Vídeo: Aplicaciones de la fórmula de Moivre a identidades trigonométricas

En este video, vamos a aprender cómo usar la fórmula de Moivre para hallar identidades trigonométricas que ayudan a resolver problemas.

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Transcripción del vídeo

En esta lección, vamos a aprender cómo usar la fórmula (o teorema) de Moivre para hallar identidades trigonométricas que ayudan a resolver problemas. Es muy probable que hayas estado usando algunas de estas identidades por algún tiempo sin saber de dónde vienen. Este deberá servir para aclarar mucho de esto. Para ello, vamos a comenzar repasando la fórmula de Moivre y el teorema (o fórmula) del binomio de Newton, y luego vamos a derivar un número de identidades trigonométricas, y vamos a ver cómo usarlas para resolver ecuaciones.

Recuerda que el teorema de Moivre dice que, para valores enteros de 𝑛, todo número complejo 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 — escrito en forma trigonométrica — elevado a 𝑛 es igual a 𝑟 a la 𝑛 por cos 𝑛𝜃 más 𝑖 sen 𝑛𝜃. De forma similar, la fórmula del binomio de Newton nos muestra cómo desarrollar 𝑎 más 𝑏, todo a la 𝑛. Puede que también estés familiarizado con la serie binomial — es decir, la expansión de uno más 𝑥 a la 𝑛 — pero ese no es el método que vamos a aplicar en este video. Veamos un ejemplo de cómo podemos usar estas dos herramientas para derivar las identidades del ángulo múltiple.

1) Usa el teorema de Moivre para expresar sen cinco 𝜃 en términos de potencias de sen 𝜃. 2) Considerando las soluciones de sen cinco 𝜃 igual a cero, halla el valor exacto de sen al cuadrado de 𝜋 partido por cinco.

Para responder a la primera parte de esta pregunta, vamos a usar el inverso del teorema de Moivre para reescribir cos de cinco 𝜃 más 𝑖 sen de cinco 𝜃. Según el teorema de Moivre, esto es igual a cos de 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 todo a la quinta. Usemos la fórmula del binomio de Newton para desarrollar esta potencia. Vamos a comparar cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 a la quinta con la fórmula del binomio de Newton. Vemos que 𝑎 es igual a cos 𝜃, 𝑏 es igual a 𝑖 sen 𝜃, y 𝑛 es igual a cinco.

El primer término en la expansión de cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 a la quinta es, por lo tanto, cos 𝜃 a la quinta. El segundo término es cinco combinación uno por cos 𝜃 a la cuarta por 𝑖 sin 𝜃. El tercer término es cinco, combinación dos cos al cubo 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 al cuadrado. Y podemos escribir los términos restantes como se muestra. Podemos hallar fácilmente que cinco combinación uno es cinco, cinco combinación dos es 10, cinco combinación tres es 10 nuevamente, y cinco combinación cuatro también es cinco. Además, sabemos que 𝑖 al cuadrado es menos uno, 𝑖 al cubo es menos 𝑖, 𝑖 a la cuarta es uno e 𝑖 a la quinta es 𝑖. Y nuestras expresiones se simplifican como se muestra.

Y ya que inicialmente dijimos que cos cinco 𝜃 más 𝑖 sen cinco 𝜃 era igual a cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 a la quinta, podemos igualar esta expresión completa a cos cinco 𝜃 más 𝑖 sen cinco 𝜃. Recuerda que estamos tratando de encontrar una expresión para sen cinco 𝜃. Así que vamos a igualar las partes imaginarias a cada lado de nuestra ecuación. En el lado izquierdo, es simplemente sen cinco 𝜃. Y en el derecho, cinco cos 𝜃 a la cuarta por sen 𝜃 menos 10 cos al cuadrado 𝜃 sen al cubo 𝜃 más sen 𝜃 a la quinta.

Vamos a necesitar despejar un poco de espacio aquí. Y en esta etapa, recordamos que sen al cuadrado 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃 siempre es igual a uno. Al reorganizar esto, vemos que cos al cuadrado 𝜃 es igual a uno menos sen al cuadrado 𝜃. Y hemos hecho esto porque nos permitirá reemplazar cos al cuadrado 𝜃 y cos 𝜃 a la cuarta en nuestra expresión porque estamos tratando de escribirlo todo en términos de potencias del seno.

