Vídeo: Criterio de comparación por paso al límite del cociente

En este video, vamos a aprender cómo determinar si una serie es convergente o divergente comparándola con una serie de convergencia conocida usando el criterio de comparación por paso al límite del cociente

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Transcripción del vídeo

En esta lección, vamos a aprender cómo determinar si una serie es convergente o divergente comparándola con una serie de convergencia conocida usando el criterio de comparación por paso al límite del cociente. Veremos una serie de ejemplos de cómo podemos aplicar esta prueba. Pero primero, veamos cómo funciona la prueba.

Recordemos que una serie es la suma de una sucesión infinita de números. Supongamos que tenemos dos series en las que los términos son 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son mayores que cero para todo 𝑛. El criterio de comparación por paso al límite del cociente nos dice que si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛 es una constante 𝐶, y 𝐶 es positiva y finita, entonces ambas series divergen o ambas series convergen. Y es importante darse cuenta de que no importa cuál de las dos series es el numerador y cuál es el denominador en el límite. Lo que esta prueba nos dice es que cuando 𝑛 tiende a ∞, los términos de las dos series 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 se comportan de forma similar. Por lo tanto, podemos esperar que las series exhiban un comportamiento similar entre sí. A veces el límite se escribe como el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 multiplicado por uno sobre 𝑏 𝑛, el cual debe ser igual a 𝐶.

El criterio de comparación por paso al límite del cociente es una variante de la prueba de comparación directa, y la utilizamos cuando no podemos usar la prueba de comparación directa. En la práctica, usamos el criterio de comparación por paso al límite del cociente cuando se nos pide determinar la convergencia de una serie dada, digamos 𝑎 𝑛, la cual se suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞. Entonces, echamos mano de la serie 𝑏 𝑛, la sumatoria desde uno hasta ∞, de la que conocemos la convergencia. Utilizamos los términos de las dos series para hallar el límite 𝐶, y este límite nos permite determinar la convergencia de nuestra serie, sumatoria de 𝑎 𝑛 desde 𝑛 igual a uno hasta ∞. Apliquemos esto en un ejemplo.

Usa el criterio de comparación por paso al límite del cociente para determinar si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de dos sobre 𝑛 más seis es convergente o divergente.

Tenemos una serie cuyos términos llamamos 𝑏 𝑛, que es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de dos sobre 𝑛 más seis. Y nos piden determinar la convergencia de esta serie usando la prueba de comparación mediante el límite del cociente. Esta prueba nos dice que para series con términos 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son mayores que cero. Si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛 es una constante 𝐶, donde 𝐶 es mayor que cero y finita, entonces ambas series convergen o ambas divergen. Nos dieron la serie cuyos términos son dos dividido por 𝑛 más seis. Y dado que dos es una constante, podemos sacarlo de la sumatoria para obtener dos por sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 más seis.

Para determinar si esta serie converge o diverge, necesitamos encontrar otra serie con convergencia conocida o fácil de determinar, de modo que podamos aplicar el criterio de comparación por paso al límite del cociente. Nótese que el criterio de comparación por paso al límite del cociente se aplica a los términos de la serie, no a la serie en sí. Y se basa en el comportamiento del cociente de estos términos cuando 𝑛 tiende a ∞. Así que veamos cómo se comportan los términos de nuestra serie cuando 𝑛 tiende a ∞.

Como hemos sacado el dos, nuestro término es ahora uno sobre 𝑛 más seis. Y cuando 𝑛 tiende a ∞, este término está dominado por la 𝑛 en el denominador. El seis se vuelve irrelevante a medida que 𝑛 crece. Y nuestro término tiene un comportamiento similar a uno sobre 𝑛. Por tanto, parece que debemos usar la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 como nuestra segunda serie. Podemos reconocer esto como la serie armónica. Y el nombre se debe a que está relacionada con las longitudes de onda de las notas emitidas por una cuerda vibrante. Y ya tenemos nuestras dos series. Así que podemos aplicar la prueba de comparación mediante el límite del cociente. Pero primero debemos verificar que los términos de ambas series son positivos.

Si nuestro término es 𝑎 𝑛 igual a uno sobre 𝑛 y 𝑛 es positivo desde uno hasta ∞, entonces uno sobre 𝑛 siempre es positivo. De manera similar, si nuestro término es uno sobre 𝑛 más seis, dado que 𝑛 más seis siempre es positivo, uno sobre 𝑛 más seis también es positivo. Así que ambos términos son positivos y es posible usar la prueba de comparación mediante el límite del cociente.

