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Vídeo de la lección: El volumen de un sólido de revolución por el método de los discos y de las arandelass Matemáticas • Educación superior

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el volumen de un sólido generado al girar una región plana alrededor de una recta horizontal o vertical usando el método de los discos (rebanadas) o el método de las arandelas.

16:07

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el volumen de un sólido creado al girar 360 grados con respecto a un eje una región plana encerrada entre una curva y un eje o entre dos curvas. Para calcular estos volúmenes vamos a aplicar los métodos conocidos como el método de los discos (rebanadas) y el método de las arandelas. Para mejor aprovechar este vídeo, es importante que seas capaz de integrar funciones polinómicas aplicando con confianza cualquier método.

Supongamos que tenemos una curva dada por la ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Ahora nos fijamos en la región plana encerrada entre la curva, las rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, y la giramos toda la vuelta alrededor del eje de las 𝑥, o sea, 360 grados. La curva describe la superficie de un sólido al ser girada. En este caso, tendría el aspecto de la superficie curvada de un jarrón, digamos. Los sólidos geométricos que se pueden generar de esta forma se llaman sólidos de revolución, por razones bastante obvias. Por ejemplo, si la gráfica de la función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es una recta horizontal, el sólido generado será un cilindro. Si la gráfica de la función es un semicírculo, entonces el sólido generado será una esfera.

Sabemos cómo calcular el volumen de estas dos figuras tridimensionales que acabamos de mencionar. Pero ¿cómo calculamos el volumen de un sólido de revolución arbitrario? Podemos aproximar el volumen del sólido utilizando dos cilindros o discos. Esto es algo así como una versión tridimensional de hallar una suma de Riemann por la derecha. Seguidamente, podemos dividir la región en cuatro partes, por ejemplo, y calcular el volumen de cada uno de los cilindros para después sumarlos. La fórmula que vamos a usar aquí es la fórmula para calcular el volumen de un cilindro. Es el área de su sección transversal por su altura perpendicular.

Definamos ahora una función 𝐴 de 𝑥 de modo que su valor sea igual al área de la sección transversal del cilindro correspondiente, y la anchura de los subintervalos —o sea, la altura de los cilindros— la vamos a expresar como Δ𝑥. Está claro que una aproximación del volumen del sólido de revolución será la suma del volumen de cada uno de estos discos (o rebanadas). Es la suma de 𝐴 𝑥 𝑖 por Δ𝑥 para valores de 𝑖 entre uno y cuatro. En términos generales podemos decir que, si un sólido está dividido en 𝑛 discos, su volumen será aproximadamente igual a la suma de 𝐴 𝑥 𝑖 asterisco por Δ𝑥 para valores de 𝑖 entre uno y 𝑛, donde 𝑥 𝑖 asterisco es un punto muestral en el subintervalo desde 𝑥 𝑖 menos uno hasta 𝑥 𝑖.

Ojo, ten en cuenta que esto es solo una aproximación. Pero está claro que, si vamos aumentando el número de subintervalos, los cilindros se irán haciendo más y más delgados, por lo que la aproximación del volumen se acercará cada vez más al volumen real del sólido de revolución. Si el número de subintervalos se hace tender a infinito, la suma se aproximará al volumen exacto del sólido de revolución. Así que podemos calcular el volumen hallando el límite de estas sumas cuando 𝑛 tiende a ∞. Si identificamos el límite de una suma de Riemann como una integral definida, obtenemos la siguiente definición.

Consideremos el sólido delimitado por las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏. Si el área de la intersección de este sólido con el plano que pasa por 𝑥 y es perpendicular al eje de las 𝑥 es 𝐴 de 𝑥, y 𝐴 es una función continua, entonces el volumen del sólido es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑛 de 𝐴 de 𝑥 𝑖 asterisco por Δ𝑥. Pero eso es precisamente la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Así que ahora ya podemos ver cómo se aplica esta fórmula.

Considera la región delimitada por las curvas 𝑦 igual a 𝑥 más cuatro, 𝑦 igual a cero, 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a tres. Calcula el volumen del sólido de revolución creado al girar esta región alrededor del eje de las 𝑥.

Recuerda que, para calcular el volumen de un sólido de revolución para una región girada alrededor del eje de las 𝑥, usamos la siguiente fórmula. Para el sólido que se encuentra entre las rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, cuya sección transversal en el plano que pasa por 𝑥 y es perpendicular al eje de las 𝑥 es 𝐴 de 𝑥, para una función continua 𝐴, el volumen de este sólido viene dado por la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 con respecto a 𝑥.

