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Vídeo de la lección: Límites y comportamiento asintótico Matemáticas • Educación superior

En este vídeo vamos a aprender cómo usar límites para analizar el comportamiento asintótico de las funciones.

11:33

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar límites para ayudarnos a determinar el comportamiento asintótico de las funciones. Para ello, vamos a recordar primero lo que significa que una función tenga asíntotas horizontales y verticales, y vamos a aplicar las propiedades de los límites para ayudarnos a localizar las asíntotas.

Empecemos recordando la definición de asíntota horizontal y de asíntota vertical. Una asíntota de este tipo es, respectivamente, una recta horizontal, o una recta vertical, tal que la distancia entre la curva y la recta tiende a cero cuando la coordenada 𝑥, o la coordenada 𝑦, tiende a ∞. La gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 al cuadrado, por ejemplo, tiene una asíntota horizontal, la cual está dada por la ecuación 𝑦 igual a cero, y una asíntota vertical, la cual está dada por la ecuación 𝑥 igual a cero.

Ten en cuenta que una función puede no tener ninguna asíntota horizontal o vertical. Por ejemplo, las funciones 𝑦 igual a seno de 𝑥 y 𝑦 igual a coseno de 𝑥 no tienen asíntotas en ningún punto. Análogamente, las gráficas de las funciones polinómicas son suaves y continuas, sin asíntotas de ningún tipo. Lo que pretendemos aquí es formalizar esta definición usando límites. Si la función 𝑓 está definida en un intervalo abierto entre 𝑎 y ∞, entonces si el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de la función es igual a un valor constante 𝐿, esto significa que el valor de la función puede acercarse arbitrariamente a 𝐿 si 𝑥 se hace lo suficientemente grande. Visualmente, esto tendría esta pinta.

De igual modo, para una función que está definida en un intervalo abierto entre menos ∞ y 𝑎, podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a menos ∞ de la función ha de ser igual a una constante 𝐿. Entonces, los valores de la función pueden hacerse tan próximos a 𝐿 como se desee, esta vez haciendo que 𝑥 tome un valor negativo lo suficientemente grande. Y como ves, aquí tenemos de nuevo un diagrama que representa esta situación. Fíjate en que la gráfica se aproxima cada vez más a la recta horizontal 𝑦 igual a 𝐿 cuando 𝑥 se hace lo suficientemente grande, o sea, cuando su valor negativo se hace lo suficientemente grande. Y esto nos ayuda con la definición formal de una asíntota horizontal. Decimos que la recta dada por la ecuación 𝑦 igual a 𝐿 es una asíntota horizontal de la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿, o si el límite cuando 𝑥 tiende a menos ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿.

Pero ¿qué hay de las asíntotas verticales? En este caso, decimos que la recta 𝑥 igual a 𝑎 es una asíntota vertical de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si al menos una de las siguientes afirmaciones es cierta. Nos estamos refiriendo a los límites laterales. Si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda de 𝑓 de 𝑥 es más o menos ∞. Si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha de 𝑓 de 𝑥 es más o menos ∞. O si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es más o menos ∞. Y esto es válido para toda función que esté definida en un intervalo abierto que contenga 𝑎, pero quizás no en 𝑥 igual a 𝑎. En concreto, en las funciones racionales —esto es, en las funciones que tienen la forma de cociente de polinomios— las asíntotas verticales son rectas verticales que corresponden a los ceros del denominador de nuestra función racional. Veamos ahora cómo aplicar estas definiciones.

Halla las asíntotas horizontales y las asíntotas verticales de 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 al cubo más dos partido por 𝑥 al cubo menos uno.

Comencemos recordando la definición de asíntota horizontal y de asíntota vertical. Decimos que la recta 𝑦 igual a 𝐿 es una asíntota horizontal de la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿 o el límite cuando 𝑥 tiende a menos ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Y decimos que la recta vertical 𝑥 igual a 𝑎 es una asíntota vertical de la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si al menos una de estas afirmaciones es cierta. En particular, en las funciones racionales, las que se escriben como cocientes de polinomios, las asíntotas verticales son las rectas verticales que corresponden a los ceros del denominador de la función.

