Vídeo: La derivabilidad de una función

En este video, vamos a explorar la relación entre la derivabilidad de una función y su continuidad y vamos a aprender cómo determinar si una función es derivable.

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Transcripción del vídeo

La derivabilidad de una función

En este video, vamos a aprender cómo determinar si una función es derivable. Y vamos a explorar la relación entre la derivabilidad de una función y su continuidad. El proceso de hallar una derivada se llama derivación. La derivada es uno de los conceptos fundamentales del cálculo, por lo tanto, la derivabilidad, es una propiedad muy importante. Así que saber si una función es derivable o no puede ser muy útil. Recordemos que la derivada mide la tasa a la que el valor de la función 𝑓 varía con respecto a la variación de la variable independiente 𝑥.

De una manera más formal, la derivada puede ser definida usando límites. La derivada de una función 𝑓 en el punto donde 𝑥 es igual a 𝑥 cero está definida como el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 cero todo dividido por ℎ. Puede ser útil pensar en la parte inferior de esta fracción como 𝑥 cero más ℎ menos 𝑥 cero, que es, por supuesto, ℎ. De esta forma, vemos que nuestra fórmula se puede expresar como el límite del cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥 cuando este cambio se vuelve infinitamente pequeño. Así que una definición equivalente para la derivada sería el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑥 cero de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥 cero, todo dividido por 𝑥 menos 𝑥 cero. Ambas definiciones se usan frecuentemente, pero en este video vamos a usar principalmente la primera.

Un punto clave que vamos a usar en este video es que la derivada solo existe si el límite que la define existe. Si este límite — y, por lo tanto, la derivada — existe en un punto, decimos que nuestra función es derivable en este punto. Pero, antes de continuar, debemos señalar que existen dos formas de notación diferentes para la derivada. Si decimos que 𝑦 es igual a nuestra función 𝑓 de 𝑥, la derivada puede ser escrita como se muestra a continuación. La primera forma es d𝑦 sobre d𝑥, que se conoce como notación de Leibniz. Esta notación utiliza los diferenciales que vemos aquí: d𝑦 y d𝑥.

La segunda forma es como 𝑓 apóstrofo de 𝑥 o 𝑓 prima de 𝑥. Y esto se conoce como notación de Lagrange. Ambas notaciones son muy usadas. Y las vamos a ver en este video. Volviendo a nuestro tema, si imaginamos 𝑓 de 𝑥 como una curva, la derivada de 𝑓 de 𝑥 representa la pendiente de la tangente a esa curva. Por tanto, tiene sentido que si no podemos definir la tangente de nuestra curva, la derivada no existe. Observar la gráfica de una función a menudo nos da un mejor entendimiento visual de dónde la función es derivable y dónde no lo es, como vamos a ver en el siguiente ejemplo.

La figura nos muestra la gráfica de 𝑓. ¿Qué podemos afirmar sobre la derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 igual a menos cuatro?

Aquí tenemos una gráfica definida en el intervalo desde menos siete hasta menos uno. A lo largo del intervalo vemos que la curva es suave en todos los puntos, excepto en el punto en donde 𝑥 es igual a menos cuatro. En este punto de coordenadas menos cuatro, cinco, tenemos un pico. Esto significa que la pendiente de la tangente inmediatamente a la izquierda de 𝑥 igual a menos cuatro será diferente a la pendiente de la tangente inmediatamente a la derecha de 𝑥 igual a menos cuatro. Incluso podemos ver que una de las pendientes es positiva y que la otra es negativa. Dado que tenemos pendientes tan diferentes a cada lado, deducimos que no es posible definir una tangente en 𝑥 igual a menos cuatro. Y, por lo tanto, tampoco es posible definir la derivada.

Si imaginamos la gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 prima de 𝑥, o sea, la gráfica de la derivada, esperaríamos ver un salto brusco en el valor de 𝑦 cuando 𝑥 es igual a menos cuatro. De nuestras observaciones concluimos que la función no es derivable en 𝑥 igual a menos cuatro porque la tasa de variación de la función no tiene el mismo valor en ambos lados de ese punto. Y con esta afirmación hemos respondido nuestra pregunta.

Cabe señalar que podríamos haber hecho un argumento más riguroso basado en los límites que definen la derivada. Sin embargo, este ejemplo muestra que a veces es posible determinar rápidamente la derivabilidad de una función basándonos en su gráfica.

