Lesson Video: Las sumas de Riemann y la notación sigma o de sumatoria

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En este vídeo vamos a aprender cómo aproximar el área entre una curva y el eje de las 𝑥 dividiendo la región en rectángulos. Esta aproximación se conoce como suma de Riemann. Además, vamos a ver que estos cálculos pueden simplificarse enormemente utilizando la notación sigma, o de sumatorio o sumatoria, y vamos a ver cómo a veces es necesario trabajar con fórmulas de suma bastante complicadas.

Supongamos que queremos hallar el área entre la curva 𝑦 igual a 𝑥 al cubo, el eje de las 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 igual a uno y 𝑥 igual a tres. Hay varias formas de calcular el área exacta. Pero esto no es lo que queremos hacer en este vídeo. En vez de eso vamos a ver cómo podemos aproximar el área entre la curva y el eje de las 𝑥. Para hacerlo, hay varias formas. El método que vamos a emplear se conoce como el método de las sumas de Riemann o la aproximación de las sumas de Riemann. Dividimos el área bajo la curva en rectángulos y calculamos el área de cada uno. Hay tres formas de hacerlo. Podemos hallar la altura de los rectángulos usando el valor de la función en el extremo izquierdo de cada rectángulo, en el extremo derecho de cada rectángulo, o en el punto medio de cada rectángulo.

Muy bien, supongamos que queremos dividir el área en cuatro subintervalos, cuatro rectángulos de igual anchura. El número de subintervalos o rectángulos se indica con la letra 𝑛. En este caso, 𝑛 es igual a cuatro. Para hallar la anchura de cada rectángulo, calculamos la diferencia entre los límites del área. Y la dividimos en 𝑛 partes, siendo 𝑛 el número de subintervalos. Aquí es tres menos uno dividido por cuatro, que es 0.5. Por lo tanto, cada subintervalo, al que llamamos 𝛥𝑥, mide 0.5 unidades de ancho. Formalmente, la anchura de cada rectángulo 𝛥𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛, donde 𝑏 y 𝑎 son los extremos del intervalo.

Empezamos usando el extremo derecho de cada subintervalo para nuestra aproximación. O sea, vamos a calcular la altura del rectángulo haciendo uso del valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo. Ya sabemos que cada rectángulo mide 0.5 unidades de ancho. Así que sumamos 0.5 a 1. Y vemos que la altura del rectángulo es igual al valor de la función cuando 𝑥 es igual a 1.5. Vamos a llamarla 𝑓 de 𝑥 uno. Y es 𝑓 de 1.5. Pero la función es 𝑥 al cubo. Así que 𝑓 de 1.5 es 1.5 al cubo, que es 3.375. Esa es la altura del rectángulo. El área del rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. Es decir, 𝛥𝑥 por el valor de la función 𝑓 de 𝑥 uno. Que es 0.5 por 3.375, que son 1.6875 unidades cuadradas.

Vamos a hacer lo mismo con el siguiente subintervalo. Sumamos 0.5 a 1.5. Así, la altura del segundo rectángulo es el valor de la función cuando 𝑥 es igual a dos. Ahora es 𝑓 de 𝑥 dos, que es dos al cubo. Y dos al cubo es ocho. Así que la altura de este rectángulo es ocho unidades. Esta vez, el área del rectángulo es 𝛥𝑥 por este valor. Eso es 0.5 por ocho, que son cuatro unidades cuadradas. Ahora tenemos que calcular la función cuando 𝑥 es igual a 2.5, y hacemos lo mismo. Tenemos 2.5 al cubo. Así que la altura de este tercer rectángulo es 15.625 unidades. El área es 𝛥𝑥 multiplicado por este valor. Es decir, 0.5 por 15.625, que son 7.8125 unidades cuadradas.

Sumamos otro 0.5 y obtenemos el cuarto valor de 𝑥, tres. Es la 𝑛 de nuestro intervalo, y es el cuarto rectángulo, como se nos pide. Esta vez es 𝑓 de 𝑥 cuatro, o sea, 𝑓 de tres es tres al cubo, que es 27. El área se calcula multiplicando la base por la altura. O sea, 𝛥𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 cuatro o 0.5 multiplicado por 27, que es 13.5. El área total de estos rectángulos, y, en consecuencia, la aproximación del área entre la curva y el eje de las 𝑥, entre las rectas 𝑥 igual a uno y 𝑥 igual a tres es la suma de estos cuatro valores. El área total es 27 unidades cuadradas. Pero los rectángulos son un poco más grandes que el área que queremos hallar. Por lo que tenemos una sobreestimación. Una forma de mejorar esto es dividir los rectángulos en subintervalos más pequeños para obtener una aproximación más precisa.

