Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo graficar funciones lineales. Vamos a aprender cómo identificar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta y vamos a aprender cómo usar una tabla de valores para dibujar la gráfica de una función lineal.
Comencemos analizando qué es una función lineal. La forma general de la ecuación de una función lineal es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, que también suele escribirse como 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. La ecuación de una función lineal tiene dos variables 𝑥 y 𝑦, y la única potencia de 𝑥 es 𝑥 elevado a uno. En ambas formas de la ecuación, la letra 𝑚, que es el coeficiente de 𝑥, representa la pendiente o pendiente de la recta. La pendiente de una recta indica la inclinación de la recta. La constante, 𝑏 o 𝑐 es el punto donde la gráfica de la función atraviesa el eje 𝑦, y se llama «ordenada en el origen de la función». Echemos un vistazo a algunas funciones lineales dibujadas.
Si comenzamos con una de las funciones lineales más básicas, la recta 𝑦 igual a 𝑥, podemos ver que la pendiente, el coeficiente de 𝑥, es uno. Y tampoco hay un término constante al final de esta función, lo que indica que la intersección con el eje 𝑦 es cero. Y podemos ver aquí que, efectivamente, la gráfica atraviesa el eje 𝑦 en el punto cero, cero. Si comparamos esto con la recta 𝑦 igual a 𝑥 más dos, podemos ver que el gradiente permanece igual a uno. Pero, en este caso, la intersección con el eje 𝑦 es más dos, y podemos ver que la gráfica interseca el eje 𝑦 en el punto dos.
Entonces, si queremos dibujar la gráfica de la función 𝑦 igual a 𝑥 menos uno, ¿cómo será? Bien, la pendiente de la recta es la misma que la de las otras dos rectas. Y esta vez, la intersección con 𝑦 es el punto menos uno. O sea, si queremos hallar la intersección con el eje 𝑦 de una recta, y nos dan la ecuación de la función, podemos identificarla a partir de la ecuación en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. Y si solo nos dan una gráfica, podemos identificar la ordenada 𝑦 en el origen de la función simplemente mirando donde la gráfica atraviesa el eje 𝑦.
A continuación, vamos a ver cómo
cambia la gráfica cuando cambia la pendiente de la función. Comenzando con nuestra recta de referencia 𝑦 igual a 𝑥, podemos ver que cuando graficamos la función 𝑦 igual a dos 𝑥, esta recta es mucho más inclinada. En otras palabras, el coeficiente de 𝑥, la pendiente, es mayor que en 𝑦 igual a 𝑥. Por cada unidad en el eje 𝑥, la recta 𝑦 igual a 𝑥 sube una unidad en el eje 𝑦. Si comparamos esto con la recta 𝑦 igual a dos 𝑥, por cada unidad en el eje 𝑥, aumenta dos unidades en el eje 𝑦.
Es decir que, si queremos graficar la función 𝑦 igual a tres 𝑥, por cada unidad en el eje 𝑥, aumentará tres unidades en el eje 𝑦, y se verá así. Como ninguna de estas tres gráficas tiene un término constante, eso quiere decir que todas ellas atraviesan el eje 𝑦 en el origen de coordenadas. La intersección con el eje 𝑦 de la gráfica—o sea, la ordenada en el origen de la función — es cero. Pero ¿qué sucede si tenemos un gradiente negativo, por ejemplo, la función 𝑦 igual a menos 𝑥? Aquí podemos ver que las rectas con una pendiente negativa están inclinadas hacia abajo de izquierda a derecha.
Pensemos ahora en cómo determinamos la pendiente de una recta. La pendiente de una recta es el cambio vertical dividido por el cambio horizontal, y el cambio vertical es el aumento o la disminución del valor de 𝑦. Y el cambio horizontal es el aumento o la disminución del valor de 𝑥. También podemos usar la fórmula de que, entre dos puntos, 𝑥 uno, 𝑦 uno, y 𝑥 dos, 𝑦 dos, la pendiente se calcula mediante 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno.
Entonces, si en nuestra recta elegimos los puntos uno, tres y cero, uno, podemos identificar cualquiera de estas coordenadas con los valores 𝑥 uno, 𝑦 uno o 𝑥 dos, 𝑦 dos y sustituirlos en la ecuación. Y tenemos nuestro valor uno de 𝑦 dos menos nuestro valor tres de 𝑦 uno sobre nuestro valor cero de 𝑥 dos restamos nuestro valor uno de 𝑥 uno. Esto se simplificará a menos dos sobre menos uno, lo que significaría que la pendiente de esta recta es dos. Tenemos, pues, un cambio vertical de dos partido por un cambio horizontal de uno, lo que nos da una pendiente de dos sobre uno, que es dos.