Además de picos como el que vimos en el ejemplo anterior, hay muchas otras razones por las que una función 𝑓 puede no ser derivable en un punto donde 𝑥 es igual a 𝑥 cero. Todos estos casos pueden entenderse recordando nuestra definición de la derivada y considerando cuándo podemos decir que este límite existe o no existe. Aquí, hemos esbozado una serie de gráficas y revisaremos cada una de sus implicaciones. En los primeros dos casos, tenemos una discontinuidad y un pico. En ambos casos, los límites por el lado izquierdo y por el lado derecho cuando ℎ tiende a cero no coinciden. Al no coincidir, sabemos que el límite que define la derivada no existe. Y, por lo tanto, la función no es derivable en 𝑥 cero.

En los siguientes dos casos, tenemos una cúspide puntiaguda y una tangente vertical. Sabemos que, en una gráfica, las rectas verticales o que tienden a la vertical corresponden a pendientes infinitas. Esto significa que nuestros límites derecho e izquierdo cuando ℎ tiende a cero tomarán valores de más o menos infinito. En el caso de una cúspide puntiaguda, estos límites derecho e izquierdo no coinciden, tomando valores de infinito con signos opuestos, mientras que en el caso de la tangente vertical, coincidirían. Y ya sabemos lo que pasa cuando los límites unilaterales no son iguales. Sin embargo, incluso cuando estos coinciden, por ejemplo, si ambos toman el valor de más infinito y decimos que nuestro límite también es igual a más infinito. Esta sigue siendo simplemente una forma particular de expresar que el límite no existe, ya que infinito no es un número sino un concepto.

Finalmente, en el caso del comportamiento oscilante, observamos oscilaciones cada vez más frecuentes a medida que nuestro valor de 𝑥 tiende a 𝑥 cero. Es claro que, si este es el caso, la pendiente de nuestra gráfica, que representa la derivada, también oscila cada vez más rápidamente a medida que nuestro valor de 𝑥 tiende a 𝑥 cero, o sea, cuando ℎ tiende a cero. Esto significa que no tiene sentido asignar un valor a nuestro límite cuando ℎ tiende a cero. Y, por lo tanto, decimos que este límite no existe. Como para cada uno de estos casos, el límite no existe. La derivada no existe. Y podemos decir que nuestra función no es derivable en 𝑥 cero.

Debemos saber que junto con el cálculo de un límite, hay varias otras herramientas que podemos usar para hallar la derivada de una función. Un ejemplo de esto es la regla de la potencia, que nos dice que si una función 𝑓 de 𝑥 toma la forma 𝑥 elevado a 𝑛, la derivada de esta función será 𝑛 por 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Notamos aquí que nuestros pasos han sido multiplicar por el exponente al cual está elevado 𝑥. Y luego reducimos este exponente en uno. Veamos un ejemplo que utiliza la regla de la potencia.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a raíz cúbica de 𝑥. Parte a) ¿cuál es el dominio de 𝑓?

Para el apartado a), recordamos de inmediato que la raíz cúbica de un número está definida en todos los números reales. Si en su lugar tuviéramos una raíz cuadrada, sabemos que esta afirmación no sería correcta, ya que la raíz cuadrada de números negativos no está definida en los números reales. Sin embargo, podemos responder al apartado a) de una manera muy sencilla diciendo que el dominio de 𝑓 es ℝ, los números reales.

Pasemos al apartado b), hallar la derivada de 𝑓. Una de las herramientas que tenemos a nuestra disposición es la regla de la potencia. Esta regla dice que para una función 𝑓 de 𝑥, que toma la forma 𝑥 elevado a 𝑛, la derivada de nuestra función es 𝑛 por 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Para aplicar esto a nuestra pregunta, es útil expresar la raíz cúbica de 𝑥 como 𝑥 elevado a uno sobre tres. Podemos aplicar la regla de la potencia, multiplicando 𝑥 por uno sobre tres, que es nuestra potencia y restando uno de la potencia, lo que nos da menos dos sobre tres. Una forma equivalente de expresar esto sería uno sobre tres por la raíz cúbica de 𝑥 al cuadrado. Así que hemos aplicado con éxito la regla de la potencia. Y hemos resuelto el apartado b), pues hemos hallado una expresión para la derivada de nuestra función 𝑓.

