Lesson Video: La fórmula de De Moivre

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En este video, vamos a aprender a hacer uso de la fórmula de De Moivre para simplificar el proceso de hallar potencias y raíces de números complejos. Vamos a aprender lo que dice y de dónde viene antes de usarla para resolver problemas que incluyen potencias y raíces, incluso aquellos que involucran otras operaciones con números complejos.

La fórmula o teorema de De Moivre nos permite hallar rápidamente las potencias de un número complejo escrito en forma polar o trigonométrica. Sabemos que un número complejo escrito en la forma polar también puede ser expresado en la forma exponencial como 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃. Vamos a elevar ambos lados de esta identidad a una potencia de exponente entero. Llamemos 𝑛 a este exponente. Podemos decir que 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 a la 𝑛-ésima potencia es igual a 𝑟 cos𝜃 más 𝑖 sen𝜃 elevado todo a la potencia 𝑛.

Como 𝑛 es un número entero, podemos reescribir el lado izquierdo de esta ecuación como 𝑟 elevado a 𝑛 por 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃. Pero esto implica que también podemos reescribir el lado derecho usando la fórmula de Euler. Y obtenemos 𝑟 elevado a 𝑛 por cos 𝑛𝜃 más 𝑖 sen 𝑛𝜃. Y esta es la fórmula de De Moivre. Para un valor entero de 𝑛, 𝑟 cos𝜃 más 𝑖 sen𝜃 a la 𝑛-ésima potencia es igual a 𝑟 a la 𝑛-ésima potencia por cos 𝑛𝜃 más 𝑖 sen 𝑛𝜃.

Es importante darse cuenta de que esto no es una prueba rigurosa del teorema de De Moivre y que una prueba formal requiere una comprensión más profunda de la forma exponencial de un número complejo. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, este teorema puede permitirnos evaluar fácilmente las potencias de un número complejo escrito en forma polar. Veamos un ejemplo.

Simplifica raíz cuadrada de cinco por cos tres 𝜋 sobre 14 más 𝑖 sen de tres 𝜋 sobre 14 elevado a siete por raíz de tres por cos de cinco 𝜋 sobre 22 más 𝑖 sen de cinco 𝜋 sobre 22 elevado a 11.

En esta cuestión, tenemos el producto de dos números complejos escritos en forma trigonométrica. Para simplificar esto, necesitamos usar la fórmula de De Moivre para ayudarnos a evaluar las potencias de cada número complejo antes de hallar su producto. Recordemos que este teorema dice que para valores enteros de 𝑛, un número entero escrito en la forma polar elevado a la 𝑛-ésima potencia es igual a 𝑟 a la 𝑛-ésima potencia por cos 𝑛𝜃 más 𝑖 sen 𝑛𝜃. Usemos esto para evaluar nuestro primer número complejo elevado a la séptima.

Para este número, 𝑟 es la raíz de cinco y 𝜃 es tres 𝜋 sobre 14. Podemos reescribir esto como la raíz de cinco a la séptima por cos de siete multiplicado por tres 𝜋 sobre 14 más 𝑖 sen de siete multiplicado por tres 𝜋 sobre 14. Podemos simplificar esto y vemos que el primer número complejo elevado a la séptima es 125 raíz de cinco por cos de tres 𝜋 sobre dos más 𝑖 sen de tres 𝜋 sobre dos. Del mismo modo, para nuestro segundo número complejo, elevamos el módulo, que es raíz de tres, a la decimoprimera potencia. Y obtenemos 243 raíz de tres. Y multiplicamos el argumento — eso es, cinco 𝜋 partido por 22 — por 11 y eso nos da cinco 𝜋 partido por dos.

Nuestro último paso es hallar el producto de estos dos números complejos. Para multiplicar números complejos, multiplicamos sus módulos y sumamos sus argumentos. 125 raíz de cinco multiplicado por 243 raíz de tres es 30375 raíz de 15. Y si sumamos estos argumentos, obtenemos cuatro 𝜋 y podemos ver que nuestro número complejo puede ser expresado como 30375 raíz de 15 por cos cuatro 𝜋 más 𝑖 sen cuatro 𝜋. De hecho, podemos simplificar esto un poco más ya que cos de cuatro 𝜋 es uno y sen de cuatro 𝜋 es cero. Nuestra respuesta final es 30375 raíz de 15.

En nuestro próximo ejemplo, vamos a demostrar cómo se usa la fórmula de De Moivre para simplificar cocientes de potencias de números complejos.

Simplifica 18 por menos 𝑖 más uno elevado a 39 dividido por 𝑖 más uno elevado a 41.

Aquí tenemos el cociente de dos números complejos individualmente elevados a las potencias 39 y 41. Podemos usar el teorema de De Moivre para calcularlo solo si los números están en forma polar, trigonométrica o exponencial. Comencemos, pues, escribiendo menos 𝑖 más uno e 𝑖 más uno en forma trigonométrica. Para hacer esto, necesitamos saber el valor de sus módulos y de sus argumentos. El módulo es bastante sencillo. Calculamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria de este número.