Nuestro siguiente paso es hallar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛, con 𝑎 𝑛 igual a uno sobre 𝑛 y 𝑏 𝑛 igual a uno sobre 𝑛 más seis. Ese es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre 𝑛 dividido por uno sobre 𝑛 más seis. Que es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre 𝑛 multiplicado por 𝑛 más seis sobre uno. El cual es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑛 más seis dividido por 𝑛. Y eso es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno más seis dividido por 𝑛. Sabemos que cuando 𝑛 tiende a ∞, seis dividido por 𝑛 tiende a cero. Y nuestro límite es igual a uno, que es una constante positiva. Así que hemos encontrado nuestra constante 𝐶, que es mayor que cero. Y ese es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛.

Todo lo que necesitamos saber ahora es la convergencia de nuestra segunda serie, la serie armónica. Probablemente sabes que esta serie diverge, pero podemos usar el criterio de la integral de Cauchy para demostrarlo. El criterio de la integral de Cauchy nos dice que si la función 𝑓 es positiva, continua y decreciente en el intervalo desde uno a ∞ y es tal que 𝑎 𝑛 es igual a 𝑓 de 𝑛. Entonces, si la integral impropia desde uno hasta ∞ de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 converge, también lo hace la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛. Y, si la integral impropia desde uno a ∞ de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 diverge. También lo hace la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛. Pero antes de usar esta prueba, debemos verificar que nuestros términos son positivos y decrecientes.

Uno sobre 𝑛 es positivo para todo 𝑛, así que 𝑎 𝑛 es mayor que cero. También sabemos que para todo 𝑛 positivo, 𝑛 es menor que 𝑛 más uno. Y tomando el recíproco, revertimos la desigualdad. Así que uno sobre 𝑛 es mayor que uno sobre 𝑛 más uno. 𝑎 𝑛 es mayor que 𝑎 𝑛 más uno. Y a medida que 𝑛 aumenta, 𝑎 𝑛 disminuye. Obtenemos que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 y la integral entre uno y ∞ de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥, ambas convergen o ambas divergen.

Si evaluamos esta integral, la integral de uno sobre 𝑥, obtenemos el logaritmo neperiano de 𝑥. Evaluemos esto entre uno e ∞. Y eso es ∞ menos cero, que es ∞. Nuestra integral diverge. Así que nuestra sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 también diverge. Por lo tanto, según la prueba de comparación mediante el límite del cociente, nuestra primera serie, que es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de dos sobre 𝑛 más seis, también diverge.

Hemos hallado una segunda serie para usar en la prueba de comparación de límites. Y hemos encontramos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del cociente de los términos de las dos series es una constante positiva. Hemos encontrado que la segunda serie diverge. Y por lo tanto, nuestra primera serie también diverge.

Probemos con otro ejemplo.

Usando el criterio de comparación por paso al límite del cociente, determina si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre cuatro elevado a 𝑛 más seis es convergente o divergente.

Nos han dado una serie, sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis. Los términos de nuestra serie son, por lo tanto, uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis. Y se nos pide determinar la convergencia de esta serie utilizando el criterio de comparación por paso al límite del cociente. Este criterio dice que si tenemos dos series de términos 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛, los cuales son todos positivos, y se tiene además que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛 es una constante 𝐶, que es mayor que cero y menor que ∞. Entonces, las dos series convergen o ambas divergen.

Tenemos una serie de términos uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis. Para usar la prueba de comparación mediante el límite del cociente, necesitamos otra serie para comparar el cociente de sus términos. Queremos encontrar otra serie en la que sus términos faciliten mostrar que un término dividido por el otro cuando 𝑛 tiende a ∞ es constante. También necesitamos saber si esta segunda serie converge o diverge. Para obtener los términos de esta segunda serie, podemos investigar el comportamiento de nuestros términos cuando 𝑛 tiende a ∞. Cuando 𝑛 tiende a ∞, en el término uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis, el seis se vuelve irrelevante, y nuestro término se comporta básicamente como uno sobre cuatro a la 𝑛.