Así que en esta cuestión 𝑓 de 𝑥 es igual a dos 𝑥 al cubo más dos sobre 𝑥 al cubo menos uno. Vamos a comenzar hallando el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de dos 𝑥 al cubo más dos sobre 𝑥 al cubo menos uno. Normalmente, primero comprobamos si podemos hacerlo aplicando el método de sustitución directa. Sin embargo, si aplicáramos el método de sustitución directa, obtendríamos ∞ sobre ∞, y sabemos que esto es una forma indeterminada. Por lo tanto, antes de hacer eso, vamos a manipular nuestra expresión un poco. Vamos a dividir tanto el numerador como el denominador de nuestro cociente por la potencia de 𝑥 de mayor grado en el denominador. Esto es 𝑥 al cubo. Y obtenemos dos 𝑥 al cubo sobre 𝑥 al cubo más dos sobre 𝑥 al cubo todo partido por 𝑥 al cubo menos uno sobre 𝑥 al cubo.

Dos 𝑥 al cubo sobre dos 𝑥 al cubo es dos. Y 𝑥 al cubo sobre 𝑥 al cubo es uno. Ahora, vemos que, a medida que 𝑥 tiende a ∞, dos sobre 𝑥 al cubo y uno sobre 𝑥 al cubo tienden a cero. Así que el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de nuestra función es dos sobre uno, que es dos. Además, cuando 𝑥 tiende a menos ∞, obtenemos el mismo resultado. Así que la recta de ecuación 𝑦 igual a dos es una asíntota horizontal de nuestra función.

Veamos ahora cómo hallar la asíntota vertical. Queremos hallar un valor de 𝑥 que sea tal que el límite de la función cuando 𝑥 tiende a este valor sea más o menos ∞. Y, como ya hemos dicho, la forma de hacerlo en funciones racionales es buscando los ceros del denominador. El denominador de nuestra función es 𝑥 al cubo menos uno. Así que tenemos que encontrar el punto en el que 𝑥 al cubo menos uno es igual a cero. Sumamos uno a ambos lados de la ecuación y obtenemos que 𝑥 al cubo es igual a uno. Seguidamente calculamos la raíz cúbica de ambos lados. Y hallamos que la solución real de la ecuación 𝑥 al cubo menos uno igual a cero es 𝑥 igual a uno. De esta forma hemos hallado la asíntota vertical de nuestra función. Es 𝑥 igual a uno.

En el siguiente ejemplo vamos a ver una función en la que vamos a tener que hacer algo más de manipulación.

Halla las asíntotas horizontales y las verticales de 𝑓 de 𝑥 igual a uno partido por 𝑥 menos uno, menos dos.

Recordemos primero lo que es una asíntota horizontal y una asíntota vertical. Decimos que la recta 𝑦 igual a 𝐿 es una asíntota horizontal de una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si el límite cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Igualmente, 𝑥 igual a 𝑎 es una asíntota vertical de una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si una de las siguientes afirmaciones es cierta. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda de la función es más o menos ∞. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha de la función es más o menos ∞. O el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de la función es más o menos ∞.

Y nuestra función 𝑓 de 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥 menos uno menos dos. Así que vamos a comenzar calculando el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de uno partido por 𝑥 menos uno menos dos. Y no tenemos que hacer mucha manipulación aquí. Cuando 𝑥 es lo suficientemente grande, uno sobre 𝑥 menos uno tiende a cero. De esta forma, el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de uno sobre 𝑥 menos uno menos dos es cero menos dos, que es menos dos. Y de hecho, cuando 𝑥 tiende a menos ∞, uno sobre 𝑥 menos uno sigue tendiendo a cero. Así que el límite cuando 𝑥 tiende a menos ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a menos dos también. De este modo hemos hallado que la ecuación 𝑦 igual a menos dos es una asíntota horizontal de nuestra función.

Consideremos ahora las asíntotas verticales. De manera menos formal decimos que, en las funciones racionales —esto es, en aquellas funciones que se escriben como un cociente de polinomios— las asíntotas verticales son las rectas que corresponden a los ceros del denominador de la función. Por lo tanto, vamos a empezar haciendo una sola fracción con uno sobre 𝑥 y menos uno, creando para ello un denominador común. Multiplicamos dos sobre uno por 𝑥 menos uno sobre 𝑥 menos uno. Y seguidamente restamos el numerador. Así que tenemos uno menos dos por 𝑥 menos uno sobre 𝑥 menos uno. Ahora simplificamos. Y hallamos que 𝑓 de 𝑥 puede escribirse como tres menos dos 𝑥, partido por 𝑥 menos uno.

