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Vídeo de la lección: Introducción a las progresiones geométricas

En este vídeo vamos a aprender cómo definir e identificar progresiones geométricas, resolviendo para ello varias cuestiones. También aprenderemos cómo hallar la razón entre términos y cómo usarla para obtener una fórmula general para el término 𝑛-ésimo de la progresión.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a explorar una variedad de progresiones geométricas y vamos a aprender cómo escribir una fórmula para el término general de una progresión geométrica. Para ello vamos a resolver y analizar una serie de cuestiones típicas. Pero, antes que nada, veamos la definición de progresión geométrica. Una sucesión de números es una progresión geométrica si el siguiente término se obtiene multiplicando cada término por un número fijo. Consideremos, por ejemplo, la secuencia de números tres, seis, 12, 24, etcétera. Aquí tres es nuestro primer término. Y para obtener el siguiente número en la sucesión, multiplicamos por dos los términos cada vez. Así que la razón es dos. Para obtener un término, simplemente multiplicamos el término anterior por dos.

Veamos otro ejemplo: en la progresión 10, 15, 22.5, 33.75, etcétera, el primer término es 10. Y para obtener el siguiente término tenemos que multiplicar cada término en la secuencia por 1.5. Así que la razón es 1.5. Otro ejemplo es la progresión siete, siete décimos, siete centésimos, siete milésimos, etcétera. En esta secuencia el primer término es siete. Y para obtener el siguiente término tenemos que multiplicar cada término por un décimo. Así que la razón es un décimo. Consideremos la progresión 32, menos 16, ocho, menos cuatro. En este caso, el primer término es 32. Y para obtener el siguiente término en la progresión multiplicamos cada término por menos un medio. Así que la razón es menos un medio. Hemos visto que la razón puede ser un número entero positivo o negativo, una fracción, un número decimal… En realidad, la razón puede ser cualquier número.

Ahora bien, dependiendo de la región en la que estudies Matemáticas, usarás un tipo de notación u otra para las progresiones geométricas. Por ejemplo, en algunos sitios denotan el primer término como 𝑎 o 𝑎 uno o con 𝑢 uno o 𝑡 entre paréntesis uno, o 𝑡 uno. Pero en este vídeo vamos a usar una notación en la que 𝑎 uno es el primer término. Asimismo, también podemos expresar el término 𝑛-ésimo o término general de distintas formas. Podemos usar 𝑎 𝑛; 𝑢 𝑛, 𝑡 𝑛 o 𝑡 (𝑛), así. Vamos a usar esta notación a lo largo de este vídeo. Por otro lado, para representar la razón constante, parece que hay un acuerdo mayoritario de usar la letra 𝑟. Así que es eso lo que vamos a usar aquí.

Ahora vamos a resolver esta cuestión que nos pide escribir los primeros cinco términos de una progresión geométrica cuyo primer término, 𝑎 uno, es igual a 12, y cuya razón, 𝑟, es igual a un tercio.

Se nos dice que el primer término es 12. Así que escribimos que el primer término es 12. La razón es un tercio; eso significa que tenemos que multiplicar cada término por un tercio para obtener el siguiente término. Por lo tanto, para obtener el segundo término, multiplicamos 12 por un tercio. Y un tercio de 12 es cuatro. Y para obtener el tercer término, multiplicamos el segundo término por un tercio. Eso es cuatro por un tercio, que es cuatro partido por tres, cuatro tercios. Y para obtener el cuarto término, multiplicamos también por un tercio. Cuatro tercios por un tercio son cuatro novenos. Así que el cuarto término es cuatro novenos. Vamos a repetir este procedimiento una vez más. Cuatro novenos por un tercio es cuatro veintisieteavos. Y seguiríamos haciendo lo mismo indefinidamente. Esta progresión geométrica es infinita.

