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Vídeo de la lección: La serie de Taylor Matemáticas • Educación superior

En este video, vamos a aprender cómo hallar las series de Taylor de una función y cómo hallar el radio de convergencia de las series.

16:41

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo hallar una representación en serie de potencias de una función arbitraria haciendo uso del desarrollo de Taylor. Vamos a analizar cómo hallar el radio de convergencia de estas series, así como los intervalos de convergencia, usando principalmente el criterio de d’Alembert. Comencemos suponiendo que 𝑓 es una función que puede ser representada por una serie de potencias 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑐 cero más 𝑐 uno 𝑥 menos 𝑎 más 𝑐 dos 𝑥 menos 𝑎, todo al cuadrado, y así sucesivamente, siendo el valor absoluto de 𝑥 menos 𝑎 menor que algún valor 𝑅. Vamos a continuar determinando cómo obtener los 𝑐𝑛, o sea, los coeficientes de la serie, a partir de la función 𝑓. Por ejemplo, si igualamos 𝑥 a 𝑎, vemos que 𝑥 menos 𝑎 se convierte en 𝑎 menos 𝑎, que es cero. Y de esto se sigue que 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑐 cero.

Muy bien. Pero no hay nada más que podamos hacer con esta función tal como está para ayudarnos a expresar los otros coeficientes en términos de 𝑓. Así que vamos a derivar nuestra función 𝑓 con respecto a 𝑥, recordando que podemos hacerlo término a término. Y que 𝑐 cero es una constante, por lo que su derivada es cero. La derivada de 𝑐 uno por 𝑥 menos 𝑎 es simplemente 𝑐 uno. Y podemos obtener este resultado utilizando la regla del producto o desarrollando nuestros paréntesis y derivando normalmente. Del mismo modo, encontramos que la derivada de 𝑐 dos por 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado es dos por 𝑐 dos por 𝑥 menos 𝑎. La derivada de 𝑐 tres por 𝑥 menos 𝑎 todo al cubo es tres 𝑐 tres por 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado, etcétera.

Una vez más, igualamos 𝑥 a 𝑎. Y obtenemos 𝑓 prima de 𝑎 igual a 𝑐 uno. Supongamos ahora que podemos repetir este proceso. Así que derivamos nuestra función una vez más con respecto a 𝑥. 𝑓 doble prima de 𝑥 es dos 𝑐 dos más dos por tres por 𝑐 tres por 𝑥 menos 𝑎 más otro término, tres por cuatro por 𝑐 cuatro por 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado, etcétera. Y esta vez, cuando igualamos 𝑥 a 𝑎, hallamos que 𝑓 doble prima de 𝑎 es igual a dos 𝑐 dos. Repetiremos esto una vez más para ayudarnos a identificar una secuencia. La tercera derivada es dos por tres por 𝑐 tres más dos por tres por cuatro 𝑐 cuatro por 𝑥 menos 𝑎 más tres por cuatro por cinco 𝑐 cinco por 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado, etcétera. Y haciendo 𝑥 igual a 𝑎, vemos que 𝑓 triple prima de 𝑎, la tercera derivada de nuestra función con respecto a 𝑥, evaluada en 𝑥 igual a 𝑎 es dos por tres por 𝑐 tres, lo que podríamos escribir alternativamente como tres factorial 𝑐 tres.

Si continuamos derivando y haciendo 𝑥 igual a 𝑎, hallaremos que la 𝑛-ésima derivada de nuestra función evaluada en 𝑎 es dos por tres por cuatro por cinco, y así hasta 𝑛, por 𝑐𝑛. En otras palabras, es 𝑛 factorial por 𝑐𝑛. Vamos a resolver la ecuación derivada 𝑛-ésima de 𝑓 evaluada en 𝑎 igual a 𝑛 factorial por 𝑐𝑛, necesitamos despejar 𝑐𝑛. Cuando hacemos esto, hallamos que 𝑐𝑛 es igual a la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎, partido por 𝑛 factorial. Es útil recordar que esta fórmula sigue siendo válida incluso cuando 𝑛 es igual a cero, ya que cero factorial es simplemente uno y la derivada de orden cero de 𝑓 es simplemente 𝑓. Así obtenemos nuestro primer teorema. Si 𝑓 tiene una representación en serie de potencias en 𝑎 ⁠, es decir, si 𝑓 de 𝑥 es igual a la sumatoria de 𝑐𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e infinito, siendo el módulo de 𝑥 menos 𝑎 menor que cierto valor 𝑅. Sus coeficientes están dados por la fórmula 𝑐𝑛 igual a la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎, dividida entre 𝑛 factorial.