Esto podría ayudarnos, ya que este es un término de una serie geométrica. Por tanto, si decimos que los términos de nuestra primera serie corresponden a 𝑏 𝑛 — o sea, uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis es igual a 𝑏 𝑛 — y que los términos de nuestra segunda serie — o sea, uno sobre cuatro a la 𝑛 — corresponden a 𝑎 𝑛. Entonces podemos hallar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛 dentro de nuestra prueba de comparación de límites. Es importante darse cuenta de que no importa cuál es 𝑎 𝑛 y cuál es 𝑏 𝑛, y que es posible escoger para que el cálculo sea más fácil. Así que vamos a encontrar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 es uno sobre cuatro a la 𝑛 y 𝑏 𝑛 es uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis.

Tenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛 dividido por uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis. Y es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛 multiplicado por cuatro a la 𝑛 más seis dividido por uno. Ese es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de cuatro a la 𝑛 más seis dividido por cuatro a la 𝑛. Que es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno más seis dividido por cuatro a la 𝑛. Como uno es una constante, es uno más el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de seis dividido por cuatro a la 𝑛. Y seis también es una constante. Podemos sacar esto, hallando uno más seis por el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛. Y cuando 𝑛 tiende a ∞, uno sobre cuatro a la 𝑛 tiende a cero.

Nuestro límite es, por lo tanto, una constante mayor que cero. Así que hemos encontrado una segunda serie tal que la razón de los términos de las dos series cuando 𝑛 tiende a ∞ es una constante. Necesitamos hallar la convergencia de esa segunda serie. Porque según la prueba de comparación mediante el límite del cociente, la convergencia de la segunda serie determina la convergencia o divergencia de la primera serie. Nuestra segunda serie es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛. Y sabemos que esta es una serie geométrica. Una serie geométrica es una serie del tipo sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 por 𝑟 a la 𝑛. Y eso es 𝑎 por 𝑟 elevado a cero más 𝑎 por 𝑟 elevado a uno más 𝑎 por 𝑟 al cuadrado, etc. Si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno, la serie se puede sumar y su suma vale 𝑎 sobre uno menos 𝑟. Si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno, la serie diverge.

En nuestra serie, 𝑎 es igual a uno y 𝑟 es igual a uno sobre cuatro. Sin embargo, hay una diferencia. En la definición de la serie geométrica, 𝑛 comienza con el valor de cero. Mientras que en nuestra serie, 𝑛 comienza en uno. Sabiendo que 𝑟, en nuestro caso, es menor que uno, cuando calculemos la suma de nuestra serie, tendremos que restar este primer término. Así que vamos a calcular la suma de nuestra serie, la cual sabemos que es igual a 𝑎 sobre uno menos 𝑟. El primer término en la serie de la definición es 𝑎 por 𝑟 elevado a cero, que en nuestro caso será uno por uno sobre cuatro elevado a cero, y eso es igual a uno. Así que tendremos que restar esto de la suma de nuestra serie.

Eso significa que restamos esto de 𝑎 sobre uno menos 𝑟 donde, en nuestro caso, 𝑎 es uno y 𝑟 es uno sobre cuatro. La suma de nuestra serie, es decir, el valor de la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛, es igual a uno sobre uno menos uno sobre cuatro menos uno. Donde este menos uno corresponde a 𝑎 por 𝑟 elevado a cero. La suma de nuestra segunda serie es, por lo tanto, cuatro sobre tres menos uno, que es un tercio. Nuestra segunda serie, la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛, converge y la suma vale un tercio. Según la prueba de comparación mediante el límite del cociente, si una de nuestras series converge, la otra también converge. Esto significa que nuestra serie original, la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre cuatro a la 𝑛 más seis, también converge.

Veamos un ejemplo más de cómo usar la prueba de comparación mediante el límite del cociente para determinar la convergencia o divergencia de una serie.

Usa la prueba de comparación mediante el límite del cociente para determinar si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de tres 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más uno dividido por 𝑛 al cubo más uno es convergente o divergente.

Se nos ha dado una serie donde los términos, 𝑎 𝑛, son igual a tres 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más uno dividido por 𝑛 al cubo más uno. Nos piden que usemos la prueba de comparación mediante el límite del cociente para determinar si la serie converge o diverge. El criterio de comparación por paso al límite del cociente nos dice que si tenemos dos series cuyos términos 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son positivos y el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 dividido por 𝑏 𝑛 es una constante 𝐶, siendo 𝐶 mayor que cero y menor que ∞. Entonces, ambas series convergen o ambas series divergen. Para usar esta prueba para determinar si la serie dada es convergente o divergente. Nuestro plan de acción es tratar de hallar una segunda serie de tal manera que la razón de los términos 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛 converja a un número positivo.

