Question Video: Resolver ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula cuadrática

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Determina el conjunto de las soluciones de la ecuación tres 𝑥 al cuadrado menos dos por siete menos 𝑥 igual a cero, y redondea las soluciones a una cifra decimal.

Si nos fijamos en esta ecuación, nos damos cuenta de que no está en la forma estándar. Así que eso es lo primero que tenemos que hacer. Para poner la ecuación en la forma estándar, tenemos que distribuir este menos dos al siete y a menos 𝑥. Menos dos por siete es igual a menos 14. También podemos escribir menos 14; así nos vale. Luego multiplicamos menos dos por menos 𝑥, y obtenemos más dos 𝑥. Bajamos el igual a cero. Pero aún no tenemos la forma estándar completa.

En la forma estándar nuestras variables decrecen por el grado. Vamos a comenzar con tres 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 14 igual a cero. Puesto que tenemos un coeficiente principal que no es uno, probablemente será más fácil resolver esta ecuación usando la fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática dice que: 𝑥 es igual a menos 𝑏 más o menos la raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 sobre dos 𝑎. Esto es cierto para las ecuaciones en el formato 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero.

Para resolver este problema, solo tenemos que poner todas las variables en su lugar correcto. Pero, para hacerlo, tendremos que identificar los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. En nuestro caso, 𝑎 es igual a tres, 𝑏 es igual a dos. Tenemos que tener cuidado ahora, pues 𝑐 no es igual a 14; es igual a menos 14. La ecuación cuadrática se escribe con el formato en el que 𝑏𝑥 se suma a 𝑐. En nuestro caso, estamos restando 𝑐. Así que lo que podemos hacer es decir menos 14.

Ahora tenemos que poner cada dato con cuidado. 𝑥 es igual a menos dos más o menos la raíz cuadrada de dos al cuadrado menos cuatro por tres por menos 14 todo sobre dos por tres. Veamos si podemos simplificar aquí. Menos dos más o menos dos al cuadrado, es igual a cuatro, menos cuatro por tres por menos 14, que es igual a 168 sobre seis. Aún podemos simplificar un poco más antes de usar la calculadora. Esta vez decimos que cuatro menos menos 168 es igual a 172 todo sobre seis.

Pero el problema nos pide que redondeemos las soluciones a una cifra decimal. Esto quiere decir que tendremos que resolver este problema usando una calculadora. En nuestra calculadora, tendremos que escribir menos dos más la raíz cuadrada de 172 dividido por seis. También tendremos que escribir menos dos menos la raíz cuadrada de 172 dividido por seis. Una vez que ponemos la parte de arriba en nuestra calculadora, obtenemos 1.85247. Si redondeamos a una cifra decimal, obtenemos 1.9.

Nuestra segunda solución es menos 2.519146 y más y más cifras. Si redondeamos a la cifra decimal más cercana, es menos dos y medio, menos 2.5.

Usando la fórmula cuadrática, hallamos que el conjunto de soluciones de nuestra ecuación es: 𝑥 es igual a 1.9 y menos dos y medio.