Finalmente, para el apartado c), hallar el dominio de esta derivada, usamos la expresión que acabamos de hallar. Para este apartado de la pregunta, debemos determinar todos los puntos para los cuales 𝑓 prima de 𝑥 no está definida. Como tenemos 𝑓 prima de 𝑥 en la forma de un cociente, podemos decir que no está definida cuando el denominador de este cociente es igual a cero. Por tanto, necesitamos hallar el valor de 𝑥 para el cual tres por raíz cúbica de 𝑥 al cuadrado es igual a cero. Y el único valor que satisface esto es 𝑥 igual a cero. Ya que 𝑥 igual a cero es el único valor para el que 𝑓 prima de 𝑥 no está definida en los números reales, podemos decir lo siguiente. El dominio de la derivada de nuestra función 𝑓 prima es el conjunto de los números reales ℝ menos el conjunto que contiene solo cero.

Hasta ahora hemos resuelto tres partes de nuestra pregunta.

Y podemos tomar nota del hecho de que el dominio de una función 𝑓 no es necesariamente el mismo que el dominio de su derivada. En el ejemplo que acabamos de ver, en lugar de evaluar un límite para hallar nuestra derivada, utilizamos la regla de la potencia para acelerar el proceso. Sin embargo, hay algunos ejemplos en los que la regla de la potencia podría no darnos una comprensión completa de nuestra función. Echemos un vistazo a uno de esos ejemplos para ilustrar esto.

Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos seis 𝑥 menos cuatro, si 𝑥 es menor o igual que menos uno, e igual a tres 𝑥 al cuadrado si 𝑥 es mayor que menos uno. ¿Qué podemos afirmar sobre la derivabilidad de la función en 𝑥 igual a menos uno?

Nos han dado una función definida a trozos que está compuesta por dos subfunciones, un binomio y un monomio. Ambas subfunciones por sí solas son lo que se conoce como suaves y podrían estar definidas sobre todos los números reales. De hecho, cuando están solos, podemos decir que todos los polinomios son suaves, lo que significa que son derivables en todos los números reales. Sin embargo, para una función definida a trozos, debemos comprobar los puntos en el que se unen dos subfunciones. Es decir, en este caso, 𝑥 igual a menos uno. Para comenzar el proceso, derivemos nuestras subfunciones usando la regla de la potencia.

La derivada de menos seis 𝑥 menos cuatro es menos seis por 𝑥 elevado a cero, que es menos seis. La derivada de tres 𝑥 al cuadrado es dos por tres 𝑥, que es seis 𝑥. Podemos representar esto de manera más concisa diciendo que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a menos seis, si 𝑥 es menor que menos uno, y seis 𝑥 si 𝑥 es mayor que menos uno. Cabe señalar que, aunque vemos un símbolo de desigualdad menor o igual aquí, todavía no estamos haciendo ninguna afirmación sobre el valor de nuestra derivada cuando 𝑥 es igual a menos uno, porque esto es lo que estamos tratando de hallar.

Como conocemos la derivada a cada lado del punto donde se unen nuestras dos subfunciones, podemos sustituir el valor de 𝑥 igual a menos uno en las dos subfunciones que acabamos de hallar para 𝑓 prima de 𝑥. Al hacerlo, hallamos que nuestros dos valores son menos seis. Podríamos concluir que, si estos dos valores son iguales, nuestra función es derivable en el punto donde 𝑥 es igual a menos uno. Desafortunadamente, esto no es así. Y para saber por qué. Recordemos la definición de la derivada como límite.

Aquí hemos mostrado el límite que es la definición de la derivada. Para continuar, reconocemos que, dado que nuestra función se define de manera diferente a cada lado del punto donde 𝑥 es igual a menos uno, los límites de los lados izquierdo y derecho tendrán, por lo tanto, diferentes expresiones. Recordando que nuestro 𝑥 cero es igual a menos uno, podemos comenzar expresando el límite izquierdo de la siguiente manera. Claramente, no podemos sustituir ℎ igual a cero en esta expresión. De lo contrario nos quedaríamos con la forma indeterminada de cero sobre cero. Pero sabemos que cuando 𝑥 es menor que menos uno, 𝑓 de 𝑥 es igual a menos seis 𝑥 menos cuatro. Por lo tanto, 𝑓 de menos uno más ℎ se simplificará a dos menos seis ℎ.

De forma similar, cuando 𝑥 es igual a menos uno, 𝑓 de 𝑥 es esa misma subfunción. Y 𝑓 de menos uno se evalúa a dos, y sustituyéndo esto hallamos que la expresión para nuestro límite del lado izquierdo se convierte en dos menos seis ℎ menos dos todo sobre ℎ, que se simplifica a menos seis ℎ sobre ℎ. Ahora, en este punto, como sabemos que ℎ tiende a cero pero no es igual a cero, podemos cancelar el factor común en la mitad superior e inferior de nuestro cociente. Quedándonos con el límite cuando ℎ tiende a cero desde la izquierda de menos seis que, por supuesto, es igual a menos seis.

