Vídeo: Calcular el área de un triángulo usando trigonometría

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver cómo podemos hallar el área de un triángulo usando trigonometría. Para hacer esto, necesitamos saber las longitudes de dos lados y el ángulo comprendido. Pero antes de esto, consideremos un rectángulo. Sabemos que un rectángulo tiene cuatro ángulos de 90 grados. Tiene longitud y anchura. Y el área es igual a la longitud por la anchura. Si dibujamos una diagonal a través del rectángulo, lo habremos dividido en dos triángulos iguales. Y cada uno de estos triángulos tiene un área de un medio de la longitud por la anchura.

Observemos el triángulo rectángulo más de cerca. Cuando estamos trabajando con un triángulo, esta anchura se convierte en una altura. Y en lugar de llamar a esto longitud, lo llamamos base. La clave para usar esta fórmula es que la altura es perpendicular a la base. La altura tiene que ser perpendicular. Si no es así no podemos usar esta fórmula.

Supongamos ahora que estamos trabajando con un triángulo como este. Podemos llamar base a este lado. Y la altura de este triángulo será, pues, la distancia perpendicular desde la base al vértice opuesto a esa base. Esta distancia es la altura. Y, por lo tanto, el área de este triángulo es también un medio por la altura por la base. Esta fórmula es correcta porque cada triángulo es la mitad de un rectángulo.

Si hacemos una copia de este triángulo y movemos las piezas, podemos hacer un rectángulo. Esto demuestra que la fórmula área igual a un medio de la altura por la base sirve para hallar el área de cualquier triángulo siempre que la altura sea una verdadera altura, es decir, perpendicular a la base. Pero este video nos ayudará a aprender cómo calcular el área de triángulos cuando no se nos da la altura. En estos casos, necesitamos recurrir a la trigonometría.

Veamos, pues, cómo se hace esto. El área es igual a un medio de la base por la altura. Y sabemos que la altura es un segmento perpendicular a la base. Y en este triángulo, nuestra base es 𝑎. Dejemos esto así. Queremos usar trigonometría para ayudarnos a hallar la altura. La altura de este triángulo divide el triángulo más grande en dos triángulos más pequeños. Y los dos triángulos más pequeños que forman el triángulo más grande son ambos triángulos rectángulos.

Si llamamos 𝑃 al punto donde la altura se interseca con la base, podemos ver que el triángulo 𝐴𝑃𝐶 es un triángulo rectángulo. Vamos a mover esa información un poco más arriba. También podemos ver que el segmento 𝐴𝑃 es la altura del triángulo más grande 𝐴𝐵𝐶. Notamos, además, que el lado 𝑏 es la hipotenusa del triángulo pequeño 𝐴𝑃𝐶. Y fijémonos ahora en el ángulo 𝐶. El ángulo 𝐶 es opuesto al segmento de recta 𝐴𝑃, o sea, a lo que hemos llamado ℎ.

Ya hemos dicho que el lado 𝑏 es la hipotenusa. Si conocemos el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo, ¿en qué función trigonométrica deberíamos pensar? Podemos elegir entre el seno, el coseno y la tangente. Y el seno es el cateto opuesto sobre la hipotenusa. Esto significa que podemos decir que sen de 𝜃 es igual a ℎ sobre 𝑏. Esto quiere decir que la altura sobre la longitud del lado 𝑏 será igual a sen de 𝜃.

Queremos hallar la altura. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por la longitud 𝑏, podemos decir que la altura es igual a sen de 𝜃 por 𝑏. Y en el caso de este triángulo, sabemos que 𝜃 es el ángulo 𝐶. Y podemos remplazar la altura por sen de 𝐶 por 𝑏. Así que, otra forma de hallar el área de un triángulo es hacer un medio por sen 𝐶 por 𝑏 por 𝑎. Ordenando los factores en una forma más usual obtenemos que el área de un triángulo se halla haciendo un medio por 𝑎 por 𝑏 por sen de 𝐶.

Antes de continuar, revisemos esto una vez más. Podemos hallar el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 si conocemos las longitudes de dos lados y el valor del ángulo comprendido. Si conocemos, en cambio, las longitudes de los lados 𝑎 y 𝑏 y el valor del ángulo 𝐴, no podemos usar esta regla. Tampoco podemos usar esta regla si sabemos las longitudes de los lados 𝑎 y 𝑏 y la medida del ángulo 𝐵. Debemos conocer el ángulo comprendido, el ángulo que forman los dos lados que conocemos. Para usar esta fórmula, debemos tener las longitudes de dos lados y la medida del ángulo comprendido. No importa qué dos lados, siempre y cuando el ángulo que se nos dé sea contiguo a esos dos lados. Veamos ahora algunos ejemplos.

¿Cuál de las expresiones es una fórmula que puede ser usada para hallar el área de un triángulo? A) un medio 𝑎𝑏 cos 𝐶, B) un medio 𝑎𝑏 sen 𝐶, C) un tercio 𝑎𝑏 sen 𝐶, D) un cuarto 𝑎𝑏 cos 𝐶, o E) un cuarto 𝑎𝑏 sen 𝐶.

Si dibujamos un triángulo y lo llamamos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, la longitud del lado opuesto al vértice 𝐴 está generalmente representada por la letra 𝑎 minúscula. La longitud del lado opuesto al vértice 𝐵 por la letra 𝑏 minúscula. Y llamamos 𝑐 minúscula a la longitud del lado opuesto al vértice 𝐶. Debemos tener en cuenta que un triángulo es la mitad de un rectángulo. Y por eso, no parece probable que las opciones entre C y E sean la respuesta.