Comencemos identificando los datos que nos ha dado el problema. El sólido está limitado por las rectas verticales 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a tres, así que hacemos 𝑎 igual a cero y 𝑏 igual a tres. La región plana también está delimitada por las curvas 𝑦 igual a 𝑥 más cuatro y 𝑦 igual a cero. Por lo tanto, la región tendrá esta pinta. Al girar esta región alrededor del eje de las 𝑥 obtenemos una figura tridimensional como se muestra. Las secciones transversales de nuestro sólido tendrán todas forma circular. Y el área de cada círculo estará dada por 𝜋 multiplicado por el radio al cuadrado.

El radio de cada círculo será el valor de la función en ese punto. De este modo, su área, 𝐴 de 𝑥, será igual a 𝜋 por 𝑥 más cuatro, todo al cuadrado. Así que el volumen será igual a la integral definida entre cero y tres de 𝜋 por 𝑥 más cuatro todo al cuadrado con respecto a 𝑥. Como 𝜋 es una constante, podemos sacarla fuera de la integral y reescribir el volumen como 𝜋 por la integral definida entre cero y tres de 𝑥 más cuatro, todo al cuadrado, d𝑥. Ahora tenemos dos opciones. Podemos usar el método de integración por cambio de variable (sustitución) o desarrollar los paréntesis para calcular la integral definida. Usemos el primer método, integración por cambio de variable (sustitución).

Hacemos 𝑢 igual a 𝑥 más cuatro. Esa es la parte interna de la función compuesta. Derivamos 𝑢 con respecto a 𝑥 y obtenemos uno. Ya sabemos que, aunque d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, la podemos tratar como si lo fuera. Esto significa que podemos escribir esto como d𝑢 igual a d𝑥. Y sustituimos 𝑥 más cuatro por 𝑢 y d𝑥 por d𝑢. Pero vamos a tener que hacer algo con los límites. Sustituimos; 𝑢 es igual a 𝑥 más cuatro. El límite inferior es 𝑥 igual a cero. Así que, 𝑢 es igual a cero más cuatro, que es cuatro. El límite superior es 𝑥 igual a tres. Así que 𝑢 es igual a tres más cuatro, que es siete.

Ya estamos listos para calcular el volumen, 𝜋 multiplicado por la integral definida entre cuatro y siete de 𝑢 al cuadrado con respecto a 𝑢. Sabemos que podemos integrar un término polinómico cuyo exponente no es igual a menos uno sumando uno al exponente y luego dividiéndolo por el nuevo valor. Así que tenemos 𝜋 por 𝑢 al cubo sobre tres entre cuatro y siete. Eso es 𝜋 por siete al cubo sobre tres menos cuatro al cubo sobre tres, que se convierte en 𝜋 por 279 sobre tres. 279 dividido por tres es 93. De esta forma hemos hallado que el volumen obtenido al girar la región alrededor del eje de las 𝑥 es 93𝜋 unidades cúbicas.

Fíjate en cómo hemos usado la fórmula del área de un círculo para ayudarnos a calcular el volumen. Hemos dicho que el radio de cada círculo estaba dado por el valor de la función en ese punto. Por esta razón, la fórmula para el volumen de un sólido de revolución obtenido al girar un área alrededor del eje de las 𝑥 a veces se escribe como la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝜋 por 𝑦 al cuadrado d𝑥. La primera fórmula es más general pero es mucho más sencillo operar con esta última fórmula. Existe también una versión ligeramente modificada de esta fórmula que podemos usar para calcular el área de un sólido de revolución obtenido al girar una curva alrededor del eje de las 𝑦.

Se trata, básicamente, de intercambiar las letras 𝑥 y 𝑦. La ecuación de la curva vendrá dada por 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑦 en vez de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Del mismo modo, los límites deberán estar en términos de 𝑦, o sea, como 𝑦 igual a 𝑐 y 𝑦 igual a 𝑑. Así que nuestra fórmula para el volumen se convierte en la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 con respecto a 𝑦 —donde 𝐴 de 𝑦 es la función que describe el área de la sección transversal del sólido— o en la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝜋 por 𝑥 al cuadrado d𝑦. Veamos ahora un ejemplo práctico de aplicación de esta última fórmula.

Calcula el volumen del sólido generado al girar una vuelta completa alrededor del eje de las 𝑦 la región delimitada por la curva nueve 𝑥 menos 𝑦 igual a cero y las rectas 𝑥 igual a cero, 𝑦 igual a menos nueve y 𝑦 igual a cero.