Vamos a repasar un poco la notación ahora, y para ello recordamos que 𝑎 uno, el primer término, es doce; 𝑎 dos, el segundo término, es cuatro; 𝑎 tres, el tercer término, es cuatro tercios; 𝑎 cuatro, el cuarto término, es cuatro novenos; 𝑎 cinco, el quinto término, es cuatro veintisieteavos; y así sucesivamente. Hemos visto que, para obtener el segundo término, tomamos el primer término y lo multiplicamos por la razón. Y para obtener el tercer término, tomamos el segundo término y lo multiplicamos por la razón. Así que 𝑎 tres es 𝑎 dos por 𝑟. Pero recordemos que 𝑎 dos es 𝑎 uno por 𝑟. Así que podemos sustituir 𝑎 dos aquí por 𝑎 uno por 𝑟. Así que 𝑎 dos es 𝑎 uno por 𝑟. Y luego lo multiplicamos por 𝑟 para obtener 𝑎 tres.

Ahora, para obtener 𝑎 cuatro, tomamos 𝑎 tres y lo multiplicamos por la razón constante. Y recuerda que 𝑎 tres es 𝑎 uno por 𝑟 por 𝑟. Así que lo multiplicamos por 𝑟 para obtener 𝑎 cuatro. Y lo multiplicamos por 𝑟 de nuevo para obtener el siguiente término. Así, 𝑎 cinco es 𝑎 uno por 𝑟 por 𝑟 por 𝑟 por 𝑟. Para simplificar podemos escribir esto como una potencia. En lugar de escribir 𝑟 por 𝑟 por 𝑟 por 𝑟, podemos escribir 𝑟 a la cuarta o elevado a cuatro. Así que 𝑎 uno es doce o 𝑎 uno, 𝑎 dos es 𝑎 uno por 𝑟 elevado a uno, 𝑎 tres es 𝑎 uno por 𝑟 elevado a dos, 𝑎 cuatro es 𝑎 uno por 𝑟 al cubo, y así sucesivamente.

Para completar esta secuencia decimos que 𝑎 uno es 𝑎 uno por uno. Pero en lugar de escribir uno, escribimos 𝑟 elevado a cero. Recuerda que cualquier valor elevado a cero es uno. Y es fácil ver que tenemos una regla. El primer término se obtiene multiplicando el primer término multiplicado por 𝑟 elevado a cero. El segundo término se obtiene multiplicando el primer término por 𝑟 elevado a uno. El tercer término se obtiene multiplicando el primer término por 𝑟 elevado a dos. El cuarto término es el primer término multiplicado por 𝑟 al cubo. Y el quinto término es el primer término multiplicado por 𝑟 a la cuarta. Así que el exponente de 𝑟 es uno menos que la posición del término en la progresión.

Por lo tanto, si decimos que 𝑛 es la posición en la secuencia, el término 𝑛-ésimo, 𝑎 𝑛, es simplemente el primer término multiplicado por 𝑟 elevado a uno menos que 𝑛. Así que 𝑎 𝑛 es igual a 𝑎 uno por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno, uno menos que 𝑛. Muy bien, ahora ya tenemos una fórmula que nos da cualquier término en la secuencia. Así que no tenemos que seguir multiplicando por un tercio. Podemos hallar cualquier término en la secuencia directamente.

Veamos cómo se hace.

Vamos a hacer uso de la fórmula general para hallar el valor del séptimo término en esta secuencia.

Y la formula general dice que 𝑎 𝑛 es igual a 𝑎 uno por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Eso es el primer término multiplicado por la razón elevada al exponente 𝑛 menos uno. El enunciado nos ha dicho que el primer término es 12. Así que 𝑎 uno es 12. Y nuestra razón es un tercio. Así que la fórmula del término general para esta progresión es 𝑎 elevado a 𝑛 igual a 12 por un tercio elevado a 𝑛 menos uno. Por lo tanto, para hallar el séptimo término, solo tenemos que hacer 𝑛 igual a siete. Así que 𝑎 siete, el séptimo término, es doce por un tercio elevado a siete menos uno. Siete menos uno es seis. Así que el séptimo término va a ser 12 por un tercio elevado a seis. Y un tercio elevado a seis es uno partido por 729. Así que será 12 por uno partido por 729, que es cuatro partido por 243. Veamos otra cuestión.

