Vídeo: Raíces de números complejos

En este video vamos a demostrar cómo usar el teorema de De Moivre para hallar las raíces 𝑛-ésimas de un número complejo y vamos a explorar las propiedades de estas raíces.

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Transcripción del vídeo

En esta lección vamos a explicar cómo usar el teorema de De Moivre para hallar las raíces 𝑛-ésimas de un número complejo y vamos a explorar las propiedades de estas raíces. Para mejor aprovechar este video debes sentirte cómodo hallando las raíces 𝑛-ésimas de la unidad. Pues este video busca extender estos conceptos a la determinación de las raíces 𝑛-ésimas de cualquier número complejo.

También vamos a considerar la relación entre las raíces 𝑛-ésimas de un número complejo y las raíces de la unidad, para seguidamente ver la interpretación geométrica y las aplicaciones de estas raíces. Comencemos por recordar el teorema de De Moivre para las raíces. Este dice que, para un número complejo de la forma 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, las raíces están dadas por 𝑟 elevado a uno sobre 𝑛 por cos de 𝜃 más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de 𝜃 más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛. Calculados estos argumentos para valores enteros de 𝑘 entre cero y 𝑛 menos uno.

En este video, vamos a usar este teorema para hallar raíces en las formas trigonométrica y exponencial. Veamos un ejemplo de cómo usar esta fórmula para resolver una ecuación que requiere hallar las raíces de un número complejo.

1) Resuelve 𝑧 a la quinta igual a 16 raíz de dos más 16𝑖 raíz de dos. 2) Representa las soluciones en un diagrama de Argand y describe las propiedades geométricas de las soluciones.

Para la primera parte, necesitamos resolver una ecuación que requiere hallar las raíces de un número complejo escrito en la forma binómica. Recuerda que el teorema de De Moivre para las raíces usa la forma trigonométrica o la forma exponencial de un número complejo en lugar de la forma binómica. Así que necesitamos comenzar calculando el módulo y el argumento del número complejo que está representado por 𝑧 a la quinta.

La parte real de este número complejo es 16 raíz de dos. Y su parte imaginaria también es 16 raíz de dos. Así que el módulo es bastante fácil de calcular. Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos dos números. Esto es la raíz cuadrada de 16 raíz de dos al cuadrado más 16 raíz de dos al cuadrado, que es simplemente 32. Así que el módulo es 𝑧 a la quinta que es 32.

En la forma exponencial, este es el valor de 𝑟. Su argumento es también fácil de hallar. El número complejo tiene su parte real y su parte imaginaria ambas positivas. Por lo tanto, debe estar en el primer cuadrante del diagrama de Argand. Esto significa que podemos usar la fórmula arctan de 𝑏 dividido por 𝑎, en donde 𝑏 es la parte imaginaria y 𝑎 es la parte real, para hallar el argumento de 𝑧 a la quinta. Eso es arctan de 16 raíz de dos sobre 16 raíz de dos.

Bien, de hecho, 16 raíz de dos dividido por 16 raíz de dos es uno. Por tanto, necesitamos hallar arctan de uno. Y este es un valor que debemos saber de memoria. Sabemos que tan de 𝜋 sobre cuatro es uno. De modo que actan de uno debe ser 𝜋 sobre cuatro. Así que el argumento de 𝑧 a la quinta es 𝜋 partido por cuatro. Y consecuentemente, en la forma exponencial, podemos escribir esta ecuación como 𝑧 a la quinta igual a 32𝑒 elevado a 𝜋 partido por cuatro 𝑖.

Para resolver esta ecuación, necesitamos hallar las raíces quintas de ambos lados. La raíz quinta de 𝑧 a la quinta es simplemente 𝑧. Y podemos decir que la raíz quinta de 32𝑒 elevado a 𝜋 por cuatro 𝑖 es 32𝑒 elevado a 𝜋 sobre cuatro 𝑖 elevado a uno sobre cinco. Comparando esto con la fórmula del teorema de De Moivre, vemos que 𝑟, el módulo, es 32. 𝜃, el argumento, es 𝜋 sobre cuatro. Y 𝑛 debe ser igual a cinco, lo que significa que 𝑘 va a tomar los valores de cero, uno, dos, tres y cuatro.