Recuerda que, cuando giramos una región delimitada por una curva 𝑥 igual a una función de 𝑦 y las rectas horizontales 𝑦 igual a 𝑐 y 𝑦 igual a 𝑑 alrededor del eje de las 𝑦, utilizamos la fórmula que viene expresada como la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝜋 por 𝑥 al cuadrado d𝑦. En nuestro caso, las rectas horizontales que nos interesan vienen dadas por 𝑦 igual a menos nueve y 𝑦 igual a cero. Así que hacemos 𝑐 igual a menos nueve y 𝑑 igual a cero. La región que nos interesa está delimitada por la curva nueve 𝑥 menos 𝑦 igual a cero y 𝑥 igual a cero. Acuérdate de que dijimos que 𝑥 debe ser una función de 𝑦. Así que despejamos 𝑥 y hallamos que nuestra ecuación es 𝑥 igual a 𝑦 sobre nueve. Es esta región. Y tiene este aspecto cuando la giramos alrededor del eje de las 𝑦.

Sustituimos todo lo que sabemos en la fórmula para el volumen y hallamos que es igual a la integral definida entre menos nueve y cero de 𝜋 por 𝑦 sobre nueve al cuadrado d𝑦. Sacamos un factor constante 𝜋 y desarrollamos el paréntesis. Y vemos que el integrando es ahora 𝑦 al cuadrado sobre 81. En este punto puede resultar práctico sacar este factor común de 81. Y sabemos que para integrar un término polinómico cuyo exponente no es igual a menos uno, sumamos uno a ese exponente y luego lo dividimos por el nuevo valor. Así que la integral de 𝑦 al cuadrado es 𝑦 al cubo sobre tres.

Por lo tanto, el volumen es 𝜋 sobre 81 por cero al cubo sobre tres menos menos nueve al cubo sobre tres. Y cero al cubo sobre tres es cero. Podemos escribir menos nueve al cubo como menos nueve por menos nueve al cuadrado o menos nueve por 81. Esto significa que podemos simplificar dividiendo por 81. Además, menos menos nueve dividido por tres es tres. Así que hemos hallado el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje de las 𝑦, y vale tres 𝜋 unidades cúbicas.

En el último ejemplo vamos a ver cómo podemos aplicar estas técnicas en el método de las arandelas.

Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje de las 𝑦 la región delimitada por las curvas 𝑥 igual a seis menos cinco 𝑦 al cuadrado y 𝑥 igual a 𝑦 a la cuarta.

En este problema se nos pide que calculemos el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje de las 𝑦 una región delimitada por dos curvas. Para hacerlo, debemos recordar que el volumen obtenido al girar una región alrededor del eje de las 𝑦, cuya área de sección transversal viene dada por la función 𝐴 de 𝑦, es la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 con respecto a 𝑦. Opcionalmente, esto se puede expresar como la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝜋 por 𝑥 al cuadrado d𝑦. Para ayudarnos a visualizar esto vamos a dibujar el área delimitada por las dos curvas.

La gráfica de 𝑥 igual a seis menos cinco 𝑦 al cuadrado tiene esta pinta. Y 𝑥 igual a 𝑦 a la cuarta tiene este aspecto. Así que esta es la región que vamos a girar alrededor del eje de las 𝑦. Resolviendo las ecuaciones 𝑥 igual a 𝑦 a la cuarta y 𝑥 igual a seis menos cinco 𝑦 al cuadrado simultáneamente —o mediante un programa de gráficos o una calculadora— hallamos que estas curvas intersecan en los puntos 𝑦 igual a uno y 𝑦 igual a menos uno. Entonces, cuando giramos esta región alrededor del eje de las 𝑦 obtenemos esta figura con forma de rosquilla. De hecho, un buen nombre para esta figura es «rosca».

El área de la sección transversal de esta rosca será igual al área del círculo exterior menos el área del círculo interior. Y, como el área de un círculo está dada por 𝜋 por el radio al cuadrado y el radio de cada círculo está dado por el valor de la función en ese punto, el área de la sección transversal 𝐴 de 𝑦 es 𝜋 por seis menos cinco 𝑦 al cuadrado, todo al cuadrado, menos 𝜋 por 𝑦 a la cuarta al cuadrado. Con estos datos hallamos que el volumen viene dado por esto que se muestra. Sacamos de la integral un factor constante de 𝜋 y desarrollamos el paréntesis. Y nuestro integrando se convierte en 36 menos 60𝑦 al cuadrado más 25𝑦 a la cuarta menos 𝑦 a la octava. Seguidamente integramos término a término.

La integral de 36 es 36𝑦. Cuando integramos menos 60𝑦 al cuadrado obtenemos menos 60𝑦 al cubo dividido por tres, que se simplifica a menos 20𝑦 al cubo. La integral de 25𝑦 a la cuarta es 25𝑦 a la quinta dividido por cinco, lo que se simplifica a cinco 𝑦 a la quinta. Por último, la integral de menos 𝑦 a la octava es menos 𝑦 a la novena sobre nueve. A continuación sustituimos uno y menos uno en esta expresión. Y obtenemos 36 menos 20 más cinco menos un noveno menos menos 36 más 20 menos cinco más un noveno. Eso nos da 376 sobre nueve. De esta forma hemos hallado que el volumen del sólido obtenido al girar la región alrededor del eje de las 𝑦 es 376 sobre nueve 𝜋 unidades cúbicas.

