles son los múltiplos, ¿cuál es, de hecho, el mínimo común múltiplo de cuatro y 10?

Vamos a seguir el mismo procedimiento, hallar los factores de cuatro y de 10. Sabemos que cuatro es dos por dos y 10 es dos por cinco.

Vamos a necesitar dos por dos y también el factor de cinco. Dos por dos por cinco es 20. El mínimo común múltiplo de cuatro y 10 es veinte, pero esa no es la respuesta a nuestra pregunta.

La pregunta es cuándo es el próximo año en que ocurrirán ambos hechos. Así que necesitamos saber qué debemos hacer con el 20. Este 20 significa que cada 20 años, los cuatro y los 10 se alinearán. Por lo tanto, necesitamos sumar 20 años a 2010, que es 2030. 2030 es el siguiente año en el que la Copa Mundial y el censo de EE ocurrirán el mismo año. Ahora que sabes todo esto, debes estar listo para usar tus conocimientos para hallar el mínimo común múltiplo de muchos números.

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