Al hacer esto, vemos que sen cinco 𝜃 es igual a cinco por uno menos sen al cuadrado 𝜃 al cuadrado por sen 𝜃 menos 10 por uno menos sen al cuadrado 𝜃 sen al cubo 𝜃 más sen 𝜃 a la quinta. Desarrollando estos paréntesis y simplificando, obtenemos que sen cinco 𝜃 es igual a 16 sen 𝜃 a la quinta menos 20 sen al cubo 𝜃 más cinco sen 𝜃.

Ahora que tenemos sen cinco 𝜃 expresado en términos de potencias de sen 𝜃, podemos responder la segunda parte de esta pregunta. Necesitamos considerar las soluciones de sen cinco 𝜃 igual a cero. Sabemos que sen 𝜃 igual a cero tiene como soluciones todos los múltiplos enteros de 𝜋. Esto significa que sen de cinco 𝜃 es igual a cero cuando 𝜃 es igual a 𝑛𝜋 sobre cinco, o sea, todos los múltiplos enteros de 𝜋 sobre cinco. Ahora, comparando esto con nuestra ecuación en la primera parte, vemos que 16 sen 𝜃 a la quinta menos 20 sen al cubo 𝜃 más cinco sen 𝜃 igual a cero también debe tener como soluciones 𝜃 igual a 𝑛𝜋 sobre cinco.

Manipulemos un poco la expresión en el lado izquierdo de nuestra ecuación, recordando que nuestro objetivo es hallar el valor exacto de sen al cuadrado 𝜋 partido por cinco. Sacamos el factor común sen 𝜃. Y vemos que sen 𝜃 multiplicado por 16 sen 𝜃 a la cuarta menos 20 sen al cuadrado 𝜃 más cinco debe ser igual a cero. Supongamos ahora que nuestro valor para 𝜃 es 𝜋 partido por cinco. En otras palabras, 𝑛 es igual a uno. El seno de 𝜋 partido por cinco no es igual a cero. Por tanto, para que el producto de estos dos factores sea igual a cero, debe ocurrir que 16 sen 𝜋 partido por cinco a la cuarta menos 20 sen al cuadrado 𝜋 partido por cinco más cinco sea igual a cero. Y observa que esto se parece bastante a una ecuación de segundo grado. Definamos 𝑥 como sen al cuadrado 𝜋 partido por cinco.

Y nuestra ecuación de segundo grado es ahora 16𝑥 al cuadrado menos 20𝑥 más cinco igual a cero. Y podemos resolver esta ecuación usando cualquier método que nos guste, como completando el cuadrado o sustituyendo en la fórmula cuadrática. Y al hacerlo, obtenemos 𝑥 igual a cinco más o menos raíz de cinco, todo dividido por ocho. Y, por supuesto, hemos dicho que 𝑥 es igual a sen al cuadrado de 𝜋 partido por cinco. Es decir que nuestra solución para sen al cuadrado de 𝜋 partido por cinco es cinco más o menos raíz de cinco sobre ocho. Pero, puesto que en el primer cuadrante el seno es una función creciente, es fácil ver que sen al cuadrado de 𝜋 dividido por cinco ha de ser cinco menos la raíz de cinco dividido por ocho. Y así hemos respondido la segunda pregunta. El valor exacto de sen al cuadrado de 𝜋 por cinco es cinco menos raíz de cinco sobre ocho.

Acabamos de ver cómo podemos usar la fórmula de Moivre para evaluar el sen de múltiplos de 𝜃. Pero también podemos usar el teorema para derivar identidades para sen 𝜃 a la 𝑛 y cos 𝜃 a la 𝑛. Supongamos que tenemos un número complejo 𝑧 que es simplemente cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. Sabemos que el recíproco de 𝑧 es 𝑧 elevado a menos uno. Y podemos usar el teorema de De Moivre para evaluar esto. Es cos de menos 𝜃 más 𝑖 sen de menos 𝜃.