Vamos a reemplazar esto de nuevo en nuestra serie original. Hallamos que si 𝑓 tiene un desarrollo en serie de potencias alrededor de 𝑎, la serie de Taylor de la función 𝑓 alrededor de 𝑎, o en un entorno de 𝑎, es la sumatoria de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎, sobre 𝑛 factorial, por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e infinito. Y esto se puede escribir alternativamente como 𝑓 de 𝑎 más 𝑓 prima de 𝑎 sobre uno factorial por 𝑥 menos 𝑎 más 𝑓 doble prima de 𝑎 sobre dos factorial por 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado, etcétera. Cabe recalcar que, si 𝑎 es igual a cero, tenemos un caso especial de serie, que tiene su propio nombre. Se llama serie de Maclaurin. Pero no vamos a hablar más de ella en este video. Veamos un par de ejemplos de cómo aplicar la fórmula de la serie de Taylor.

¿Cuáles son los cuatro primeros términos de la serie de Taylor de la función 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 alrededor de 𝑥 igual a cuatro?

Recordemos que la serie de Taylor de una función 𝑓 alrededor de 𝑎 está dada por la sumatoria de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎, partido por 𝑛 factorial, por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e infinito. Pero ¿qué sabemos sobre nuestra función? Está dada como 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥, que alternativamente podríamos decir es 𝑥 elevado a un medio. Queremos obtener la serie de Taylor en un entorno de 𝑥 igual a cuatro, por lo que vamos a hacer 𝑎 igual a cuatro. Usando la segunda forma de la serie de Taylor, obtenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de cuatro más 𝑓 prima de cuatro sobre uno factorial por 𝑥 menos cuatro más 𝑓 doble prima de cuatro sobre dos factorial por 𝑥 menos cuatro al cuadrado más 𝑓 triple prima de cuatro sobre tres factorial, por 𝑥 menos cuatro al cubo.

Podemos hallar 𝑓 de cuatro fácilmente. Basta con reemplazar cuatro en nuestra función original. Pero para poder calcular 𝑓 prima de cuatro, 𝑓 doble prima de cuatro y 𝑓 triple prima de cuatro, vamos a necesitar derivar nuestra función 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 tres veces. Hemos dicho que 𝑓 de 𝑥 era igual a 𝑥 elevado a un medio y recordamos que, para derivar una potencia, multiplicamos todo el término por el exponente y luego reducimos ese exponente en uno. Esto significa que 𝑓 prima de 𝑥, la primera derivada de 𝑓 es un medio de 𝑥 elevado a menos un medio. 𝑓 doble prima de 𝑥 es menos un medio por un medio de 𝑥 elevado a menos tres sobre dos, lo que se simplifica a menos un cuarto de 𝑥 elevado a menos tres sobre dos. Finalmente, 𝑓 triple prima de 𝑥 es menos tres sobre dos por menos un cuarto de 𝑥 elevado a menos cinco sobre dos, que es tres octavos de 𝑥 elevado a menos cinco sobre dos.

Sustituyamos ahora 𝑥 igual a cuatro en nuestras expresiones para 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prima de 𝑥, 𝑓 doble prima de 𝑥 y 𝑓 triple prima de 𝑥. 𝑓 de cuatro es la raíz cuadrada de cuatro; es simplemente dos. 𝑓 prima de cuatro es un medio por cuatro elevado a menos un medio, que es un cuarto. 𝑓 doble prima de cuatro es menos un cuarto por cuatro elevado a menos tres sobre dos, que es menos uno sobre 32. Y 𝑓 triple prima de cuatro es tres octavos por cuatro elevado a menos cinco sobre dos, que es tres sobre 256. Nuestra tarea final es simplemente reemplazarlos en nuestro desarrollo. Cuando lo hacemos, obtenemos que los primeros cuatro términos de la serie de Taylor de la función 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 en un entorno de 𝑥 es igual a dos más un cuarto por 𝑥 menos cuatro, menos uno sobre 64 por 𝑥 menos cuatro al cuadrado, más uno sobre 512 por 𝑥 menos cuatro al cubo.