Escribe el primer término y la razón de la siguiente progresión geométrica: 10, menos cinco, cinco medios, menos cinco cuartos, y así sucesivamente.

Claramente, el primer término es igual a 10. Así que 𝑎 uno es igual a 10, así de sencillo. Y la razón es el número por el que multiplicamos cada término para obtener el siguiente término. Así que vamos a denotar nuestros términos como 𝑎 uno, 𝑎 dos, 𝑎 tres y 𝑎 cuatro, y así sucesivamente. Y escribimos una pequeña fórmula que nos sirva para pasar de un término a otro. Si multiplicamos el primer término por la razón constante, 𝑟, obtenemos el segundo término. Si multiplicamos el segundo término por la razón constante, 𝑟, obtenemos el tercer término. Si multiplicamos el tercer término por la razón constante, 𝑟, obtenemos el cuarto término, y así sucesivamente. Si nos fijamos en la primera ecuación, y dividimos ambos lados de la ecuación por 𝑎 uno, obtenemos que 𝑟 es igual a 𝑎 dos partido por 𝑎 uno. Ahora, si dividimos ambos lados de la segunda ecuación por 𝑎 dos, obtenemos que 𝑟 es igual a 𝑎 tres partido por 𝑎 dos y algo similar puede hacerse con la tercera ecuación.

Por lo tanto, para calcular 𝑟, simplemente tomamos el valor de un término y lo dividimos por el valor del término inmediatamente anterior. Y recordemos que, en una progresión geométrica, la razón es constante. Así que no importa si tomamos los términos segundo y primero o el tercero y el segundo o el cuarto y el tercero. Siempre y cuando tomemos términos consecutivos, hallaremos el mismo valor de 𝑟. Si observamos estos números de aquí, vemos que el par más fácil de usar es 𝑎 uno y 𝑎 dos. Así que hacemos 𝑟 igual a 𝑎 dos dividido por 𝑎 uno. 𝑎 dos es menos cinco y 𝑎 uno es diez. La razón es menos cinco dividido por 10, que se simplifica a menos un medio.

Por lo tanto, para pasar de un término al siguiente, tenemos que multiplicar por menos un medio. 10 por menos un medio es menos cinco, menos cinco por menos un medio es cinco medios, etcétera. Así que estas dos igualdades de aquí, 𝑎 uno igual a 10 y 𝑟 igual a menos un medio, definen esta progresión. Con estos datos, ya podemos hallar todos los términos de la progresión que queramos, pero multiplicar cada término nos puede llevar un buen rato.

Pasemos ahora a ver cuestiones en las que se nos pide averiguar si una secuencia es o no geométrica.

En esta cuestión se nos pregunta: ¿es la siguiente progresión aritmética o geométrica?

Recordemos que una progresión aritmética es aquella en la que a todo término se le suma un número fijo para generar el siguiente término. Por lo tanto, para responder a esta pregunta, solo tenemos que averiguar qué número hay que sumar para pasar de cada término al siguiente y determinar si el número es el mismo o no, y por qué número hay que multiplicar para pasar de un término al siguiente y determinar si el número es constante o no. En este conjunto de números, si sumamos uno cada vez, estamos generando esta progresión. Pero para multiplicar un término para obtener el siguiente término, la razón cambia; por lo que no es una razón constante. Entonces, como tenemos una diferencia constante, esta progresión es aritmética.

Pasemos a la siguiente cuestión.

¿Es la siguiente progresión, aritmética o geométrica? 11, 33, 99, 297, etcétera.