Vamos a explorar ahora cómo podemos graficar una función lineal. El primer método es usando una tabla de valores. En este método, tomamos algunos valores para 𝑥 y calculamos los valores de 𝑦 correspondientes. Por ejemplo, si queremos graficar 𝑦 igual a tres 𝑥 más uno, podemos elegir valores de 𝑥 de cero, uno y dos. Y luego sustituimos estos valores en nuestra función para hallar los valores de 𝑦. Aquí, tenemos 𝑦 igual a tres por cero más uno como nuestro primer valor de 𝑦, lo que significa que 𝑦 es igual a uno. Para nuestro segundo valor, uno, de 𝑥, hacemos 𝑥 igual a uno en nuestra función para obtener tres por uno más uno, que es cuatro. Y para nuestro valor final, para 𝑥 ¡igual a dos, tenemos 𝑦 es igual a tres por dos más uno, que es seis más uno, lo que nos da siete.
Hasta ahora hemos encontrado tres coordenadas en esta recta, cero, uno; uno, cuatro; y dos, siete. Así que lo que tenemos que hacer es dibujar nuestro sistema de coordenadas, señalar estos tres puntos y dibujar una recta que pase por los tres. La ventaja de una tabla de valores es que nos da puntos de nuestra recta incluso si antes de comenzar no tenemos ni idea de cómo es la recta, lo que nos lleva a la segunda forma en la que podemos graficar una función lineal. Y esta forma se basa en identificar las características de la función cuando está en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏.
Por ejemplo, si tenemos que dibujar la gráfica de 𝑦 igual a tres 𝑥 más uno, podemos hacer uso de que la pendiente es tres, lo que significa que, por cada aumento en uno en el eje 𝑥, la recta aumenta en tres en el eje 𝑦. Y como la ordenada 𝑦 en el origen es uno, la recta atraviesa el eje 𝑦 en el punto cero, uno. Al usar este método, debemos tener cuidado y recordar que una pendiente positiva significa que la recta está inclinada hacia arriba de izquierda a derecha. Y una pendiente negativa significa que la recta está inclinada hacia abajo de izquierda a derecha.
Ahora vamos a poner en práctica lo que hemos aprendido analizando algunos ejemplos. En la primera cuestión, vamos a ver con más detalle cómo completar una tabla de valores.
Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a ocho 𝑥 menos 11. Completa la tabla de valores. Identifica los tres puntos que se encuentran en la recta 𝑦 igual a ocho 𝑥 menos 11.
Aquí tenemos nuestra función 𝑓 de 𝑥 igual a ocho 𝑥 menos 11. Necesitamos hallar los tres valores 𝑦 faltantes sustituyendo para ello en 𝑓 de 𝑥. Por lo tanto, para hallar nuestro valor de 𝑦 cuando 𝑥 es menos uno, sustituimos 𝑥 por menos uno en nuestra función. Así que tenemos ocho por menos uno menos 11. Y como ocho por menos uno es menos ocho, tenemos menos ocho menos 11, lo que nos da menos 19. Y ese es nuestro primer valor faltante en la tabla. Para nuestro siguiente valor faltante, hacemos 𝑥 igual a cero en la función, lo que nos da ocho por cero menos 11, lo que nos da cero menos 11, que es menos 11. Y así obtenemos nuestro segundo valor en la tabla.
Para el valor final en la tabla, tenemos que 𝑥 es uno, ocho por uno menos 11, es igual a ocho menos 11, lo que nos da una respuesta de menos tres. Así que la respuesta a la primera parte de la cuestión es que los tres valores en la tabla son menos 19, menos 11 y menos tres. El propósito de crear una tabla de valores para una función es obtener pares de coordenadas. Así que el primer par de coordenadas será menos uno, menos 19. El segundo será cero, menos 11. Y el tercer par será uno, menos tres.
Mirando la gráfica para identificar el punto de coordenadas menos uno, menos 19, interpretamos la coordenada 𝑥 yendo primero hacia la izquierda a menos uno, y luego la coordenada 𝑦 yendo hacia abajo hasta menos 19. Y hemos hallado que el punto 𝐼 está en la recta. Para las coordenadas cero, menos 11, no nos movemos a lo largo del eje 𝑥 pero bajamos hasta menos 11. Y hemos hallado que el punto 𝐻 también está en la recta de esta función. Para la tercera coordenada, notamos que si nos desplazamos una unidad a la derecha en el eje 𝑥 y luego descendemos menos tres, este será el punto 𝐺. Así que los tres puntos son 𝐼, 𝐻 y 𝐺. Si nos hubieran pedido graficar esta función y hubiéramos hallado estos tres pares de coordenadas, los habríamos señalado en el sistema de coordenadas. Y seguidamente podemos dibujar una recta que pase por los tres puntos.