Aplicando este teorema a 𝑛 igual a cinco, obtenemos 𝑧 igual a 32 elevado a un quinto por 𝑒 elevado a 𝜋 partido por cuatro más dos 𝜋𝑘 sobre cinco 𝑖. 32 elevado a un quinto es dos. Y reemplazando 𝑘 igual a cero en la ecuación, vemos que esta solución es dos 𝑒 elevado a 𝜋 partido por 20, 𝑖.

Nuestra segunda solución es dos 𝑒 elevado a nueve 𝜋 partido por 20, 𝑖. Cuando 𝑘 es igual a dos, obtenemos dos 𝑒 elevado a 17𝜋 partido por 20, 𝑖. Reemplazando 𝑘 igual a tres en nuestra ecuación y luego restando dos 𝜋 del argumento para que esté dentro del rango del argumento principal, vemos que la cuarta solución es dos 𝑒 elevado a menos tres 𝜋 partido por cuatro, 𝑖. Y de manera similar, la solución final es dos 𝑒 elevado a menos siete 𝜋 sobre 20, 𝑖.

Y aquí tenemos las cinco soluciones de la ecuación 𝑧 elevado a la quinta igual a 16 raíz de dos más 16𝑖 raíz de dos. Y las hemos expresado en la forma exponencial.

Para la segunda parte, vamos a necesitar trazar estas soluciones en un diagrama de Argand. Una forma de hacer esto es convertir estos números de vuelta a la forma binómica. Una vez que conocemos sus partes real e imaginaria, podemos representarlas fácilmente en un diagrama de Argand. Alternativamente, podemos hacer uso de que el módulo es dos y usar sus argumentos para posicionar estas raíces. De cualquier manera, vemos que están situadas en los vértices de un pentágono regular, inscrito en una circunferencia de radio dos y centrada en el origen.

Geométricamente, podemos decir que las raíces 𝑛-ésimas de un número complejo, al igual que las raíces 𝑛-ésimas de la unidad, están situadas en los vértices de un polígono regular con 𝑛 lados y 𝑛 vértices. De hecho, hay mucha relación entre estas raíces y las raíces de la unidad. Veamos ahora con más detalle esta relación.

1) Halla las soluciones de la ecuación 𝑧 elevado a seis igual a 125𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre tres 𝑖. ¿Cuáles son sus propiedades geométricas? 2) Halla las raíces sextas de la unidad. Y 3) ¿Cuál es la relación entre las raíces sextas de la unidad y las soluciones de la ecuación 𝑧 elevado a seis igual a 125𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre tres 𝑖?

Aquí tenemos una ecuación que implica hallar las raíces de un número complejo. Para resolver esta ecuación, vamos a necesitar hallar las raíces sextas de ambos lados. Y para hacer esto, necesitaremos aplicar el teorema de De Moivre de las raíces. Este nos dice que las soluciones a esta ecuación están dadas por 125 elevado a un sexto por 𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre tres más dos 𝜋𝑘 sobre seis 𝑖, en donde 𝑘 toma los valores desde cero hasta cinco.

Reemplazamos estos valores de 𝑘 en nuestra fórmula y después restamos múltiplos de dos 𝜋 del argumento cuando sea necesario para expresar el argumento dentro del rango del argumento principal. Y vemos que nuestras soluciones a la ecuación son raíz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nueve 𝑖, raíz de cinco 𝑒 elevado a cuatro 𝜋 sobre nueve 𝑖, raíz de cinco 𝑒 elevado a siete 𝜋 sobre nueve 𝑖, raíz de cinco 𝑒 elevado a menos ocho 𝜋 sobre nueve 𝑖, raíz de cinco 𝑒 elevado a menos cinco 𝜋 sobre nueve 𝑖, y raíz de cinco 𝑒 elevado a menos dos 𝜋 partido por nueve 𝑖.