Echemos ahora un vistazo a otro ejemplo de este tipo.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a cos de 𝑥. Halla el desarrollo de Taylor de 𝑓 de 𝑥 igual a cos de 𝑥 en 𝑥 igual a 𝜋 y expresa la serie de Taylor 𝑓 de 𝑥 en forma de sumatoria.

Recordemos que la serie de Taylor alrededor de 𝑥 igual a 𝑎 de una función está dada por 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑎 más 𝑓 prima de 𝑎 sobre uno factorial por 𝑥 menos 𝑎, más 𝑓 doble prima de 𝑎 sobre dos factorial por 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado, etcétera. En esta cuestión, nuestra función es cos de 𝑥. Y queremos hallar el desarrollo en serie de Taylor en 𝑥 igual a 𝜋. Igualamos 𝑎 a 𝜋. Vemos que 𝑓 de 𝑥 aquí es igual a 𝑓 de 𝜋 más 𝑓 prima de 𝜋 sobre uno factorial por 𝑥 menos 𝜋, etcétera. Y podemos evaluar fácilmente 𝑓 de 𝜋. Basta con reemplazar 𝜋 en la función cos de 𝑥. Pero ¿qué pasa con 𝑓 prima de 𝜋, 𝑓 doble prima de 𝜋, etcétera?

Tenemos que derivar nuestra función con respecto a 𝑥. Recordemos que la primera derivada de cos de 𝑥 es menos sen de 𝑥. Después, para obtener la segunda derivada, derivamos menos sen 𝑥 con respecto a 𝑥 y obtenemos menos cos de 𝑥. Derivando una vez más, hallamos que 𝑓 triple prima de 𝑥 es sen 𝑥. Y, de hecho, vamos a repetir este proceso una vez más porque cuando derivamos sen 𝑥, obtenemos cos 𝑥 nuevamente. Y notarás que tenemos un ciclo. La quinta derivada de 𝑓 será menos sen 𝑥, la sexta derivada será menos cos 𝑥, y así sucesivamente. Usemos todo esto para evaluar 𝑓 de 𝜋, 𝑓 prima de 𝜋, 𝑓 doble prima de 𝜋, etcétera y para buscar una regla. 𝑓 de 𝜋 es cos 𝜋, que es menos uno. 𝑓 prima de 𝜋 es menos sen 𝜋, que es cero. 𝑓 doble prima de 𝜋 es menos cos 𝜋, que es uno. Y 𝑓 triple prima de 𝜋 es sen 𝜋, que una vez más es cero.

Lógicamente, deducimos que la cuarta derivada de 𝜋 será nuevamente cos de 𝜋, que es menos uno. Sustituyamos todo esto en nuestro desarrollo de la serie de Taylor. Por supuesto, todos los términos impares son igual a cero como hemos visto. Y así, hallamos que el desarrollo de la serie de Taylor es menos uno más un medio por 𝑥 menos 𝜋 todo al cuadrado menos uno sobre 24 por 𝑥 menos 𝜋 a la cuarta más uno sobre 720 por 𝑥 menos 𝜋 a la sexta, etcétera. La segunda parte de esta cuestión nos pide que escribamos la serie de Taylor de 𝑓 de 𝑥 como una sumatoria. Así que, vamos a ver si hay alguna manera de identificar una regla. Hemos visto que 𝑓 prima de 𝜋 es igual a cero, y que también 𝑓 triple prima de 𝜋 es igual a cero. Y extendiendo la secuencia, vemos que la quinta derivada, la séptima derivada, etc., también son iguales a cero. Y nuestra derivadas de orden par alternan entre menos uno, uno, menos uno, y así sucesivamente.