Es importante tener en cuenta que, si la función toma valores positivos y negativos, como se muestra aquí, la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por encima del eje de las 𝑥 menos las áreas de los rectángulos que se encuentran por debajo. Sin embargo, si evaluamos la función en estos puntos, obtendremos valores negativos, así que el área será negativa. Vale, por ahora todo bien. Pero ¿hay alguna forma de formalizar esto? Sí, la hay. Vamos a repasar lo que hemos hecho.

Hemos multiplicado el valor de 𝛥𝑥 por el valor de la función en el extremo del subintervalo. En este caso hemos elegido el extremo derecho, pero también podríamos hacer escogido el extremo izquierdo. Luego veremos cómo afecta esto a la notación. La expresión general para la aproximación del área entre la curva y el eje de las 𝑥 es 𝛥𝑥 por 𝑓 de 𝑥 uno más 𝛥𝑥 por 𝑓 de 𝑥 dos y así hasta 𝛥𝑥 por 𝑓 de 𝑥 𝑛. Hemos hallado que 𝛥𝑥 es igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. También podemos decir que 𝑥 uno es 𝑎 más 𝛥𝑥, 𝑥 dos es 𝑎 más dos veces 𝛥𝑥, y así hasta llegar a 𝑥 𝑛, que es 𝑎 más 𝑛 veces 𝛥𝑥.

Como ves, esto es un poco lioso. Así que vamos a introducir un nuevo símbolo. Este símbolo se conoce como sigma, sumatorio o sumatoria, y significa «la suma de». Con este símbolo vamos a poder simplificar esto un poco. Decimos que una aproximación del área es el sumatorio de todos los 𝛥𝑥 por 𝑓 de 𝑥 𝑖. Sabemos que 𝑖 empieza en uno y termina en 𝑛. Formalizamos esto y decimos que 𝑥 𝑖 es igual a 𝑎 más 𝑖 veces 𝛥𝑥. Esta es la aproximación del área usando la suma de Riemann por la derecha. ¿Pero qué pasa cuando usamos la suma de Riemann por la izquierda? Cuando usamos la suma de Riemann por la derecha tomamos los valores de 𝑖 de uno a 𝑛, y, cuando usamos la suma de Riemann por la izquierda tomamos los valores de 𝑖 de cero a 𝑛 menos uno. De esta forma obtenemos el valor de la función en el extremo izquierdo de cada rectángulo. Pero antes de ver cómo nos pueden ayudar estas fórmulas a aproximar el área bajo una curva, vamos a ver un ejemplo.

Expresa en notación sigma el área bajo la curva de la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 menos dos en el intervalo cerrado de 3 a 5, usando una suma de Riemann por la derecha con 𝑛 subintervalos.

Cuando usamos la suma de Riemann por la derecha tomamos valores de 𝑖 de uno a 𝑛. El área aproximada es igual a la sumatoria de 𝛥𝑥 por 𝑓 de 𝑥 𝑖 para 𝑖 desde uno hasta 𝑛. 𝛥𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛, donde 𝑎 y 𝑏 son los extremos inferior y superior del intervalo, respectivamente. Y 𝑛 es el número de subintervalos. Así, 𝑥 𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces 𝛥𝑥. Primero tenemos que hallar el valor de 𝛥𝑥. Sabemos que el intervalo cerrado es de tres a cinco. Así que hacemos 𝑎 igual a tres y 𝑏 igual a cinco. Por lo tanto, 𝛥𝑥 es cinco menos tres sobre 𝑛, y eso es dos sobre 𝑛.