En el último ejemplo vamos a aprender cómo calcular el volumen obtenido al girar un sólido alrededor de una recta paralela a un eje.

Considera la región delimitada por las curvas 𝑦 igual a 𝑥 al cubo, 𝑦 igual a cero y 𝑥 igual a dos. Calcula el volumen del sólido obtenido al girar esta región alrededor de 𝑥 igual a tres.

Como hemos visto, cuando giramos una región delimitada por una curva y las rectas horizontales 𝑦 igual a 𝑐 y 𝑦 igual a 𝑑 alrededor del eje de las 𝑦, utilizamos la fórmula de la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 con respecto a 𝑦, donde 𝐴 de 𝑦 es la función que describe el área de la sección transversal de la figura. Para visualizar lo que hemos de hacer, dibujar un diagrama puede ayudarnos. Tenemos las curvas 𝑦 igual a 𝑥 al cubo, 𝑦 igual a cero, y una recta vertical en 𝑥 igual a dos. Y eso nos da la región que queremos girar. No obstante, esta vez no estamos girando alrededor del eje de las 𝑦, sino alrededor de una recta paralela a este eje. Es la recta de ecuación 𝑥 igual a tres.

Si giramos la región alrededor de esta recta obtenemos la figura que se muestra. Podemos llamar a esto anillo o arandela. Y podemos decir que el área de la sección transversal del anillo viene dada por el área del círculo exterior, el círculo mayor, menos el área del círculo interior. El área de un círculo es 𝜋 por el radio al cuadrado. Y vamos a reescribir la ecuación de nuestra curva como 𝑥 en función de 𝑦, y eso es 𝑥 igual a raíz cúbica de 𝑦. Podemos decir que el radio del círculo grande es la diferencia entre el valor de la función 𝑥 igual a raíz cúbica de 𝑦 y la función 𝑥 igual a tres. Eso es 𝜋 por raíz cúbica de 𝑦 menos tres, todo al cuadrado.

De igual forma, el radio del círculo pequeño es la diferencia entre tres y dos. Así que el área de la sección transversal o la función para el área de la sección transversal es 𝜋 por la raíz cúbica de 𝑦 menos tres al cuadrado menos 𝜋 por tres menos dos al cuadrado. Escribimos la raíz cúbica de 𝑦 como 𝑦 elevado a un tercio. Y simplificamos tres menos dos y obtenemos uno. Para hallar los límites de la integral definida debemos considerar las ecuaciones de las rectas horizontales que delimitan nuestra región. Sabemos que el límite inferior es 𝑦 igual a cero. El límite superior es el punto de intersección entre la curva 𝑦 igual a 𝑥 al cubo y 𝑥 igual a dos. Eso es ocho.

Sacamos de la integral el factor constante 𝜋. Y seguidamente desarrollamos el paréntesis. Obtenemos un integrando de 𝑦 elevado a dos tercios menos seis 𝑦 elevado a un tercio más nueve menos uno. Y nueve menos uno es ocho. A continuación, integramos aumentando el exponente de cada término en uno y luego dividiendo por el nuevo valor. Así, obtenemos 𝜋 por tres quintos de 𝑦 elevado a cinco sobre tres menos 18 sobre cuatro por 𝑦 elevado a cuatro sobre tres más ocho 𝑦. Sustituimos los límites 𝑦 igual a cero y 𝑦 igual a ocho. Y simplificamos. De este modo hallamos que el volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta 𝑥 igual a tres es 56𝜋 partido por cinco unidades cúbicas.

En este vídeo, hemos aprendido que podemos calcular el volumen de un sólido de revolución generado al girar una región alrededor del eje de las 𝑥 utilizando una de las siguientes fórmulas. La primera es 𝑉 igual a la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 con respecto a 𝑥, donde 𝐴 de 𝑥 es una función continua que describe el área de las secciones transversales del sólido. Otra posibilidad es la fórmula de la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝜋 por 𝑦 al cuadrado d𝑥. Para las regiones giradas alrededor del eje de las 𝑦 usamos la fórmula 𝑉 igual a la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 con respecto a 𝑦. O la integral definida entre 𝑐 y 𝑑 de 𝜋 por 𝑥 al cuadrado d𝑦. Por último, hemos aprendido que también podemos usar el método de las arandelas para calcular el volumen generado al girar una región entre dos curvas alrededor de un eje o de una recta paralela a un eje.

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