Del mismo modo, nuestros denominadores son factoriales de números pares ascendentes y este número par coincide con el exponente. Así que vamos a definir ese número par como dos 𝑚. El denominador es dos 𝑚 factorial y el exponente de 𝑥 menos 𝜋 es dos 𝑚. Para lograr exponentes alternos de menos uno, escribimos menos uno elevado a 𝑚 más uno. Eso significa que, cuando 𝑚 es cero, menos uno elevado a uno es menos uno, cuando 𝑚 es uno, menos uno elevado a dos nos da uno, etcétera. Y hallamos que 𝑓 de 𝑥 es igual a la sumatoria de menos uno a la 𝑚 más uno, por 𝑥 menos 𝜋 elevado a dos 𝑚, sobre dos 𝑚 factorial, para valores de 𝑚 entre cero e infinito.

También sabemos cómo hallar el radio de convergencia de una serie de Taylor. Decimos que existe un número 𝑅 tal que la serie de potencias convergerá para valores absolutos de 𝑥 menos 𝑎 menores que 𝑅 y divergirá para valores absolutos de 𝑥 menos 𝑎 mayores que 𝑅. Y este número 𝑅 se llama radio de convergencia de la serie. Ten en cuenta que la serie puede converger o no si el valor absoluto de 𝑥 menos 𝑎 es igual a 𝑅. Decimos que el intervalo de convergencia es el intervalo que contiene todos los valores de 𝑥 para los cuales la serie converge. Esto puede incluir o no los puntos finales del intervalo, e incluso puede ser el conjunto completo de los números reales. Y decimos que, si el radio de convergencia de una serie de potencias es 𝑅, entonces, si 𝑥 es mayor que 𝑎 menos 𝑅 y menor que 𝑎 más 𝑅, la serie de potencias converge. Y si 𝑥 es menor que 𝑎 menos 𝑅 y mayor que 𝑎 más 𝑅, la serie de potencia diverge. También deducimos que la serie de potencias siempre convergerá para 𝑥 es igual a 𝑎. Echemos un vistazo a una aplicación de esta teoría.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a dos 𝑥. Halla la representación en serie de Taylor de 𝑓 alrededor de 𝑥 igual a tres. Hay, de hecho, otras dos partes de esta cuestión, las cuales veremos en un momento.

Comencemos recordando que la serie de Taylor de una función 𝑓 alrededor de 𝑎 está dada por la sumatoria de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎, partido por 𝑚 factorial, por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛, para valores de 𝑚 entre cero e infinito. ¿Y qué sabemos acerca de nuestra función? Está dada por 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a dos 𝑥. Queremos hallar la serie de Taylor en un entorno de 𝑥 igual a tres. Así que hacemos 𝑎 igual a tres. Tenemos pues que 𝑓 de 𝑥 es igual a la sumatoria de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en tres, partido por 𝑛 factorial, por 𝑥 menos tres a la 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e infinito. Esto es igual a 𝑓 de tres más 𝑓 prima de tres sobre uno factorial por 𝑥 menos tres más 𝑓 doble prima de tres sobre dos factorial por 𝑥 menos tres todo al cuadrado, etcétera.

Es evidente que necesitamos hallar 𝑓 de tres, 𝑓 prima de tres, 𝑓 doble prima de tres, y posiblemente identificar una secuencia. 𝑓 de tres es bastante sencillo. Es 𝑒 elevado a dos por tres, que es 𝑒 a la sexta. Veamos la derivada de 𝑓 de 𝑥. La derivada de 𝑒 elevado a dos 𝑥 es dos 𝑒 elevado a dos 𝑥. 𝑓 prima de tres debe ser dos 𝑒 elevado a dos por tres, que es dos 𝑒 a la sexta. Derivamos una vez más. Esta vez tenemos cuatro 𝑒 elevado a dos 𝑥. Y 𝑓 doble prima de tres es 𝑒 elevado a dos por tres, que es cuatro 𝑒 a la sexta.

Podemos ver que la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 de 𝑥 es igual a dos a la 𝑛 por 𝑒 elevado a dos 𝑥. Y esto significa que la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en tres es dos a la 𝑛 por 𝑒 a la sexta. Nuestra serie de Taylor utilizando la sumatoria es, por lo tanto, la sumatoria de dos a la 𝑛 por 𝑒 a la sexta por 𝑥 menos tres a la 𝑛, todo sobre 𝑛 factorial, para valores de 𝑛 entre cero e infinito.

La segunda parte de esta cuestión nos pide hallar el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de 𝑓 alrededor de 𝑥 igual a tres.