Ya podemos hallar el valor de 𝑥 𝑖. Es 𝑎, que sabemos vale tres, más 𝛥𝑥, que es dos sobre 𝑛, por 𝑖. Escribimos esto como tres más dos 𝑖 sobre 𝑛. Para la sumatoria necesitamos saber cuánto es 𝑓 de 𝑥 𝑖. 𝑓 de 𝑥 𝑖 es 𝑓 de tres más dos 𝑖 sobre 𝑛. Por lo tanto, sustituimos tres más dos 𝑖 sobre 𝑛 en la fórmula. Esto es uno sobre tres más dos 𝑖 sobre 𝑛 menos dos, que, al desarrollar el paréntesis se convierte en uno más dos 𝑖 sobre 𝑛. Sin embargo, sigue sin convencernos del todo. Así que vamos a simplificar el denominador.

Lo escribimos como uno sobre uno más dos 𝑖 sobre 𝑛. Luego, multiplicamos el numerador y el denominador de uno sobre uno por 𝑛. Y obtenemos un denominador común de 𝑛, por lo que ya podemos sumar los numeradores. Obtenemos 𝑛 más dos 𝑖 sobre 𝑛. Estamos calculando uno entre 𝑛 más dos 𝑖 sobre 𝑛. Otra forma de calcularlo es hallando su recíproco. El recíproco de 𝑛 más dos 𝑖 sobre 𝑛 es 𝑛 sobre 𝑛 más dos 𝑖. Muy bien, ya tenemos todo lo que necesitamos para escribir la suma de Riemann por la derecha. Como es una suma de Riemann por la derecha, empieza en 𝑖 igual a uno y termina en 𝑛. 𝛥𝑥 es dos sobre 𝑛. Lo multiplicamos por 𝑓 de 𝑥 𝑖, que sabemos es igual a 𝑛 sobre 𝑛 más dos 𝑖. Las 𝑛 se cancelan. Y ya tenemos la suma de Riemann por la derecha en notación sigma. Es el sumatorio de dos sobre 𝑛 más dos 𝑖 para los valores de 𝑖 entre uno y 𝑛.

En el siguiente ejemplo vamos a usar la notación sigma para ayudarnos a hallar el valor aproximado de un área.

Calcula la suma de Riemann por la izquierda para 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 al cuadrado más dos en el intervalo cerrado de menos tres a tres sabiendo que hay seis subintervalos de igual anchura. Expresa la respuesta con dos cifras decimales.

Como ya hemos visto, cuando utilizamos una suma de Riemann por la izquierda, tomamos valores de 𝑖 desde cero hasta 𝑛 menos uno. De esta forma obtenemos el valor de 𝑓 en el extremo izquierdo de cada rectángulo. La fórmula es la sumatoria de 𝛥𝑥 por 𝑓 de 𝑥 𝑖 para 𝑖 desde cero hasta 𝑛 menos uno, donde 𝛥𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Recuerda que 𝑎 y 𝑏 son los extremos inferior y superior, respectivamente, del intervalo, y que 𝑛 es el número de subintervalos. Así que 𝑥 𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces 𝛥𝑥. Vamos a comenzar hallando el valor de 𝛥𝑥. Como vemos, el intervalo cerrado va de menos tres a tres. Así que hacemos 𝑎 igual a menos tres y 𝑏 igual a tres.

Tenemos seis subintervalos. Así que 𝑛 es igual a seis. Por lo tanto, 𝛥𝑥 es tres menos menos tres sobre seis, que es uno. Ahora vamos a calcular 𝑥 𝑖. Es 𝑎, que sabemos es menos tres, más 𝛥𝑥, que es uno, multiplicado por 𝑖. Esto es menos tres más 𝑖. Pero lo que queremos es hallar el valor de 𝑓 de 𝑥 𝑖. 𝑓 de 𝑥 𝑖 es 𝑓 de menos tres más 𝑖. Así que sustituimos 𝑥 igual a menos tres más 𝑖 en la función. Eso es uno sobre menos tres más 𝑖 al cuadrado más dos. Desarrollamos el paréntesis, y obtenemos 𝑖 al cuadrado menos seis 𝑖 más 11 en el denominador.

Ahora vamos a sustituir. Estamos calculando la suma y tomamos valores de 𝑖 de cero a 𝑛 menos uno. 𝑛 es seis. Así que 𝑛 menos uno es cinco. 𝛥𝑥 es uno y 𝑓 de 𝑥 𝑖 es uno sobre 𝑖 al cuadrado menos seis 𝑖 más 11. No hace falta que escribamos multiplicado por uno. Vamos a calcular la suma. Para ello, sustituimos los valores de 𝑖 de cero a cinco en esta función, y escribimos su suma.