Para el límite del lado derecho, por un razonamiento similar al anterior, sabemos que cuando 𝑥 es mayor que menos uno, 𝑓 de 𝑥 se define por la subfunción tres 𝑥 al cuadrado. Por lo tanto, en este caso, 𝑓 de menos uno más ℎ se simplifica a tres menos seis ℎ más tres ℎ al cuadrado. Para 𝑓 de menos uno, debemos tener cuidado de no usar nuestro tres 𝑥 al cuadrado también. Cuando 𝑥 es igual a menos uno, 𝑓 está definido por nuestra otra subfunción. Ya hallamos este valor anteriormente y es igual a dos. Una vez más, pasamos por el mismo procedimiento de sustituir en nuestro límite y simplificar la expresión. Esta vez alcanzamos un resultado diferente. Mirando el primer término de nuestro límite, tendremos el límite cuando ℎ tiende a cero desde el sentido positivo de uno sobre ℎ, que es igual a más infinito. Por extensión, esto significa que todo nuestro límite del lado derecho también es igual a más infinito.

Sabemos que esta es una forma particular de expresar que el límite no existe. Si el límite por la derecha no existe, esto significa que el límite no existe. Y, por lo tanto, la derivada no está definida. Esto se debe a que nuestra gráfica tiene, en realidad, una discontinuidad en 𝑥 igual a menos uno. Y si la dibujamos, esto es lo que vemos. Como hemos concluido que la derivada no está definida en 𝑥 igual a menos uno, también estamos en condiciones de decir que la función no es derivable en 𝑥 igual a menos uno. Y, de hecho, esta es la respuesta a nuestra pregunta.

Como vimos en el ejemplo, para demostrar la derivabilidad de una función en un punto, no es suficiente con verificar que los límites de la derivada de la función en el lado izquierdo y en el lado derecho coinciden en ese punto. Para un valor 𝑥 cero, es necesario también verificar que los límites izquierdo y derecho de la función cuando 𝑥 tiende a 𝑥 cero existen, coinciden y son iguales al valor de la función en 𝑥 cero. Quizás una forma más familiar de esto se obtiene recordando que si se cumplen estas dos condiciones, el límite también existe y tiene ese mismo valor. De hecho, esta es la condición para la continuidad.

Una regla general importante que podemos usar es que si una función es derivable en un punto 𝑥 cero, entonces es continua en ese punto. Una declaración lógicamente equivalente a este resultado es que si la función no es continua en un punto 𝑥 cero, tampoco es derivable en 𝑥 cero. Debemos tener un poco de cuidado para no extender demasiado esta regla y terminar con la falsa conclusión de que si una función es continua en 𝑥 cero, también es derivable en 𝑥 cero. De hecho, esto es falso. Y la siguiente ilustración puede ayudarnos a entender esto.

Supongamos que este círculo naranja representa todas las funciones que son continuas. El círculo rosa representa todas las funciones que son derivables. Como podemos ver, nuestro círculo de las funciones derivables está propiamente contenido dentro del círculo de las funciones que son continuas. Si tenemos una función 𝑓 de 𝑥 que está dentro de nuestro círculo de las funciones derivables, sabríamos con seguridad que también está dentro de nuestro círculo de las funciones continuas. Si ahora consideramos una función 𝑔 de 𝑥 que no está dentro de nuestro círculo de las funciones continuas. Mirando este diagrama, sabemos con certeza que tampoco estará dentro de nuestro círculo de las funciones derivables.

Sin embargo, si consideramos una tercera función ℎ de 𝑥, es posible que esté dentro de nuestro círculo de las funciones continuas sin estar necesariamente dentro de nuestro círculo de las funciones derivables. Esto significa que, si ℎ de 𝑥 es continua, puede ser derivable y puede no serlo. Y no podemos sacar conclusiones solo en función de su continuidad. De hecho, hay muchos ejemplos de funciones que son continuas pero no derivables. Y ya hemos visto esto en la función con pico de nuestra primera pregunta. Para determinar si una función es derivable en 𝑥 cero, podemos seguir los siguientes pasos.

