Vídeo: Límites de funciones trigonométricas

En este video, vamos a aprender cómo evaluar límites de funciones trigonométricas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo hallar límites de funciones trigonométricas. Vamos a usar algunos resultados para ayudarnos. Comencemos por recordar la definición de límite. Si el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 existe, podemos decir que es igual a alguna constante 𝐿. Y esto significa que cuando 𝑥 tiende a 𝑎. La función 𝑓 de 𝑥 tiende a 𝐿.

Cuando calculamos límites de funciones trigonométricas, algunos de estos límites pueden ser hallados usando sustitución directa, por ejemplo, los límites de sen 𝑥 y cos 𝑥. Otras funciones requieren el uso de identidades trigonométricas, como esta que mostramos aquí, para expresarlas en una forma donde podamos usar la sustitución directa.

Pero existen algunos casos para los que la sustitución directa no funciona. Un caso como ese es el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen 𝑥 sobre 𝑥. Si intentamos usar sustitución directa aquí, obtenemos sen de cero sobre cero, que es igual a cero sobre cero. Y esto no está definido. Y para resolver esto necesitamos nuestra primera igualdad, que no vamos a demostrar, pero que vamos a usar para ayudarnos a hallar límites de funciones trigonométricas. Y esta igualdad dice que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen 𝑥 sobre 𝑥 es igual a uno.

La demostración de esta igualdad está fuera del alcance de este video. Sin embargo, si pensamos en este resultado de cierta manera, podemos obtener una visión intuitiva de por qué funciona. Si pensamos en ángulos muy pequeños, nos daremos cuenta de que, cuando 𝑥 es un ángulo muy pequeño, sen de 𝑥 es aproximadamente igual a 𝑥. En nuestro límite, estamos hallando el límite cuando 𝑥 tiende a cero. Esto significa que 𝑥 será cada vez más pequeño. Y por eso tiene sentido que usemos nuestra aproximación de ángulos pequeños. Obtenemos que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen 𝑥 sobre 𝑥 es aproximadamente igual a 𝑥 sobre 𝑥. Cancelando la 𝑥 en el numerador y en el denominador de la fracción obtenemos el resultado de uno.

Otra forma de llegar intuitivamente a este límite es dibujar la gráfica de sen 𝑥 sobre 𝑥. Trazando la gráfica podemos ver que la curva se acerca a uno en cero. Obtendríamos un resultado similar haciendo una tabla de valores para sen de 𝑥 sobre 𝑥. Resolvamos ahora un ejemplo usando esta igualdad.

Evalúa el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen de 𝑥 sobre sen de 𝑥 sobre dos.

Primero podemos tratar de resolver este límite utilizando sustitución directa. Sustituimos 𝑥 igual a cero en nuestra función. Sin embargo, esto nos deja con cero sobre cero, que no está definido. Tendremos que hallar este límite por otros medios. Intentemos usar la regla de que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen 𝑥 sobre 𝑥 es igual a uno.

Para obtener algo de esta forma, necesitamos multiplicar tanto el numerador como el denominador de nuestro límite por 𝑥. Hacer esto nos ayuda a escribir nuestro límite como el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen 𝑥 sobre 𝑥 multiplicado por 𝑥 sobre sen de 𝑥 sobre dos.

A continuación, vamos a usar la regla del límite, la cual nos dice que el límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de las funciones. Obtenemos esto. Notamos que el límite a la izquierda del producto es idéntico al límite en nuestra regla. Y por tanto podemos decir que este límite es simplemente uno.

Para evaluar el otro límite, reescribamos nuestra regla pero, en lugar de escribir 𝑥, escribiremos 𝑥 sobre dos. 𝑥 sobre dos aproximándose a cero es lo mismo que 𝑥 aproximándose a cero. Y así podemos escribir esto aquí. A continuación, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por dos. Esto nos lleva a que el límite cuando 𝑥 se acerca a cero de dos sin de 𝑥 sobre dos sobre 𝑥 es igual a uno.