El módulo de menos 𝑖 más uno es la raíz cuadrada de uno al cuadrado más menos uno al cuadrado, que es la raíz de dos. Del mismo modo, para 𝑖 más uno, eso también es la raíz de dos. ¿Pero qué hay de sus argumentos? Los consideraremos por separado. Menos 𝑖 más uno tiene una parte real positiva y una parte imaginaria negativa. Por lo tanto, debe estar en el cuarto cuadrante. Es decir, podemos hallar su argumento usando la fórmula del arctan de la parte imaginaria dividido por la parte real. Eso es arctan de menos uno dividido por uno que es menos 𝜋 partido por cuatro.

𝑖 más uno se encuentra en el primer cuadrante. Así que podemos usar la misma fórmula. Es arctan de uno dividido por uno que es 𝜋 partido por cuatro. Y vemos que tenemos nuestros dos números complejos escritos en forma polar. Los hemos reemplazado en la fracción. Y lo que necesitamos hacer a continuación es elevar el número complejo en la parte superior a la potencia de 39 y el de la parte inferior a la potencia de 41.

Usando el teorema de De Moivre en el numerador tenemos raíz cuadrada de dos elevado a 39 por cos de 39 por menos 𝜋 partido por cuatro más 𝑖 sen de 39 multiplicado por menos 𝜋 sobre cuatro. Y en el denominador, el módulo es raíz de dos elevado a 41 y el argumento es 41 por 𝜋 sobre cuatro. En realidad no necesitamos evaluar esto todavía. En vez de eso, podemos usar el hecho de que para dividir dos números complejos en forma polar, dividimos sus módulos y restamos sus argumentos.

Dividiendo los módulos, obtenemos 18 sobre raíz de dos al cuadrado, que es nueve. Después, restamos sus argumentos, y obtenemos un argumento de menos 20𝜋. Cos de menos 20𝜋 es uno y sen de menos 20𝜋 es cero. Así que el resultado es nueve.

Hemos visto, pues, que es bien sencillo hallar el módulo y el argumento de potencias enteras de 𝑛. Para un número complejo 𝑧 y valores enteros de 𝑛, el módulo de 𝑧 a la 𝑛 es lo mismo que el módulo de 𝑧 a la 𝑛. Y el argumento de 𝑧 a la 𝑛 es lo mismo que 𝑛 por el argumento de 𝑧.

Y, de hecho, es también útil saber que podemos generalizar el teorema de De Moivre para un número complejo y su conjugado. No tenemos tiempo en este video para demostrar de dónde viene esto. Pero es de mucha ayuda saber que el conjugado de 𝑧, el cual está representado por 𝑧 asterisco, el conjugado de 𝑧 a la 𝑛 es igual a 𝑧 a la 𝑛 conjugado. Esta fórmula puede ser muy útil para ayudarnos a resolver problemas en los que no queremos usar la fórmula de De Moivre completa. Veamos un ejemplo.

Sabiendo que 𝑧 es igual a raíz cuadrada de tres menos 𝑖 a la 𝑛 y que el módulo de 𝑧 es igual a 32, determina el argumento principal de 𝑧.

El argumento principal de 𝑧 es el valor de 𝜃 tal que 𝜃 es mayor que menos 𝜋 y menor o igual que 𝜋. Para responder esta cuestión, vamos a recordar las propiedades del módulo. Sabemos que el módulo de 𝑧 es igual a 32. Por tanto, podemos decir que el módulo de la raíz de tres menos 𝑖 a la 𝑛 es igual a 32. Usando las propiedades del módulo, podemos reescribir esto. Y podemos decir que el módulo de raíz de tres menos 𝑖 todo a la 𝑛 es igual a 32.

El módulo de raíz de tres menos 𝑖 es la raíz cuadrada de la raíz de tres al cuadrado más menos uno al cuadrado. Y esto es dos. Por lo tanto, dos a la 𝑛 es igual a 32. Y sabemos que dos a la quinta es 32. Así que 𝑛 debe ser igual a cinco. Podemos reescribir nuestro número complejo como raíz de tres menos 𝑖 todo a la quinta. Y recordamos la regla de que el argumento de 𝑧 a la 𝑛 es igual a 𝑛 por el argumento de 𝑧. Esto significa que el argumento de 𝑧 o el argumento de la raíz de tres menos 𝑖 a la quinta es cinco veces el argumento de raíz de tres menos 𝑖.

Raíz de tres menos 𝑖 se halla en el cuarto cuadrante cuando se sitúa en un diagrama de Argand. Y esto se debe a que su parte real es positiva y su parte imaginaria es negativa. Y podemos hallar el argumento de raíz de tres menos 𝑖 usando la fórmula del arctan de la parte imaginaria dividida por la parte real. Esto es arctan de menos uno sobre raíz de tres. Esto es menos 𝜋 partido por seis. Podemos ver que el argumento de 𝑧 es cinco multiplicado por menos 𝜋 partido por seis que es menos cinco 𝜋 partido por seis. Esto satisfice el criterio de ser menor o igual que 𝜋 y mayor o igual que menos 𝜋. Y así hemos hallado el argumento principal de 𝑧. Es menos cinco 𝜋 partido por seis.