Primero comprobamos que nuestra función 𝑓 es continua en 𝑥 cero. Si no es así, concluimos que nuestra función no es derivable en 𝑥 cero. Pero, si es continua, aún hemos de comprobar que los límites por la izquierda y por la derecha, cuando 𝑥 tiende a 𝑥 cero de nuestra derivada 𝑓 prima de 𝑥, existen y son iguales. Si estos límites no son iguales, concluimos que nuestra función no es derivable en 𝑥 cero. Sin embargo, si son iguales. Podemos concluir que nuestra función 𝑓 es derivable en 𝑥 cero. Veamos un último ejemplo para ilustrar este procedimiento.

Supongamos que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos uno más tres sobre 𝑥, si 𝑥 es menor o igual que uno, y menos 𝑥 al cubo más tres, si 𝑥 es mayor que uno. ¿Qué se puede afirmar sobre la derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 igual uno?

Aquí, se nos ha dado una función definida a trozos y nos han pedido que verifiquemos la derivabilidad. Si llamamos 𝑥 cero nuestro valor de uno, nuestro proceso general para este tipo de preguntas requiere primero verificar la continuidad en 𝑥 cero. Y luego, si esto se cumple, hemos de comprobar que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑥 cero de nuestra derivada existe, lo que significa que hemos de verificar que los límites izquierdo y derecho existen y son iguales. Primero comenzamos con la condición de continuidad expresada aquí. Dado que esta es una función definida a trozos, tendremos que verificar que los límites izquierdo y derecho a medida que 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥 existen y son iguales. Cuando 𝑥 es menor que uno, nuestra función es menos uno más tres sobre 𝑥. Por sustitución directa, nuestro límite por la izquierda se evalúa a dos. Cuando 𝑥 es mayor que uno, nuestra función es menos 𝑥 al cubo más tres. Y de la misma forma, el límite por la derecha también se evalúa a dos.

Dado que estos dos límites existen y coinciden, podemos decir que el límite existe y es igual a dos. Pasando a 𝑓 de uno, la función aquí está definida por nuestra primera subfunción, ya que 𝑥 es igual a uno. Y, de hecho, ya hemos sustituido uno en nuestra primera subfunción aquí, lo que nos dio una respuesta de dos. Esto significa que podemos decir que tanto el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥 como 𝑓 de uno son ambos iguales a dos. Por lo tanto, hemos comprobado la condición de continuidad y demostrado que nuestra función es continua cuando 𝑥 es igual a uno. Pasemos ahora a considerar la derivada de nuestra función.

Dado que nuestra función está definida a trozos, la derivada de nuestra función también se definirá a trozos. Y necesitaremos derivar nuestras dos subfunciones. Y aquí cabe señalar que todavía no estábamos haciendo ninguna afirmación sobre la derivada cuando 𝑥 es igual a uno, ya que eso es lo que estamos tratando de hallar en este momento. Una de las herramientas que podemos usar para ayudarnos a diferenciar nuestras subfunciones es la regla de la potencia escrita aquí. Para ayudarnos a aplicar esta regla más fácilmente, podemos expresar tres sobre 𝑥 como tres 𝑥 elevado a menos uno. Aplicando la regla, obtenemos 𝑓 prima de 𝑥 igual a menos tres sobre 𝑥 al cuadrado si 𝑥 es menor que uno y menos tres 𝑥 al cuadrado si 𝑥 es mayor que uno.

A continuación, necesitamos considerar el límite cuando 𝑥 se acerca a uno de 𝑓 prima de 𝑥. Lo haremos considerando los límites por el lado izquierdo y por el derecho en un procedimiento similar al que acabamos de utilizar para la condición de continuidad. Mediante la sustitución directa de uno, hallamos que ambos límites son iguales a menos tres. Y dado que existen y coinciden, el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 prima de 𝑥 también es igual a menos tres. Dado que este límite existe, sabemos que nuestra derivada también existe en 𝑥 igual a uno. Ahora hemos completado todos los pasos de nuestro proceso. Y a partir de esto, podemos concluir que la función 𝑓 es derivable en el punto donde 𝑥 es igual a uno.

En este ejemplo, hemos visto el proceso para determinar si una función es derivable en un punto. Hemos hecho esto utilizando la relación entre la derivabilidad y la continuidad junto con herramientas de derivación, como la regla de la potencia. Para resumir, veamos algunos puntos clave. La derivada se puede representar utilizando la notación de Leibniz o la notación de Lagrange. Y tenemos dos definiciones alternativas, pero equivalentes, las cuales utilizan límites. Si el límite no existe, la función no es derivable en este punto. Y hay varias maneras diferentes en que esto puede ocurrir. Y, finalmente, podemos sacar conclusiones sobre nuestra función haciendo uso de la relación entre derivabilidad y continuidad.

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