Y ahora tenemos una constante dentro de nuestro límite, que es dos. Así que podemos factorizar esta constante fuera de nuestro límite. Y ahora simplemente dividimos ambos lados de la ecuación por dos. El límite a la izquierda de la ecuación aquí se parece mucho al límite que estamos tratando de evaluar. La única diferencia es que las fracciones en los dos límites son recíprocas entre sí.

Para que estos dos límites sean idénticos, utilizaremos el hecho de que el límite de un recíproco es igual al recíproco del límite. Lo que esto significa es que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑥 sobre el sen de 𝑥 sobre dos es igual a uno sobre el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen de 𝑥 sobre dos sobre 𝑥. Acabamos de demostrar que este límite es igual a la mitad. Entonces podemos sustituir esto aquí. Y esto nos da uno sobre un medio, que es simplemente igual a dos.

Y hemos hallado, pues, el valor del límite que estamos tratando de evaluar. Y podemos sustituir esto de nuevo en nuestra ecuación. Y esto nos dice que el límite cuando 𝑥 se acerca a cero de sen 𝑥 sobre sen de 𝑥 sobre dos es igual a uno multiplicado por dos, lo que nos da una solución de dos.

Un método alternativo para resolver esta cuestión es usar una identidad trigonométrica. Podemos usar el hecho de que sen de dos 𝜃 es igual a dos sin 𝜃 cos 𝜃. Si hacemos 𝜃 igual a 𝑥 sobre dos, obtenemos que sen de 𝑥 es igual a dos sen de 𝑥 sobre dos multiplicado por cos de 𝑥 sobre dos. Y podemos sustituir este valor de sen de 𝑥 en el numerador de nuestro límite. Haciendo esto obtenemos límite cuando 𝑥 se acerca a cero de dos sen de 𝑥 sobre dos multiplicado por cos de 𝑥 sobre dos todo partido por sen de 𝑥 sobre dos.

Y así podemos cancelar sen de 𝑥 sobre dos en la parte superior e inferior de la fracción. Esto nos deja con el límite cuando 𝑥 se acerca a cero de dos cos de 𝑥 sobre dos. Y ahora sí podemos aplicar sustitución directa. Y dado que cos de cero es igual a uno, obtenemos la misma solución de antes, dos.

En el ejemplo anterior, vimos cómo podemos hacer uso de que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen de 𝑥 sobre 𝑥 es igual a uno para demostrar que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑥 sobre sen de 𝑥 sobre dos es igual a dos. Veamos ahora el caso general del límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen de 𝑎𝑥 sobre 𝑥.

Tomando nuestra igualdad original y reemplazando 𝑎𝑥 por 𝑥, obtenemos esto. Sin embargo, como 𝑎 es una constante, si 𝑎𝑥 tiende a cero, 𝑥 tiende a cero. Así que en lugar de escribir 𝑎𝑥 tiende a cero, podemos escribir simplemente 𝑥 tiende a cero porque son equivalentes.

A continuación, podemos factorizar 𝑎 en el denominador de nuestra fracción. Nuestra fracción se convierte en uno sobre 𝑎 multiplicado por sen de 𝑎𝑥 sobre 𝑥. Ya que uno sobre 𝑎 es una constante, podemos factorizarla fuera de nuestro límite.

Para nuestro último paso multiplicamos ambos lados por 𝑎. Y esto nos deja con una nueva igualdad. Tenemos que cuando el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 es igual a 𝑎. Y ahora podemos usar este resultado para hallar el límite cuando 𝑥 tiende a cero de tan de 𝑎𝑥 sobre 𝑥. Comenzamos por escribir tan de 𝑎𝑥 como sen de 𝑎𝑥 sobre cos de 𝑎𝑥.