Recuerda que cos es una función par. Así que cos de menos 𝜃 es simplemente lo mismo que cos de 𝜃. Sin embargo, sen es una función impar. Por tanto, sen de menos 𝜃 es lo mismo que sen de menos 𝜃. Y podemos ver que el recíproco de 𝑧 se puede escribir como cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. ¿Por qué es útil? Bueno, nos permite evaluar 𝑧 más el recíproco de 𝑧. 𝑧 más el recíproco de 𝑧 es simplemente dos cos 𝜃. Del mismo modo, nos permite evaluar su diferencia. 𝑧 menos el recíproco de 𝑧 es dos 𝑖 sen 𝜃. Y en realidad podemos generalizar esto para potencias mayores de 𝑧.

Usando el teorema de Moivre y aplicando las propiedades de paridad del seno y del coseno, obtenemos estas dos ecuaciones. Reordenándolas y dividiendo la primera ecuación por dos y la segunda ecuación por dos 𝑖 para un número complejo 𝑧 en la forma exponencial, vemos que cos de 𝑛𝜃 es igual a un medio 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃 más 𝑒 elevado a menos 𝑖𝑛𝜃. Y sen 𝑛𝜃 es igual a uno sobre dos 𝑖 multiplicado por 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃 más 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃. Estas fórmulas son extremadamente útiles para derivar una serie de identidades trigonométricas. Y conviene memorizarlas. Veamos algunos ejemplos de dónde pueden ser útiles.

Usando el teorema de Moivre, halla el valor exacto de la integral de sen 𝜃 a la séptima con respecto a 𝜃 entre los límites 𝜋 partido por dos y cero.

Vamos a comenzar expresando sen 𝜃 a la séptima en términos de ángulos múltiples, los cuales son mucho más sencillos de integrar. También vamos a usar el hecho de que 𝑧 menos el recíproco de 𝑧 es igual a dos 𝑖 sen 𝜃. Y como estamos interesados en sen 𝜃 a la séptima, vamos a elevar toda la ecuación a la séptima. Obtenemos 𝑧 menos uno sobre 𝑧 todo a la séptima, y esto es igual a dos 𝑖 sen 𝜃 a la séptima.

Dos a la séptima es 128 e 𝑖 a la séptima es menos 𝑖. Así que dividimos ambos lados de esta ecuación por menos 128𝑖. Reescribimos menos uno sobre 128𝑖 multiplicando tanto el numerador como el denominador por 𝑖. Al hacerlo, obtenemos menos 𝑖 sobre 128𝑖 al cuadrado. Pero como 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, esto se simplifica a 𝑖 sobre 128.

Nuestro próximo paso es aplicar el teorema del binomio sea 𝑧 menos uno sobre 𝑧 todo a la séptima. Cuando usamos el teorema del binomio, vemos que sen 𝜃 a la séptima es como se muestra. Recordamos el hecho de que 𝑧 a la 𝑛 menos uno sobre 𝑧 a la 𝑛 es dos 𝑖 sen 𝑛𝜃. Y nos damos cuenta de que podemos escribir esta expresión en términos del seno de ángulos múltiples agrupando las potencias de 𝑧.

Esto significa que sen 𝜃 a la séptima es igual a 𝑖 sobre 28 [128] por dos 𝑖 sen siete 𝜃 menos siete por dos 𝑖 sen cinco 𝜃 más 21 por dos 𝑖 sen tres 𝜃 menos 35 por dos 𝑖 sen 𝜃. Lo cual, simplificado completamente, es igual a uno sobre 64 por 35 sen 𝜃 menos 21 sen tres 𝜃 más siete sen cinco 𝜃 menos sen siete 𝜃.

Hagamos un poco de espacio aquí y reemplacemos 𝜃 a la séptima en nuestra integral con esta expresión. Y, por supuesto, recordamos el hecho de que la integral de sen 𝑛𝜃 con respecto a 𝜃 es menos uno sobre 𝑛 por cos 𝑛𝜃 más, obviamente, esta constante de integración. Y esto significa que nuestra integral es menos 35 cos 𝜃 más siete cos tres 𝜃 menos siete quintos por cos de cinco 𝜃 más un séptimo de cos de siete 𝜃. Pero como vamos a evaluar esto entre los límites de 𝜋 partido por dos y cero, no necesitamos una constante de integración. Y esto se convierte en uno sobre 64 por 35 menos siete más siete quintos menos un séptimo que es 16 sobre 35.