Notamos que las opciones A y B utilizan el ángulo en el vértice 𝐶, que es este ángulo, y las longitudes 𝑎 y 𝑏. Y reconocemos, por lo tanto, que tenemos dos lados y el ángulo comprendido. Y sabemos que la altura de este triángulo será igual a 𝑏 por el sen de 𝐶. Si usamos trigonometría para calcular el área de un triángulo, hemos de hacer un medio por 𝑎 por 𝑏 por sen de 𝐶, que es la opción B aquí.

Para este ejemplo, necesitamos aplicar la fórmula de la que hemos estado hablando.

En la figura dada, calcula el área del triángulo con dos cifras decimales.

En esta figura, nos han dado dos lados y el ángulo comprendido. Como tenemos esta información, podemos usar la fórmula 𝐴 igual a un medio por 𝑎𝑏 por sen de 𝐶 para hallar el área, en donde 𝑎 y 𝑏 son lados y 𝐶 es el ángulo comprendido. El área de este triángulo viene dada por un medio por 10 por siete por sen de 136 grados. Si ingresamos estos valores en la calculadora, obtenemos 24.3130429 etcétera. Si tu calculadora no te dio esta respuesta, debes asegurarte de que esté configurada en grados y no en radianes.

Nuestra respuesta final la queremos redondeada a dos cifras decimales. Hay un uno en el segundo lugar decimal. A su derecha, en el tercer lugar decimal, en el lugar de las milésimas, hay un tres. Esto significa que debemos redondear a 24.31. No nos han dado unidades, así que podemos decir que el área de este triángulo es 24.31 unidades cuadradas.

El siguiente ejemplo puede parecer tan simple como el anterior, pero requiere de algunos pasos más para hallar el área.

La figura muestra un terreno de forma triangular con lados de 670 metros, 510 metros y 330 metros. Halla el área del terreno, y redondea la respuesta al metro cuadrado más cercano.

No nos han dado la medida de ninguno de los ángulos de este triángulo. Eso significa que, de momento, no podemos calcular una distancia perpendicular que pueda hacer de altura. Para poder continuar, tenemos que hallar al menos uno de los ángulos. Como conocemos los tres lados, hay una regla que podemos usar aquí. Se trata de la regla del coseno, la cual dice que 𝑐 al cuadrado es igual a 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado menos dos 𝑎𝑏 por cos de 𝐶.

Lo que queremos hallar es la medida del ángulo 𝐶. No sabemos cuánto es. Pero podemos reorganizar esta ecuación para despejar cos de 𝐶, que contiene la cantidad que estamos buscando. Podemos restar 𝑎 al cuadrado y 𝑏 al cuadrado de ambos lados de la ecuación. Haciendo esto obtenemos 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado igual a menos dos 𝑎𝑏 cos de 𝐶. Y si dividimos ambos lados por menos dos 𝑎𝑏, podemos decir que cos de 𝐶 es igual a 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 cuadrado menos 𝑏 al cuadrado sobre menos dos 𝑎𝑏.

Nuestro objetivo es hallar 𝐶. Y el lado 𝑏 es igual a 510 metros. El lado 𝑎 es igual a 670 metros. Y nuestro tercer lado es 𝑐. 𝑐 al cuadrado es 330 al cuadrado menos 670 al cuadrado menos 510 al cuadrado sobre menos dos por 670 por 510. Todo esto será igual a cos del ángulo 𝐶. Si lo calculamos usando la calculadora, obtenemos 0.878109453 etcétera es igual a cos del ángulo 𝐶.

Debemos andarnos con ojo aquí. El ángulo 𝐶 no es igual a 0.878109453 etcétera grados. El cos del ángulo 𝐶 es igual a este valor decimal. Para hallar el ángulo 𝐶, necesitamos hallar el coseno inverso de 0.878109453 etcétera. En la mayoría de las calculadoras se puede presionar cos inverso de la respuesta, o sea, de la respuesta anterior. El ángulo 𝐶 es igual a 28.58485793 etcétera grados. Si tu calculadora no te dio esta respuesta, debes asegurarte de que esté calculando en grados y no en radianes.

Ahora que tenemos el valor de uno de los ángulos, conocemos la medida de dos lados y la del ángulo comprendido. Lo que significa que podemos usar la fórmula área igual a un medio por 𝑎 por 𝑏 por sen de 𝐶, en donde 𝑎 y 𝑏 son lados y 𝐶 es el ángulo comprendido. Para hallar el área de este triángulo, hemos de hacer área igual a un medio por 670 por 510 por sen de la respuesta en nuestra calculadora. ¿Por qué hacemos esto? Porque esto nos da la respuesta más precisa antes de redondear.

Se trata de calcular sen de 28.58485793 etcétera. Cuando hacemos eso, obtenemos 81744.85833 etcétera. Y ahora ya podemos redondear al metro cuadrado más cercano. Queremos redondear al número entero más cercano. Tenemos un cuatro en el lugar de las unidades, y el dígito a la derecha es un ocho, lo que nos dice que necesitamos redondear hacia arriba. Así que cuatro se redondea a cinco, y todo a la izquierda del cinco permanece igual. Por tanto, tenemos 81745 metros cuadrados. El área de este terreno es 81745 metros cuadrados cuando redondeamos al metro cuadrado más cercano.

Resumamos rápidamente lo principal sobre cómo hallar el área de un triángulo usando trigonometría. El área de un triángulo se puede hallar multiplicando la mitad de la longitud del lado 𝑎 por la longitud del lado 𝑏 por sen del ángulo incluido 𝐶. Por tanto, esta fórmula requiere que tengamos dos lados y el ángulo comprendido.