También necesitamos saber o ser capaces de determinar si la segunda serie converge o diverge. Para encontrar la segunda serie, podemos ver el comportamiento de los términos de nuestra primera serie cuando 𝑛 tiende a ∞. Sin embargo, antes de comenzar, debemos asegurarnos de que nuestros términos son positivos. Como 𝑛 es positivo, tanto el numerador como el denominador son mayores que cero. Por lo tanto, nuestros términos son positivos. Y, consecuentemente, podemos usar la prueba de comparación mediante el límite del cociente. Cuando 𝑛 es muy grande, en un polinomio dominan los términos con las potencias más altas de 𝑛. Esto significa que en el numerador, tres 𝑛 al cuadrado domina. Mientras que en el denominador, 𝑛 al cubo domina. Cuando 𝑛 tiende a ∞, los términos de nuestra serie se comportan básicamente como tres 𝑛 al cuadrado dividido por 𝑛 al cubo. Y esto es igual a tres sobre 𝑛.

Podemos usar esto como el término en nuestra segunda serie para la prueba de comparación mediante el límite del cociente. Nuestra segunda serie va a ser, por lo tanto, la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de tres dividido por 𝑛. Con 𝑎 𝑛 igual a tres 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más uno dividido por 𝑛 elevado a tres más uno y 𝑏 𝑛 igual a tres dividido por 𝑛, podemos encontrar el límite dentro de nuestro criterio de comparación por paso al límite del cociente. Se trata del límite, cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛. Eso es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de tres 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más uno dividido por 𝑛 al cubo más uno, todo dividido por tres dividido por 𝑛. Que es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de tres 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más uno dividido por 𝑛 al cubo más uno multiplicado por 𝑛 dividido por tres.

Y esto es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de tres 𝑛 al cubo más dos 𝑛 al cuadrado más 𝑛 todo dividido por tres 𝑛 al cubo más tres. Si dividimos tanto el numerador como el denominador por tres 𝑛 al cubo. Obtenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno más dos 𝑛 al cuadrado sobre tres 𝑛 al cubo más 𝑛 sobre tres 𝑛 al cubo todo dividido por uno más tres sobre tres 𝑛 al cubo. Y al cancelar esto obtenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno más dos sobre tres 𝑛 más uno sobre tres 𝑛 al cuadrado, todo dividido por uno más uno sobre 𝑛 al cubo.

Dos dividido por tres 𝑛 tiende a cero cuando 𝑛 tiende a ∞. Uno sobre tres 𝑛 al cuadrado tiende a cero cuando 𝑛 tiende a ∞. Y uno sobre 𝑛 al cubo tiende a cero cuando 𝑛 tiende a ∞. Esto significa que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛 es igual a uno. Esta es una constante positiva, que, por tanto, satisface nuestra prueba de comparación mediante el límite del cociente. Así que, si podemos determinar la convergencia de nuestra segunda serie, esto demostrará la convergencia o divergencia de nuestra primera serie.

Nuestra segunda serie es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de tres dividido por 𝑛. Y como tres es un factor constante, podemos sacarlo fuera de la sumatoria. Esto nos da tres por la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛. La sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 es la serie armónica. Y sabemos que esta serie diverge. Y esto, según el criterio de comparación por paso al límite del cociente, significa que nuestra primera serie también diverge. La serie que es la sumatoria desde 𝑛 igual uno hasta ∞ de tres 𝑛 al cuadrado más dos 𝑛 más uno dividido por 𝑛 al cubo más uno diverge.

Hemos visto algunos ejemplos de cómo aplicar el criterio de comparación por paso al límite del cociente. Resumamos pues sus puntos clave. El criterio de comparación mediante el límite del cociente nos dice que si tenemos dos series con términos positivos 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 y el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del cociente de los dos términos es una constante 𝐶, donde 𝐶 es positiva y finita, ambas series convergen o ambas series divergen. Para usar la prueba de comparación mediante el límite del cociente para determinar la convergencia o divergencia de una serie dada.

Hemos de hallar una segunda serie de convergencia o divergencia conocida y cuyos términos satisfagan la condición de que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del cociente de los términos sea igual a una constante. A menudo podemos encontrar la segunda serie observando el comportamiento de los términos de la serie dada cuando 𝑛 tiende a ∞. Finalmente, debemos insistir en que al calcular el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sobre 𝑏 𝑛, no importa cuál elijamos como 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛.

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