Estamos buscando aquellos valores de 𝑥 que hacen que nuestro denominador, 𝑥 menos uno, sea igual a cero. Si despejamos 𝑥 en esta ecuación sumando uno a ambos lados, hallamos que 𝑥 es igual a uno. Y ya hemos hallado las asíntotas horizontales y las verticales de 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 menos uno menos dos. La asíntota horizontal es 𝑦 igual a menos dos. Y la asíntota vertical es 𝑥 igual a uno.

Ahora vamos a ver un ejemplo en el que se nos pide hallar las asíntotas de una función que no es racional.

Halla las asíntotas horizontales y verticales de la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 menos seno de 𝑥.

Como hemos visto, la recta horizontal 𝑦 igual a 𝐿 es una asíntota de la función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si el límite cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Y para una asíntota vertical, decimos que 𝑥 igual a 𝑎 es una asíntota si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda de 𝑓 de 𝑥 es más o menos ∞. O si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha de 𝑓 de 𝑥 es más o menos ∞. O si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es más o menos ∞.

En este problema, 𝑓 de 𝑥 viene dada por tres 𝑥 menos seno de 𝑥. Así que vamos a comenzar hallando el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de tres 𝑥 menos seno de 𝑥. Recordemos que el límite de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de los límites de dichas funciones. Así que podemos escribir esto como el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de tres 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de seno de 𝑥. Cuando 𝑥 tiende a ∞, tres 𝑥 también tiende a ∞, mientras que seno de 𝑥 solo puede tomar valores en el intervalo cerrado de menos uno a uno. Por lo tanto, el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de tres 𝑥 menos seno de 𝑥 es ∞. Este no es un valor constante como se requiere para 𝐿. Así que no hay ninguna asíntota horizontal aquí.

Vamos a considerar el límite cuando 𝑥 tiende a menos ∞. Una vez más, lo descomponemos en el límite de tres 𝑥 menos el límite de seno de 𝑥. Cuando 𝑥 tiende a menos ∞, tres 𝑥 también tiende a menos ∞. Sin embargo, una vez más, seno de 𝑥 oscila entre menos uno y uno. Pero esto no influye en un número tan grande como menos ∞. Así que el límite cuando 𝑥 tiende a menos ∞ de tres 𝑥 menos seno de 𝑥 es menos ∞. Por lo tanto, concluimos que no hay asíntotas horizontales.

Ahora vamos a considerar las asíntotas verticales. Y para ello vamos a descomponer nuestro límite. Estamos buscando el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de tres 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de seno de 𝑥. Queremos hallar una situación en la que esto sea igual a más o menos ∞. Hemos visto que la única manera de que el límite de tres 𝑥 sea ∞ es si 𝑥 tiende a ∞. Del mismo modo, para que tres 𝑥 tienda a menos ∞, 𝑥 debe tender a menos ∞, en tanto que el recorrido de seno de 𝑥 es el intervalo cerrado de menos uno a uno. Así que la única manera de que el límite de nuestra función tienda a más o menos ∞ es si 𝑥 tiende a más o menos ∞. Así que tampoco hay asíntotas verticales. Por lo tanto, la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 menos seno de 𝑥 no tiene asíntotas horizontales ni verticales.

Tras terminar de analizar los tres ejemplos que hemos visto en este vídeo, puede que pienses que solo las funciones racionales tienen asíntotas horizontales o verticales. Esto no es así. Y vamos a ver brevemente un par de ejemplos para demostrarlo. Sabemos que el límite cuando 𝑥 tiende a cero por la derecha de la función logaritmo neperiano de 𝑥 es menos ∞. Por lo tanto, 𝑥 igual a cero es una asíntota vertical de la función 𝑦 igual a logaritmo neperiano de 𝑥. Y ocurre lo mismo con 𝑦 igual a logaritmo en base 𝑏 de 𝑥, siempre que el valor de 𝑏 sea mayor que uno.

En este vídeo hemos aprendido que la recta 𝑦 igual a 𝐿 es una asíntota horizontal de la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si el límite cuando 𝑥 tiende a ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿 o si el límite cuando 𝑥 tiende a menos ∞ de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿. Análogamente, hemos hallado que la recta vertical 𝑥 igual a 𝑎 es una asíntota vertical de la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si una al menos de las seis afirmaciones que se muestran aquí es verdadera. Además, de manera menos formal hemos aprendido que, en funciones racionales, las asíntotas verticales corresponden a los ceros del denominador de esa función.

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