Como esperábamos, cuando las disponemos en un diagrama de Argand, vemos que las raíces están situadas en los vértices de un hexágono regular. Y este hexágono está inscrito en una circunferencia cuyo centro es el origen y cuyo radio es raíz de cinco.

Para ayudarnos a responder la segunda y tercera parte de esta cuestión, vamos a dejar el diagrama de Argand en su lugar. Nos será útil enseguida. De manera similar, podemos usar el teorema de De Moivre para hallar las raíces sextas de la unidad. O simplemente podemos recordar que son uno, 𝑒 elevado a 𝜋 sobre tres 𝑖, 𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre tres 𝑖, menos uno, 𝑒 elevado a menos dos 𝜋 sobre tres 𝑖, y 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre tres 𝑖.

Así que para hallar la relación entre las raíces sextas de la unidad y las soluciones a nuestra ecuación, recordemos la interpretación geométrica de las raíces sextas de la unidad. Las raíces sextas de la unidad están representadas geométricamente por los vértices de un hexágono regular. En este caso, este hexágono está inscrito en una circunferencia unitaria. Y su centro es, por supuesto, el origen. Y podemos ver que podemos transformar las raíces sextas de la unidad en las raíces de nuestra ecuación mediante una homotecia de razón raíz de cinco seguida por una rotación en sentido antihorario de ángulo 𝜋 sobre nueve radianes.

Una forma de llevar esto a cabo consiste en multiplicar las raíces por un número complejo cuyo módulo es la raíz cuadrada de cinco y cuyo argumento es 𝜋 sobre nueve. En otras palabras, raíz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nueve 𝑖. Esto significa que, si llamamos a las raíces sextas de la unidad uno, 𝜔, 𝜔 al cuadrado hasta 𝜔 a la quinta, las raíces de nuestra ecuación se pueden expresar como raíz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nueve 𝑖, 𝜔 por raíz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nueve 𝑖, hasta 𝜔 elevado a cinco por raíz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nueve 𝑖. Y estos resultados habrían sido válidos igualmente si hubiéramos utilizado cualquiera de las otras raíces de 𝑧 elevado a seis igual a 125𝑒 elevado a dos 𝜋 partido por tres 𝑖.

Tratemos de generalizar esto. Si 𝑧 uno es una raíz de la ecuación 𝑧 elevado a 𝑛 menos 𝑤 igual a cero y uno, 𝜔, 𝜔 al cuadrado, hasta 𝜔 elevado a 𝑛 menos uno son las raíces 𝑛-ésimas de la unidad, las raíces de 𝑧 elevado a 𝑛 menos 𝑤 igual a cero son 𝑧 uno, 𝑧 uno multiplicado por 𝜔, 𝑧 uno multiplicado por 𝜔 al cuadrado, hasta 𝑧 uno multiplicado por 𝜔 elevado a 𝑛 menos uno.

Podemos pensar en esto geométricamente. Sabemos que la multiplicación por un número complejo cuyo módulo es uno representa una rotación en sentido antihorario cuyo ángulo es el argumento de ese número complejo. Así que si comenzamos en una raíz de 𝑧 elevado a 𝑛 menos 𝑤 igual a cero, cada rotación por un ángulo de dos 𝜋 partido por 𝑛 asignará el vértice de esta raíz a los vértices que representan las otras raíces. Veamos un ejemplo de esta interpretación geométrica.

Halla las coordenadas de los vértices de un pentágono regular centrado en el origen con un vértice en tres, tres.

Como estamos trabajando con un pentágono, debemos tratar de relacionar esto con las raíces quintas de un número complejo. Sabemos que, en un diagrama de Argand, las raíces quintas de la unidad forman un pentágono regular. Este pentágono está inscrito en una circunferencia unitaria cuyo centro es el origen. Y uno de los vértices está en el punto cuyas coordenadas son uno, cero. Así que vamos a considerar en el plano complejo un diagrama de Argand que contiene un pentágono regular.

