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Vídeo: Demostración usando álgebra básica de que 1 = 2

En este video, presentamos una sencilla y convincente prueba algebraica de que 1 es igual a 2, pero la examinamos detenidamente y hallamos un error en el razonamiento.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo, vamos a utilizar un poco de álgebra básica para demostrar que uno es igual a dos. Bueno, tal vez.

En primer lugar, definimos dos variables, 𝑝 y 𝑞. Y decimos que el valor de 𝑝 es igual al valor de 𝑞. Escribimos, pues, la ecuación 𝑝 es igual a 𝑞. Ahora tomamos esta ecuación y la multiplicamos por 𝑝. Entonces, 𝑝 por 𝑝 es igual a 𝑝 por 𝑞 o simplemente 𝑝𝑝 igual a 𝑝𝑞. Ahora bien! 𝑝𝑝 simplemente significa 𝑝 por 𝑝 o 𝑝 al cuadrado, por lo que podemos decir que 𝑝 al cuadrado es igual a 𝑝 por 𝑞 o 𝑝𝑞.

Y ahora restamos 𝑞 al cuadrado de ambos lados de esa ecuación. Así que hemos hecho lo mismo en ambos lados de esa ecuación, por lo que sigue siendo una ecuación. Y 𝑝 al cuadrado menos 𝑞 al cuadrado es igual a 𝑝𝑞 menos 𝑞 al cuadrado. Ahora bien, a una cosa al cuadrado menos otra cosa al cuadrado es una diferencia de cuadrados. Y una diferencia de cuadrados se puede factorizar de la siguiente manera: 𝑝 al cuadrado menos 𝑞 al cuadrado es igual a 𝑝 menos 𝑞 por 𝑝 más 𝑞.

Vamos a probar esta identidad: 𝑝 por 𝑝 es 𝑝 cuadrado; 𝑝 por 𝑞 es 𝑝𝑞; menos 𝑞 por 𝑝 es menos 𝑞𝑝; y menos 𝑞 por 𝑞 es menos 𝑞 al cuadrado. Sigamos: 𝑝𝑞 significa 𝑝 por 𝑞, y 𝑞𝑝 significa 𝑞 por 𝑝. Pero la multiplicación es conmutativa, y eso significa que no importa en qué orden se multiplican las cosas. Así que 𝑝 por 𝑞 es lo mismo que 𝑞 por 𝑝, y eso significa que puedo reescribir 𝑞𝑝 como 𝑝𝑞.

Así que nuestra expresión es ahora 𝑝 al cuadrado más 𝑝𝑞 menos 𝑝𝑞 menos 𝑞 al cuadrado. Y 𝑝𝑞 menos 𝑝𝑞 es cero, nada. Y multiplicando 𝑝 menos 𝑞 por 𝑝 más 𝑞, he probado que estas dos expresiones son iguales. Y eso significa que puedo escribir el lado izquierdo de mi ecuación de esta manera. Así que ahora tengo 𝑝 menos 𝑞 por 𝑝 más 𝑞 igual a 𝑝𝑞 menos 𝑞 al cuadrado.

Así que he factorizado el lado izquierdo de nuestra ecuación. Pero en la derecha, podemos ver que ambos términos también tienen un factor común de 𝑞, por lo que también puedo factorizar ese lado. Así que ahora tenemos 𝑝 menos 𝑞 por 𝑝 más 𝑞 es igual a 𝑞 por 𝑝 menos 𝑞. Ahora bien, tenemos 𝑝 menos 𝑞 en ambos lados de nuestra ecuación, por lo que, si divido ambos lados por 𝑝 menos 𝑞, tendré 𝑝 menos 𝑞 tanto en el numerador como en el denominador de ambos lados y podré cancelarlo.

𝑝 menos 𝑞 dividido por 𝑝 menos 𝑞 en el lado izquierdo es uno e igualmente en el lado derecho. Así que, en el lado izquierdo, tengo una vez 𝑝 más 𝑞 sobre uno, que es solo 𝑝 más 𝑞. Y en el lado derecho, tengo 𝑞 por uno sobre uno, que es solo 𝑞. Y eso me deja con 𝑝 más 𝑞 igual a 𝑞.