En el siguiente ejemplo, vamos a ver qué hacer cuando tenemos una función que no está en la forma explícita 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐.
Considera la ecuación tres 𝑦 igual a seis 𝑥 más tres sobre dos. Reordena la ecuación en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. ¿Cuáles son la pendiente y la ordenada 𝑦 en el origen de la función? Usa la pendiente y la ordenada en el origen para identificar la gráfica correcta de la función.
Comencemos esta cuestión analizando la primera parte. Aquí, nos piden reorganizar nuestra ecuación y llevarla a la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. Podemos recordar que esta forma, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐, o, a menudo, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, es la forma explícita, la cual nos permite identificar datos clave de la gráfica. Podemos ver que nuestra ecuación tiene una 𝑦 y una 𝑥 de la misma manera que la forma explícita tiene una 𝑦 y una 𝑥. La diferencia aquí es que tenemos tres 𝑦 en lugar de simplemente 𝑦. Así que tendremos que dividir ambos lados de nuestra ecuación por tres.
Esto significa que, en el lado derecho, dividiremos por dos multiplicado por tres. Y como dos por tres es seis, tenemos 𝑦 igual a seis 𝑥 más tres sobre seis. Para simplificar esta fracción, podemos escribir el lado derecho como seis 𝑥 sobre seis más tres sobre seis. Esto es equivalente a 𝑦 igual a 𝑥 más un medio. Y esto significa que hemos reorganizado la ecuación en la forma explícita 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. Para la segunda parte, podemos recordar que cuando 𝑦 es igual a 𝑚𝑥 más 𝑐, entonces el coeficiente de 𝑥, la letra 𝑚, indica la pendiente o gradiente de la recta. El término constante 𝑐 representa el punto donde la recta atraviesa el eje 𝑦.
Cuando expresamos nuestra ecuación en esta forma, que es 𝑦 igual a 𝑥 más un medio, la pendiente está representada por el coeficiente de 𝑥, que en este caso es uno. La intersección con el eje 𝑦 es más un medio, que podemos escribir como un medio. Y así hemos respondido la segunda cuestión. Ahora podemos echar un vistazo a las opciones de gráficas para la tercera parte de la cuestión. Hemos visto que la ordenada 𝑦 en el origen de nuestra gráfica es un medio. Podemos ver en nuestra primera gráfica que la ordenada 𝑦 en el origen es un medio ya que la gráfica corta el eje 𝑦 en un medio. Por lo que esta puede ser una posible respuesta.
La segunda gráfica corta el eje 𝑦 en menos un medio. Así que podemos descartar esta gráfica. La tercera gráfica tiene una intersección con el eje 𝑦 de uno, así que esta tampoco sirve. Y la cuarta tiene una ordenada 𝑦 en el origen de menos uno. La gráfica final tiene una intersección con el eje 𝑦 de menos un medio. Así que esta tampoco funciona. Esto significa que solo nos queda una respuesta posible, pero conviene verificar si la pendiente es igual a uno.
Debemos recordar que, para hallar la pendiente de una recta entre dos puntos 𝑥 uno, 𝑦 uno, y 𝑥 dos, 𝑦 dos, calculamos 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Podemos seleccionar dos puntos cualesquiera de la recta. Aquí tenemos cero, un medio, y uno, tres medios. No importa cuál designemos como 𝑥 uno, 𝑦 uno y cuál designemos como 𝑥 dos, 𝑦 dos. En definitiva, para hallar la pendiente, tenemos que hacer tres medios menos un medio dividido entre uno menos cero. Y como tres medios menos un medio es uno y uno menos cero es uno, tenemos uno sobre uno, lo que significa que la pendiente es igual a uno. Así que nuestra respuesta es que es la primera gráfica la que representa la ecuación tres 𝑦 igual a seis 𝑥 más tres sobre dos.
Haciendo una tabla de valores, determina cuál de las siguientes gráficas representa la ecuación 𝑦 igual a un medio de 𝑥 más uno.
En esta cuestión, nos piden hacer una tabla de valores. Esta puede ser una herramienta muy útil para ayudarnos a dibujar las gráficas de funciones. La creación de una tabla de valores de 𝑥 y 𝑦 nos dará coordenadas de puntos de la gráfica. Entonces, ¿qué valores de 𝑥 elegimos? Bien, podemos ver que todas nuestras opciones gráficas van desde 𝑥 igual a menos cuatro hasta 𝑥 igual a cuatro. Por lo tanto, elegir valores en ese intervalo parece una opción sensata.