Decimos que el intervalo de todos los valores de 𝑥 para los cuales la serie de potencias converge se llama intervalo de convergencia de la serie. En realidad, sabemos que la serie de potencias convergerá para 𝑥 igual a 𝑎. Así que aquí 𝑥 es igual a tres. Pero eso es todo lo que sabemos hasta ahora. Vamos a utilizar el criterio d’Alembert para determinar el resto de valores de 𝑥 para los que la serie de potencias convergerá. Este criterio dice que, si tenemos una serie sumatoria de 𝑎𝑛, y definimos 𝑙 de manera que es igual al límite cuando 𝑛 tiende a infinito de 𝑎𝑛 más uno sobre 𝑎𝑛. Entonces, si 𝑙 es menor que uno, la serie es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente. Este es el escenario que nos interesa. Por lo tanto, 𝑙 debe ser el límite cuando 𝑛 tiende a infinito del valor absoluto de dos a la 𝑛 más uno por 𝑒 a la sexta por 𝑥 menos tres a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno factorial dividido por dos a la 𝑛 por 𝑒 a la sexta por 𝑥 menos tres a la 𝑛, todo sobre 𝑛 factorial.

Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el recíproco de esa fracción. Así que podemos reescribir nuestro límite como se muestra. Notamos que podemos realizar alguna simplificación. Podemos cancelar 𝑒 a la sexta y dos a la 𝑛. De igual modo, podemos cancelar 𝑥 menos tres a la 𝑛. Y si finalmente recordamos que 𝑛 más uno factorial es lo mismo que 𝑛 más uno por 𝑛 factorial, vemos que podemos cancelar 𝑛 factorial también. Todo esto se simplifica. Vemos que 𝑙 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a infinito del valor absoluto de dos por 𝑥 menos tres sobre 𝑛 más uno.

De hecho, la expresión dos por 𝑥 menos tres es independiente de 𝑛. Así que podemos sacarla fuera del límite, recordando que debemos escribir el valor absoluto de dos por 𝑥 menos tres. Y 𝑙 es igual al valor absoluto de dos por 𝑥 menos tres por el límite cuando 𝑛 tiende a infinito del valor absoluto de uno sobre 𝑛 más uno. Según 𝑛 se hace más grande, uno sobre 𝑛 más uno se hace más pequeño. Por tanto, el límite tiende a cero. Esto significa que 𝑙 es igual a cero. Por supuesto, esto es menor que uno. Y vale cero sea cual sea el valor de 𝑥. Hemos obtenido, pues, que nuestra serie es absolutamente convergente para todos los valores de 𝑥. Su intervalo de convergencia es de menos infinito a infinito.

La tercera parte de esta cuestión pregunta: ¿cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor de 𝑓 alrededor de 𝑥 igual a tres?

Recuerda que el número 𝑅, que llamamos el radio de convergencia, es tal que la serie de potencias convergerá para valores absolutos de 𝑥 menos 𝑎 menores que 𝑅 y divergirá para valores absolutos de 𝑥 menos 𝑎 mayores que 𝑅. Bien, acabamos de demostrar que nuestra serie de potencias es absolutamente convergente en todas partes. Se trata de un caso especial para el radio de convergencia. En casos como este, decimos que el radio de convergencia es infinito. 𝑅 es, por lo tanto, igual a infinito.

En este video, hemos visto que, si 𝑓 tiene un desarrollo en serie de potencias alrededor de 𝑎, la serie de Taylor de la función 𝑓 alrededor de 𝑎, o en un entorno de 𝑎, es la sumatoria de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎 sobre 𝑛 factorial, por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e infinito. Hemos visto que, si 𝑅 representa el radio de convergencia, la serie de potencias convergerá para valores absolutos de 𝑥 menos 𝑎 menores que 𝑅 y divergirá para valores absolutos de 𝑥 menos 𝑎 mayores que 𝑅. Y, finalmente, hemos aprendido que podemos usar el criterio d’Alembert, u otros criterios adecuados, para obtener el intervalo de convergencia. La serie de potencias converge para valores de 𝑥 mayores que 𝑎 menos 𝑅 y menores que 𝑎 más 𝑅. Y se deduce que la serie de potencias converge siempre si 𝑥 es igual a 𝑎.

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