Y ahora vamos a usar el hecho de que el límite de un producto de funciones es igual al producto del límite de aquellas funciones. Y obtenemos esto. Y podemos ver que el límite en el lado izquierdo es equivalente a la igualdad que acabamos de derivar. Y por lo tanto es igual a 𝑎. Y podemos usar sustitución directa para hallar el límite en el lado derecho. Como cos de cero es simplemente uno, hallamos que este límite es igual a 𝑎. Y hemos demostrado un nuevo resultado. Y es que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de tan 𝑎𝑥 sobre 𝑥 es igual a 𝑎. Ahora estamos listos para pasar al siguiente ejemplo.

Halla el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen al cuadrado de siete 𝑥 más tres tan al cuadrado de tres 𝑥 sobre ocho 𝑥 al cuadrado.

Si intentásemos usar sustitución directa, obtendríamos cero sobre cero, lo cual no está definido. Intentemos hallar este límite usando nuestros resultados anteriores. También vamos a usar el hecho de que el límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones. Por tanto, podemos escribir nuestro límite como la suma de estos dos límites. Vemos que podemos sacar un factor de un octavo del primer límite y un factor de tres octavos del segundo límite.

Después notamos que tanto el numerador como el denominador son cuadrados, lo que nos permite escribir nuestros límites así. Podemos usar el hecho de que el límite de una función al cuadrado es igual al cuadrado del límite de la función. Al hacerlo, nos quedamos con esto. Y vemos que nuestros límites son muy similares a los que escribimos al principio.

Si hacemos 𝑎 igual a siete en nuestra igualdad de más arriba, vemos que nuestro límite en el lado izquierdo debe valer siete. Y reemplazando 𝑎 igual a tres en aquella misma regla, vemos que nuestro límite en el lado derecho debe valer tres. Obtenemos un octavo multiplicado por siete al cuadrado más tres octavos multiplicado por tres al cuadrado. Simplificando esto, obtenemos una solución de 19 medios.

A continuación, vamos a ver una regla diferente pero muy útil para hallar límites de funciones trigonométricas de otra forma. La regla que vamos a usar es que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos cos 𝑥 sobre 𝑥 es igual a cero. Una vez más, la demostración de esta regla está fuera del alcance de este video. Sin embargo, podemos deducir esta regla intuitivamente considerando la aproximación del coseno para ángulos pequeños.

Para valores pequeños de 𝑥, cos de 𝑥 es aproximadamente igual a uno menos 𝑥 al cuadrado sobre dos. Así que, cuando 𝑥 tiende a cero, cos de 𝑥 tiende a uno menos 𝑥 al cuadrado sobre dos. Hallamos que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos cos de 𝑥 sobre 𝑥 es aproximadamente igual al límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos uno menos 𝑥 al cuadrado sobre dos todo sobre 𝑥, que se simplifica al límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑥 partido por dos. Usando sustitución directa, vemos que esto es igual a cero, que coincide con el resultado que mencionamos al principio.

Otra forma de ver esto de forma intuitiva es considerar la gráfica de uno menos cos de 𝑥 sobre 𝑥. Partiendo del gráfico podemos ver que cuando el valor de 𝑥 se acerca a cero, la gráfica de la función también se acerca a cero. Y obtendríamos un resultado similar usando una tabla de valores. Veamos otro ejemplo.

Determina el límite cuando 𝑥 tiende a cero de nueve menos nueve cos de siete 𝑥 sobre tres 𝑥.

Primero nos damos cuenta de que podemos cancelar un factor de tres de la parte superior e inferior de esta fracción, Lo que nos deja con este límite. Seguidamente notamos que podemos sacar un factor tres fuera del límite. Pero si intentamos realizar una sustitución directa en este punto, obtendremos cero sobre cero, que no está definido.

En lugar de usar que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos cos de 𝑥 sobre 𝑥 es igual a cero. Podemos de hecho generalizar esta fórmula y demostrar que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos cos de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 es igual a cero, donde 𝑎 es cualquier constante. Podemos hacer esto poniendo 𝑎𝑥 en lugar de 𝑥 en la primera regla. Obtenemos que el límite cuando 𝑎𝑥 tiende a cero de uno menos cos de 𝑎𝑥 sobre 𝑎𝑥 es igual a cero.