Podemos transformar este pentágono en un pentágono regular centrado en el origen y con un vértice en 𝑧 uno multiplicando cada una de las raíces quintas de la unidad por 𝑧 uno. Y esto es el equivalente a hallar las raíces quintas de 𝑧 uno elevado a la quinta.

Podemos usar la fórmula de De Moivre o simplemente recordar que las raíces quintas de la unidad son uno, 𝜔, 𝜔 al cuadrado, 𝜔 al cubo y 𝜔 a la cuarta, en donde 𝜔 es igual a 𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre cinco 𝑖. Como uno de los vértices de nuestro pentágono está en el punto tres, tres, el cual representa el número complejo tres más tres 𝑖, podemos decir que 𝑧 uno es igual a tres más tres 𝑖.

Y ahora sabemos que si 𝑧 uno es una raíz de la ecuación 𝑧 elevado a 𝑛 menos 𝑤 igual a cero y 𝜔 elevado a cero hasta 𝜔 elevado a 𝑛 menos uno son las raíces 𝑛-ésimas de la unidad, entonces las raíces de 𝑧 elevado a 𝑛 menos 𝑤 igual a cero son 𝑧 uno, 𝑧 uno por 𝜔, 𝑧 uno por 𝜔 al cuadrado, hasta 𝑧 uno por 𝜔 elevado a 𝑛 menos uno. Podemos hallar las coordenadas de los vértices de un pentágono regular multiplicando nuestro 𝑧 uno por las raíces quintas de la unidad.

Pero antes de esto, necesitamos escribirlo en la forma exponencial. El módulo de 𝑧 uno es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. Esto es la raíz cuadrada de tres al cuadrado más tres al cuadrado, que es tres raíz de dos. Y como las partes real e imaginaria son positivas, sabemos que se halla en el primer cuadrante. Así que su argumento es arctan de tres dividido por tres, que es 𝜋 sobre cuatro. Y podemos decir que 𝑧 uno es igual a tres raíz de dos 𝑒 elevado a 𝜋 partido por cuatro 𝑖.

El resto de las raíces y, por lo tanto, los otros vértices de nuestro pentágono estarán dados por 𝑧 uno por 𝜔, 𝑧 uno por 𝜔 al cuadrado… y así hasta 𝑧 uno por 𝜔 a la cuarta. Y 𝑧 uno por 𝜔 es tres raíz de dos 𝑒 elevado a 𝜋 sobre cuatro 𝑖 por 𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre cinco 𝑖. Y recuerda que para multiplicar números complejos en forma exponencial, multiplicamos sus módulos y después sumamos sus argumentos. Esto significa que nuestra segunda raíz es tres raíz de dos 𝑒 elevado a 13𝜋 partido por 20𝑖.

Como queremos hallar las coordenadas, vamos a necesitar convertir esto a la forma binómica. Y para convertir de la forma exponencial a la forma binómica, primero lo convertimos a la forma trigonométrica. Es decir tres raíz de dos por cos 13𝜋 sobre 20 más 𝑖 sen de 13𝜋 sobre 20. Desarrollando los paréntesis, vemos que es lo mismo que tres raíz de dos cos de 13𝜋 sobre 20 más tres raíz de dos 𝑖 sen de 13𝜋 sobre 20. Así que el segundo vértice de nuestro pentágono se encuentra en el punto con coordenadas cartesianas tres raíz de dos cos de 13𝜋 sobre 20, tres raíz de dos sen de 13𝜋 sobre 20.

Repetimos este proceso con el tercer vértice. Y restamos dos 𝜋 del argumento de modo que podamos expresar el argumento dentro del rango para el argumento principal. Y vemos que la tercera solución es tres raíz de dos 𝑒 elevado a menos 19 sobre 20𝜋𝑖. Una vez más, representando esto en la forma trigonométrica y desarrollando los paréntesis, hallamos que las coordenadas aquí son tres raíz de dos cos de menos 19𝜋 sobre 20, tres raíz de dos sen de menos 19𝜋 sobre 20.