Cuando 𝑖 es igual a cero, eso es uno sobre cero al cuadrado menos cero más 11. Cuando 𝑖 es igual uno, es uno sobre uno al cuadrado menos seis más 11. Y, cuando 𝑖 es dos, es uno sobre dos al cuadrado menos 12 más 11. Hacemos lo mismo con 𝑖 igual a tres, 𝑖 igual a cuatro, y hasta 𝑖 igual a cinco. Ahora calculamos la suma. Es 1.5909, etcétera, que, con dos cifras decimales es 1.59. Hemos calculado la suma de Riemann por la izquierda para la función en ese intervalo cerrado, y hemos usado seis subintervalos.

En el último ejemplo vamos a ver cómo trabajamos con sumas algo más complejas.

Representa en notación de sumatorio el área bajo la curva de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado menos uno en el intervalo cerrado de cero a tres usando la suma de Riemann por la derecha con 𝑛 subintervalos.

Recordemos que, cuando usamos la suma de Riemann por la derecha, tenemos la sumatoria de 𝛥𝑥 por 𝑓 de 𝑥 𝑖 para valores de 𝑖 de uno a 𝑛. 𝛥𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, donde 𝑎 y 𝑏 son los extremos inferior y superior del intervalo, respectivamente, y 𝑛 es el número de subintervalos. 𝑥 𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces 𝛥𝑥. Como siempre, comenzamos hallando el valor de 𝛥𝑥. En este caso, 𝑎 es igual a cero, 𝑏 es igual a tres y 𝑛 es 𝑛. Por lo tanto, 𝛥𝑥 es tres menos cero sobre 𝑛, o tres sobre 𝑛. Ahora vamos a calcular 𝑥 𝑖. Es 𝑎, que sabemos es cero, más 𝛥𝑥, que es tres sobre 𝑛, por 𝑖. Escribimos esto como tres 𝑖 sobre 𝑛.

Queremos saber cuánto vale 𝑓 de 𝑥 𝑖. Para hallar 𝑓 de 𝑥 𝑖 tenemos que calcular 𝑓 de tres 𝑖 sobre 𝑛. Sustituimos tres 𝑖 sobre 𝑛 en la fórmula. Eso es tres 𝑖 sobre 𝑛 todo al cuadrado menos uno, que es nueve 𝑖 al cuadrado sobre 𝑛 al cuadrado menos uno. Ahora ya podemos usar la fórmula de sumatorio. Queremos calcular el sumatorio desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑛. Es 𝛥𝑥, que es tres sobre 𝑛, multiplicado por nueve 𝑖 al cuadrado sobre 𝑛 al cuadrado menos uno. Desarrollamos el paréntesis y buscamos un denominador común. Podemos hacerlo multiplicando el numerador y el denominador de la segunda fracción por 𝑛 al cuadrado. Eso es tres 𝑛 al cuadrado sobre 𝑛 al cubo, y ahora solo tenemos que agrupar los numeradores. Tenemos 27 𝑖 al cuadrado menos tres 𝑛 al cuadrado sobre 𝑛 al cubo.

Vamos a simplificar esto un poco. Los números 27 y tres tienen un factor común de tres. Y un denominador común de 𝑛 al cubo. Tres y 𝑛 al cubo son independientes de 𝑖. Así que podemos sacar tres sobre 𝑛 al cubo fuera del símbolo de sumatorio, y hemos acabado. Hemos representado el área bajo la curva de la función como una suma de Riemann por la derecha y en notación sigma. Es tres sobre 𝑛 al cubo por el sumatorio de nueve 𝑖 al cuadrado menos 𝑛 al cuadrado para 𝑖 desde uno hasta 𝑛.

En este vídeo hemos aprendido cómo aproximar el área entre una curva y el eje de las 𝑥 dividiendo la región en rectángulos. También hemos visto que podemos usar el símbolo sigma para representar una suma, y que así podemos representar tanto una suma de Riemann por la derecha como una suma de Riemann por la izquierda. Recuerda que, cuando usamos la suma de Riemann por la derecha, tomamos valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Y cuando usamos la suma de Riemann por la izquierda, tomamos valores de 𝑖 desde cero hasta 𝑛 menos uno.