Para hallar el valor de 𝑦 para cada valor de 𝑥, sustituimos en la ecuación 𝑦 igual a un medio de 𝑥 más uno. Cuando 𝑥 es menos dos, tenemos 𝑦 igual a un medio por menos dos más uno. Y un medio por menos dos nos da menos uno. Tenemos 𝑦 igual a menos uno más uno, que es cero. Cuando 𝑥 es menos dos, 𝑦 es igual a cero. Cuando 𝑥 es igual a menos uno, tenemos 𝑦 igual a un medio por menos uno más uno. Y un medio por menos uno es menos un medio más uno. De este modo hemos hallado otro par de valores en la tabla.
Podemos continuar completando los valores en la tabla. Cuando hayamos completado la tabla de valores, podremos hallar coordenadas de puntos de la recta. Tomando el primer par de coordenadas, menos dos, cero, podemos ver que solo las rectas C y E tienen el punto con estas coordenadas. Si tratamos de hallar el segundo par de coordenadas, menos uno, un medio, en la gráfica C, podemos ver que será menos uno, menos un medio, lo que significa que podemos descartar la opción C. Podemos confirmar que la gráfica E pasa por la coordenada menos uno, un medio. También pasa por la coordenada cero, uno; uno, tres sobre dos; y dos, dos. Por lo tanto, la gráfica E representa la ecuación 𝑦 igual a un medio de 𝑥 más uno.
En este ejemplo, hemos visto cómo usar una tabla de valores para identificar la ecuación de una recta. En el siguiente ejemplo, vamos a usar los elementos de la ecuación para identificar la gráfica.
¿Cuál de las siguientes funciones está representada por la gráfica que se muestra? Opción A, 𝑦 es igual a tres medios 𝑥 más dos. Opción B, 𝑦 es igual a dos 𝑥 más dos tercios. Opción C, 𝑦 es igual a dos tercios de 𝑥 menos dos. Opción D, 𝑥 es igual a dos tercios de 𝑦 más dos. O la opción E, 𝑦 es igual a dos tercios de 𝑥 más dos.
Recordemos que la forma general de una función lineal es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏 o 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐, donde el término constante 𝑏 o 𝑐 representa la ordenada 𝑦 en el origen de la función. El valor de 𝑚 es la pendiente o gradiente de la recta. Por lo tanto, si hallamos la pendiente y la ordenada 𝑦 en el origen de la función dibujada, podremos determinar cuál es la función. Recordemos que, entre dos puntos de coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno, y 𝑥 dos, 𝑦 dos, la pendiente es igual a 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno.
Podemos seleccionar dos pares de coordenadas cualesquiera en la recta para 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos. Pero a menudo los más fáciles de identificar son aquellos que tienen valores enteros. Podemos ver aquí que cero, dos, y tres, cuatro están en la recta. No importa qué par de coordenadas designemos como 𝑥 uno, 𝑦 uno y cuál designemos como 𝑥 dos, 𝑦 dos. Para hallar la pendiente, sustituimos nuestros valores de 𝑦 dos y 𝑦 uno y obtenemos cuatro menos dos, todo partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno, que es tres menos cero. Simplificando esto, obtenemos una pendiente de dos tercios.
Para hallar la ordenada 𝑦 en el origen, miramos la gráfica para ver dónde corta el eje 𝑦. Y eso sucede cuando el valor de 𝑦 es dos. Luego podemos sustituir nuestros valores de pendiente y ordenada 𝑦 en el origen en la ecuación explícita. Hemos hallado que la pendiente 𝑚 es igual a dos tercios y la ordenada 𝑦 en el origen, o sea 𝑏, es igual a dos. Así que nuestra respuesta es la opción E, 𝑦 es igual a dos tercios de 𝑥 más dos.
Para finalizar vamos a resumir lo que hemos aprendido en este video. Hemos aprendido que una función lineal se puede expresar como 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, o 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. El valor de 𝑚 es la pendiente o gradiente de la recta. Y el valor constante 𝑏 o 𝑐, la ordenada en el origen, representa el punto donde la recta interseca el eje 𝑦. La pendiente de una recta es igual al cambio vertical dividido por el cambio horizontal. Y se puede calcular usando la fórmula 𝑦 dos menos 𝑦 uno, todo dividido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno, para dos puntos cualesquiera coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno, y 𝑥 dos, 𝑦 dos. Hemos visto que podemos graficar una función creando una tabla de valores y graficando los pares de coordenadas, o inspeccionando la ecuación para hallar el valor de la pendiente y el valor de la ordenada 𝑦 en el origen. Este segundo método es un poco más difícil, pero se vuelve más fácil cuanto más hayamos practicado dibujar gráficas de funciones lineales.