Bueno, si estuviéramos sumando, tendríamos que sumar números diferentes cada vez para obtener el siguiente término en la progresión. Pero si multiplicamos cada término por tres, generamos el siguiente término. Así que tenemos una razón de tres. Por lo tanto, como tenemos una razón constante en lugar de una diferencia constante, esta es una progresión geométrica.

¿Es la siguiente progresión aritmética o geométrica? Uno, dos, cuatro, siete, 11, etcétera. Como puedes ver, tenemos que sumar un número diferente cada vez para generar el siguiente término. Así que no es una progresión aritmética. Y tenemos que multiplicar por dos el primer término para obtener el segundo término, y el segundo término para obtener el tercero. Pero, a partir de ahí, no multiplicamos por dos, sino que tenemos que multiplicar por números distintos. Por lo tanto, no hay ni una diferencia constante ni una razón constante. Así que esta sucesión no es ni aritmética ni geométrica. Esta es una sucesión interesante, pero no es aritmética ni geométrica.

Veamos una última pregunta de este tipo.

¿Es la siguiente sucesión aritmética o geométrica? 5.2, 5.2, 5.2, 5.2, etcétera.

¿Qué piensas a primera vista? ¿Es aritmética o geométrica? ¿Qué tenemos que sumar para pasar de un término al siguiente? Nada, en cada caso. Estamos sumando cero. Así que tenemos una diferencia constante de cero. Ciertamente, este caso es un poco especial. Pero, de todas formas, es una progresión aritmética. ¿Y por qué tenemos que multiplicar cada término para obtener el siguiente término? Multiplicamos por uno en cada caso. Así que, como ya hemos dicho, es una progresión un tanto especial. Pero se trata sin duda de una progresión geométrica porque tenemos una razón constante igual a uno. Como puedes ver, es una progresión muy especial. Pues es a la vez aritmética y geométrica, según dicen las definiciones. La diferencia es constante, e igual a cero, y la razón es constante, y es igual a uno.

Pasemos ahora a otra cuestión.

Halla los tres siguientes términos de la progresión geométrica 100, menos 10, uno, menos 0.1, 0.01, etcétera. Se nos dan los primeros cinco términos, 𝑎 uno, 𝑎 dos, 𝑎 tres, 𝑎 cuatro y 𝑎 cinco. Lo primero que vamos a hacer es calcular la razón. ¿Por qué número hemos de multiplicar 𝑎 uno para obtener 𝑎 dos, etcétera? Como ya sabrás, lo que tenemos que hacer es dividir un término por su término anterior para hallar la razón. Y si nos fijamos en la sucesión, vemos que los términos segundo y tercero serán los más fáciles de dividir. Y aunque obtenemos la misma respuesta sin importar qué par consecutivo escojamos para dividir, este par es fácil porque es uno dividido por menos 10, que es menos un décimo.

Así que la razón constante es menos un décimo. Tenemos que multiplicar cada término por menos un décimo para obtener el siguiente término. Por lo tanto, para hallar los tres siguientes términos, vamos a tomar el último término que tenemos y lo vamos a multiplicar por menos un décimo, luego multiplicaremos el resultado por menos un décimo, y seguidamente multiplicaremos el resultado por menos un décimo. Así que el sexto término es el quinto término por menos un décimo; eso es 0.01 por menos un décimo, que es menos 0.01. Así que multiplicar por menos un décimo es lo mismo que dividir por menos 10. Y como ves es un cálculo bastante sencillo de hacer. Así que el sexto término multiplicado por menos un décimo, los dos signos menos se cancelan y el resultado es un número positivo. Y 0.001 dividido por 10 es 0.0001. Y haciendo lo mismo, obtenemos que el octavo término es menos 0.00001. Ahora solo nos queda escribir nuestra respuesta de forma clara y precisa.

Hemos hablado un poco sobre cómo hallar una fórmula para un término general. Aquí tenemos una cuestión sobre este tema. Veamos de qué se trata.