Observa cómo este proceso transformó una integral bastante complicada en algo realmente fácil de resolver. Y este proceso no se limita solo a las potencias del seno o del coseno. También podemos usarlo para hallar expresiones para los productos de potencias de estas funciones. Y también sirve para la función tangente. Recordando el hecho de que tan 𝜃 es igual a sen 𝜃 dividido por cos 𝜃, podemos expresar tan de algún múltiplo entero de 𝜃 en términos de potencias de tan. Veamos un ejemplo.

Expresa tan seis 𝜃 en términos de potencias de tan 𝜃.

Comenzamos recordando el hecho de que tan 𝜃 es igual a sen 𝜃 dividido por cos 𝜃. Y esto, por supuesto, significa que tan seis 𝜃 es igual a sen seis 𝜃 dividido por cos seis 𝜃. Así que hemos de expresar seno de seis 𝜃 y coseno de seis 𝜃 en términos de potencias de seno y coseno. El teorema de Moivre dice que cos seis 𝜃 más 𝑖 sen seis 𝜃 es igual a cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 todo a la sexta. Desarrollamos este paréntesis usando el teorema del binomio de Newton y simplificamos las potencias de 𝑖. Y vemos que cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 a la sexta es como se muestra. Y, dijimos que cos seis 𝜃 más 𝑖 sen seis 𝜃 es igual a cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 a la sexta. Entonces podemos igualar este desarrollo a cos seis 𝜃 más 𝑖 sen seis 𝜃.

Y, por supuesto, podemos igualar las partes real y las imaginarias de la ecuación. La parte real en el lado izquierdo es cos seis 𝜃. En el lado derecho, tenemos cos 𝜃 a la sexta, menos 15 cos 𝜃 a la cuarta sen al cuadrado 𝜃, 15 cos al cuadrado 𝜃 por sen 𝜃 a la cuarta, y menos sen 𝜃 a la sexta. Y después igualamos las partes imaginarias, en el lado izquierdo, tenemos sen seis 𝜃. En el lado derecho, tenemos seis cos 𝜃 a la quinta por sen 𝜃, menos 20 cos al cubo 𝜃 sen al cubo 𝜃, y seis cos 𝜃 por sen 𝜃 a la quinta.

Y ahora estamos listos para evaluar tan de seis 𝜃. Es seis cos 𝜃 a la quinta por sen 𝜃 menos 20 cos al cubo 𝜃 sen al cubo 𝜃 más seis cos 𝜃 por sen 𝜃 a la quinta todo sobre cos 𝜃 a la sexta menos 15 cos 𝜃 a la cuarta por sen al cuadrado 𝜃 más 15 cos al cuadrado 𝜃 sen 𝜃 a la cuarta menos sen 𝜃 a la sexta. Para expresar esto en términos de tan, vamos a dividir todo por cos 𝜃 a la sexta.

En el numerador, seis cos 𝜃 a la quinta por sen 𝜃 dividido por cos 𝜃 a la sexta es simplemente seis tan 𝜃. Tenemos menos 20 tan al cubo 𝜃 más seis por tan 𝜃 a la quinta. En el denominador, tenemos uno menos 15 tan al cuadrado 𝜃 más 15 tan 𝜃 a la cuarta menos tan 𝜃 a la sexta. Y así hemos expresado con éxito tan de seis 𝜃 en términos de las potencias de tan 𝜃.

En este video hemos visto que podemos usar el teorema de Moivre y el teorema del binomio de Newton para derivar fórmulas de ángulos múltiples para diferentes funciones trigonométricas, como el seno, el coseno y la tangente. También hemos visto que para todo número complejo 𝑧 igual a cos 𝜃 más 𝑖 sin 𝜃, 𝑧 más el recíproco de 𝑧 es dos cos 𝜃 y 𝑧 menos el recíproco de 𝑧 es dos 𝑖 sen 𝜃. Y también hemos extendido esta idea a 𝑧 a la 𝑛.

Hemos usado estas ecuaciones para hallar expresiones para las potencias de seno y coseno. Y hemos dicho que podemos hallar lo mismo para productos de estas potencias. Incluso hemos visto que podemos usar estas técnicas para derivar identidades trigonométricas que permiten simplificar integrales complicadas.

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