Podemos repetir este proceso para 𝑧 uno por 𝜔 al cubo y 𝑧 uno por 𝜔 a la cuarta. Y hallamos que los vértices del pentágono se encuentran en el punto cuyas coordenadas cartesianas son tres, tres; tres raíz de dos cos 13𝜋 sobre 20, tres raíz de dos sen 13 𝜋 sobre 20, tres raíz de dos cos de menos 19 𝜋 sobre 20, tres raíz de dos sen de menos 19𝜋 sobre 20. Tenemos también tres raíz de dos cos de menos 11𝜋 sobre 20, tres raíz de dos sen de menos 11𝜋 sobre 20, y tres raíz de dos cos de menos tres 𝜋 sobre 20, tres raíz de dos sen de menos tres 𝜋 sobre 20.

Y existen otras propiedades geométricas interesantes de las raíces 𝑛-ésimas de números complejos. Vamos a considerar un ejemplo más.

1) Halla las raíces de 𝑧 a la octava más 16 igual a cero. 2) Los cuadrados de los números complejos que representan las raíces de 𝑧 a la octava más 16 igual a cero están situados en los vértices de una figura geométrica. ¿Cuál es el área de la figura?

Comencemos con la primera parte. Para resolver esta ecuación, restamos 16 de ambos lados para obtener 𝑧 a la octava igual a menos 16. Y después hallamos las raíces octavas de ambos lados. Pero para aplicar el teorema de De Moivre para las raíces, el menos 16 tiene que estar expresado en forma exponencial o polar.

Escribamos esto en forma exponencial. Su módulo es 16. Y como es un número real puro, que se halla en el semieje real negativo de un diagrama de Argand, su argumento es 𝜋 radianes. Y por lo tanto, las soluciones a nuestra ecuación son las raíces octavas de 16𝑒 elevado a 𝜋𝑖. Aplicamos el teorema de De Moivre y vemos que las raíces están dadas por 16 elevado a un octavo por 𝑒 elevado a 𝜋 más dos 𝜋𝑘 sobre ocho 𝑖, en donde 𝑘 toma valores de cero a siete.

Nuestras raíces, con argumentos expresados en el rango del argumento principal, son raíz de dos 𝑒 elevado a 𝜋 sobre ocho 𝑖, raíz de dos 𝑒 elevado a tres 𝜋 sobre ocho 𝑖, hasta raíz de dos 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre ocho 𝑖. Y dado que estas son las raíces octavas de un número complejo, deducimos que estarán situadas en los vértices de un octágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio es raíz de dos y cuyo centro es el origen.

¿Y qué podemos decir de la segunda parte? Bien, para elevar al cuadrado un número complejo en forma exponencial, hallamos el cuadrado de su módulo y duplicamos su argumento. Observa cómo nuestras ocho raíces han disminuido a cuatro. Estas raíces representan los vértices de un cuadrado inscrito en una circunferencia de dos unidades de radio. Su área se puede hallar usando el teorema de Pitágoras. Que muestra que los lados son de longitud dos raíz de dos. Así que su área es dos raíz de dos al cuadrado. Es decir ocho unidades cuadradas.

¿Predijiste lo que pasaría cuando elevamos al cuadrado las raíces? En realidad, tiene mucho sentido que la cantidad de raíces se reduzca a la mitad. Básicamente, es como hallar las raíces cuartas de nuestra ecuación original, que sabemos que forma los vértices de un cuadrado.

En este video hemos aprendido que podemos usar el teorema de De Moivre para hallar raíces arbitrarias de números complejos. Hemos visto que si 𝑧 uno es una de las raíces 𝑛-ésimas de un número complejo, sus otras raíces están dadas por 𝑧 uno 𝜔, 𝑧 uno 𝜔 al cuadrado, hasta 𝑧 uno 𝜔 elevado a 𝑛 menos uno. Y esto aplica si 𝜔 es la raíz primitiva de la unidad. También hemos visto que podemos usar las propiedades geométricas de las raíces de números complejos para ayudarnos a determinar la posición de polígonos regulares trazados en el plano.

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