Halla una fórmula para el término general de la progresión geométrica tres, 15, 75, 375, 1875.

El primer término es tres. Ya tenemos un dato importante, ahora tenemos que calcular la razón. Para ello, dividimos un término por su término anterior. Los números más fáciles de usar aquí son estos dos, 𝑎 uno igual a tres y 𝑎 dos igual a 15. Así que la razón constante es 𝑎 dos dividido por 𝑎 uno, que es 15 tercios, que es cinco. En el enunciado se nos dijo que es una progresión geométrica. Así que no importa qué par de términos —términos consecutivos—hubiéramos escogido; habríamos obtenido la misma respuesta: 𝑟 igual a cinco. Pero hemos elegido los dos primeros términos porque el cálculo era más sencillo de realizar.

Así que sabemos que 𝑎 uno, el primer término, es tres y que la razón constante es cinco. Así que podemos poner eso en nuestra fórmula. Recuerda que, para hallar el valor de cualquier término en la secuencia, lo que hacemos es tomar el primer término y multiplicarlo por la razón cuantas veces haga falta. Así que, para hallar el quinto término, tenemos que multiplicar el primer término por la razón cuatro veces. Por lo tanto, según sea la posición del término que buscamos, tenemos que multiplicar por la razón elevada a esa posición menos uno. Y acabamos de calcular que 𝑎 uno es tres y que 𝑟 es cinco. Por lo tanto, para hallar el valor del término 𝑛 en esta secuencia, hay que hacer tres por cinco elevado a la posición del término menos uno, o sea, 𝑛 menos uno.

Ahora vamos a dar un pequeño paso adelante.

Y tenemos que hallar una fórmula para el término general de la progresión geométrica menos 512, 128, menos 32, ocho, menos dos, etcétera. Y tenemos que usar esa fórmula para hallar el valor del duodécimo término de la progresión.

Podemos leer el primer término ahí, menos 512. Y ahora tenemos que calcular la razón constante. Y eso es cualquier par de términos consecutivos, uno dividido por el otro, por ejemplo, el segundo dividido por el primero. Pero vamos a escoger 𝑎 cuatro y 𝑎 cinco en este caso porque parecen los números más fáciles de usar. 𝑎 cinco es menos dos y 𝑎 cuatro es ocho. Así que la razón constante es menos dos octavos, que es menos un cuarto. Ahora tenemos los dos datos cruciales Por lo que ya podemos hallar la fórmula general. Recordando que 𝑎 𝑛 es igual a 𝑎 uno por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno, vamos a sustituir los valores de 𝑛 por 𝑎, 𝑎 uno y 𝑟.

Así que la fórmula del término general es 𝑎 𝑛, el término enésimo, es igual a menos 512 por menos un cuarto elevado a 𝑛 menos uno. Y ahora tenemos que hallar el término duodécimo. Así que 𝑛 igual a 12, lo que significa que el duodécimo término, 𝑎 12, es igual a menos 512 por menos un cuarto elevado a 12 menos uno. 12 menos uno es once. Y calculando todo eso, obtenemos que 𝑎 12 es igual a uno partido por 8192.

Resumamos ahora los puntos clave que hemos tratado en este vídeo. Hemos visto que una progresión geométrica es una secuencia numérica en la que cada término es multiplicado por una razón constante para obtener el siguiente término. Por ejemplo, tres, seis, 12, 24. Doblamos cada término para obtener el siguiente término. Y en este caso, la razón es dos y el primer término es tres. Para calcular la razón, que hemos llamado 𝑟, simplemente tomamos un término y lo dividimos por el término anterior. El término 𝑛 de la progresión es simplemente el primer término multiplicado por 𝑟 elevada a la posición del término menos uno. Por lo tanto, en el caso de nuestro ejemplo, el término en la posición 𝑛 valdrá tres por dos elevado a 𝑛 menos uno.

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