Como 𝑎 es una constante y 𝑎𝑥 tiende a cero, 𝑥 también tiende a cero. En lugar de escribir 𝑎𝑥 tiende a cero, podemos simplemente escribir 𝑥 tiende a cero. Después nos damos cuenta de que tenemos un factor de 𝑎 en el denominador de esta fracción. Así que podemos factorizar esta 𝑎 fuera del límite.

Luego, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 𝑎. Como el lado de la derecha es cero, cero por 𝑎 nos da cero. Así que el lado derecho se mantiene como cero. Así que hemos hallado que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos cos de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 es cero, que es lo que estamos tratando de demostrar. Sustituyendo 𝑎 igual a siete en esta fórmula, podemos ver que nuestro límite es simplemente cero. Y como tres multiplicado por cero es cero, la solución aquí es simplemente cero.

A continuación, tenemos un ejemplo un poco más difícil.

Halla el límite cuando 𝑥 tiende a 𝜋 sobre dos de dos menos dos sen de 𝑥 sobre cuatro 𝑥 menos dos 𝜋.

Primero tratamos de resolver esto usando la sustitución directa. Sin embargo, obtenemos cero sobre cero, lo cual no está definido. Así que debemos hallar este límite de otra manera. Comencemos por cancelar un factor de dos en el numerador y en el denominador de la fracción. Ahora consideremos algunas de las reglas que sabemos. Al considerar la primera regla aquí, notamos que el valor dentro del seno debe ser el mismo que el valor en el denominador de la función. En nuestro límite, tenemos sen de 𝑥 en el numerador. Sin embargo, en el denominador, tenemos dos 𝑥 menos 𝜋. Y estas dos cosas no son iguales. Por lo tanto, no podemos usar esta primera regla.

Para poder usar la segunda regla necesitamos un cos 𝑥 en el numerador. Pero, en nuestro límite, tenemos un seno. Así que vamos a usar una identidad para cambiar el seno a coseno. Y esta identidad dice que sen de 𝑥 es igual a cos de 𝑥 menos 𝜋 sobre dos. Y podemos reemplazar esto en nuestro límite. Factorizando el denominador de la fracción, podemos ver que esto tiene una forma muy parecida a la regla que conocemos.

En este punto, necesitamos realizar una sustitución. Vamos a poner 𝑢 en lugar de 𝑥 menos 𝜋 sobre dos. Sin embargo, antes de eso necesitamos considerar qué va a suceder con nuestro límite. Es 𝑥 tiende a 𝜋 sobre dos. Bien, vamos a considerar qué sucede con el valor de 𝑢 cuando 𝑥 tiende a 𝜋 sobre dos. Nuestro valor de 𝑢 tenderá a 𝜋 sobre dos menos 𝜋 sobre dos, lo que es simplemente cero. Y, por lo tanto, estamos listos para poner 𝑢 en lugar de 𝑥 menos 𝜋 sobre dos en nuestro límite. Obtenemos límite cuando 𝑢 tiende a cero de uno menos cos de 𝑢 sobre dos 𝑢. Podemos extraer el factor un medio. Y así obtenemos un límite que es idéntico a nuestra igualdad del coseno. Y como tal, debe ser igual a cero. Y esto nos da una solución de cero.

En este último ejemplo hemos visto que debemos andarnos con mucho ojo cuando trabajamos con límites trigonométricos, ya que a veces no es fácil hallar la mejor manera de resolverlos. Es importante tener en mente las identidades trigonométricas.

Repasemos algunos de los puntos clave de este video. Puntos clave. El límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen de 𝑥 sobre 𝑥 es igual a uno. Esto implica que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de sen de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 es igual a 𝑎. E implica también que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de tan de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 es igual a 𝑎. También tenemos que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos cos de 𝑥 sobre 𝑥 es igual a cero, lo que implica que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno menos cos de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 también es igual a cero. Y si no podemos resolver un límite de una función trigonométrica usando sustitución directa o una de las igualdades anteriores, debemos intentar usar las identidades trigonométricas, como estas que se muestran aquí.

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