Recordemos ahora que al principio habíamos dicho que 𝑝 es igual a 𝑞, y eso significa que puedo sustituir 𝑝 por 𝑞 en la ecuación, lo que nos da 𝑞 más 𝑞 igual a 𝑞. Bien, 𝑞 más 𝑞 es igual a dos 𝑞. Así que, obtenemos, dos 𝑞 igual a 𝑞. Ahora puedo dividir ambos lados por 𝑞; y a la izquierda, 𝑞 dividido por 𝑞 es uno; y a la derecha, igualmente, 𝑞 entre 𝑞 es uno. Y eso nos deja con dos por uno sobre uno en el lado izquierdo, que es dos, y uno dividido por uno en el lado derecho, que es uno.

¡Así que, lo conseguimos! Dos es igual a uno, o, lo que es lo mismo, uno es igual a dos. Así que ahí está: ¡Nos hemos cargado las matemáticas! ¡Las hemos hecho papilla! Bueno, bueno, tranquilos, pausemos el vídeo, examinemos nuestro razonamiento detenidamente y veamos si podemos encontrar algún error en nuestra lógica.

Lo cierto es que uno no es igual a dos. Si lo fuera, creo que ya lo habríamos escuchado en las noticias. Así que vamos a revisar nuestro razonamiento línea por línea y vamos a ver si podemos aclarar lo que sucedió. Veamos: definir dos variables 𝑝 y 𝑞 y decir que son iguales, no hay ningún problema con eso. Y está perfectamente bien multiplicar ambos lados de esa igualdad por la misma cantidad 𝑝. Y sí, 𝑝 al cuadrado es igual a 𝑝 por 𝑝, por lo que es correcto.

También restar lo mismo de ambos lados de nuestra ecuación lo mantiene igual, por lo que también está bien. También vimos con mucho detalle la factorización de la diferencia de dos cuadrados, y eso está perfectamente bien también. Y sacar el factor común de 𝑞 en el lado derecho, eso está perfectamente bien.

Seguidamente, para pasar de la igualdad seis a la igualdad siete se dividen ambos lados por 𝑝 menos 𝑞. Bueno, esto normalmente podría estar bien, pero dijimos al principio que 𝑝 es igual a 𝑞. Por lo tanto, 𝑝 menos 𝑞 es igual a una cantidad menos la misma cantidad; y eso es cero. Por lo tanto, hemos dividido ambos lados de nuestra ecuación por cero. Y eso es un problema. Pues, ¿cuánto es uno dividido por cero? Bien, no importa cuántas veces sumes cero a sí mismo, nunca, nunca alcanzarás uno.

Un número dividido por cero no tiene un valor definido, no existe. Por lo tanto, cuando realizas divisiones en ecuaciones, debes asegurarte de que no estás dividiendo por cero. Muy bien, veámoslo ahora de una manera un poco diferente. En la línea seis, tenemos 𝑝 menos 𝑞 por 𝑝 más 𝑞, pero 𝑝 menos 𝑞 es cero. Así que el lado izquierdo realmente significa cero por 𝑝 más 𝑞, y 𝑝 menos 𝑞 también es cero en el lado derecho, por lo que se convierte en 𝑞 por cero.

Entonces estamos diciendo que cero por algo es igual a algo por cero. Bueno, cero por algo es cero y algo por cero es cero, por lo que aquí estamos diciendo que cero es igual a cero. Y sí, eso es cierto. Pero eso no significa que las cantidades que estamos multiplicando por cero también sean iguales. Por lo tanto, al pasar de la línea seis a la línea siete, no sabemos que 𝑝 más 𝑞 es igual a 𝑞. Solo sabemos que cero por 𝑝 más 𝑞 es igual a cero por 𝑞. Y eso significa que todo esto está mal; no hemos probado que uno es igual a dos, hemos demostrado que cero por uno es igual a cero por dos. ¡Hurra! ¡Las Matemáticas han sido salvadas de nuevo!