Para nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo usar la fórmula de De Moivre para hallar raíces. La fórmula de De Moivre para raíces dice que para un número complejo 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, sus raíces 𝑛-ésimas son 𝑟 elevado a uno sobre 𝑛 por cos de 𝜃 más dos 𝜋 𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de 𝜃 más dos 𝑘 sobre 𝑛. Y 𝑘 toma valores enteros desde cero hasta 𝑛 menos uno.

Halla las raíces cuartas de menos uno, y expresa la respuesta en forma trigonométrica.

El teorema de De Moivre para raíces dice que la raíz enésima 𝑛 de un número complejo escrita en la forma polar es 𝑟 elevado a uno sobre 𝑛 por cos de 𝜃 más dos 𝜋 𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de 𝜃 más dos 𝜋 𝑘 sobre 𝑛, en donde 𝑘 toma valores enteros de cero a 𝑛 menos uno. Por lo tanto, necesitamos expresar menos uno en forma trigonométrica. El módulo de menos uno es uno y su argumento es 𝜋. En forma trigonométrica, menos uno es lo mismo que cos 𝜋 más 𝑖 sen 𝜋.

Aplicando la fórmula de De Moivre para raíces podemos ver que las raíces cuartas de menos uno son cos de 𝜋 más dos 𝜋 𝑘 sobre cuatro más 𝑖 sen de 𝜋 más dos 𝜋 𝑘 sobre cuatro, en donde 𝑘 toma los valores desde cero hasta tres. Vamos a comenzar considerando la raíz cuando 𝑘 es igual a cero. Cuando 𝑘 es cero, nuestra raíz es cos de 𝜋 sobre cuatro más 𝑖 sen de 𝜋 sobre cuatro. Cuando 𝑘 es uno, nuestra raíz es cos de 𝜋 más dos 𝜋 sobre cuatro más 𝑖 sen de 𝜋 más dos 𝜋 sobre cuatro, que se simplifica a cos de tres 𝜋 partido por cuatro más 𝑖 sen de tres 𝜋 partido por cuatro.

Cuando 𝑘 es dos, obtenemos cos de 𝜋 más cuatro 𝜋 sobre cuatro más 𝑖 sen de 𝜋 más cuatro 𝜋 sobre cuatro. Y esto nos deja con un argumento de cinco 𝜋 sobre cuatro. Pero este argumento no está en el rango para el argumento principal. Recuerda que podemos sumar o restar múltiplos de dos 𝜋 para expresar esto. Esta vez, restamos dos 𝜋 y obtenemos un argumento de menos tres 𝜋 partido por cuatro. Así que nuestra tercera raíz es cos de menos tres 𝜋 partido por cuatro más 𝑖 sen de menos tres 𝜋 partido por cuatro.

Por último, cuando 𝑘 es igual a tres, el argumento es 𝜋 más seis 𝜋 sobre cuatro. Esto es siete 𝜋 sobre cuatro, que una vez más está fuera del rango para el argumento principal. Restamos dos 𝜋 y obtenemos el argumento principal para esta raíz, que es menos 𝜋 partido por cuatro. Así que nuestra cuarta raíz es cos de menos 𝜋 partido por cuatro más 𝑖 sen de menos 𝜋 partido por cuatro.

La razón por la que nos hemos detenido aquí es porque el teorema de De Moivre aplicado a las raíces dice que 𝑘 toma valores desde cero hasta 𝑛 menos uno. Aparte de que sabemos que menos uno debe tener cuatro raíces cuartas, vamos a echar un vistazo a una razón por la que nos detenemos en cuatro menos uno para 𝑘. Veamos qué habría pasado si hubiéramos intentado evaluar la raíz para 𝑘 igual a cuatro.

Habríamos obtenido cos de 𝜋 más ocho 𝜋 sobre cuatro más 𝑖 sen de 𝜋 más ocho 𝜋 sobre cuatro. Esto nos da un argumento de nueve 𝜋 sobre cuatro, que una vez más está fuera del rango para el argumento principal. Restamos dos 𝜋 de nueve 𝜋 sobre cuatro y obtenemos 𝜋 sobre cuatro. Así que podemos ver que, cuando 𝑘 es igual a cuatro, obtenemos el mismo resultado que cuando 𝑘 es igual a cero. Así que solo necesitamos cuatro valores de 𝑘: cero, uno, dos y tres.

Y hemos usado, pues, la fórmula de De Moivre de las raíces para hallar las raíces cuartas de menos uno. Son cos de 𝜋 sobre cuatro más 𝑖 sen 𝜋 partido por cuatro, cos de tres 𝜋 sobre cuatro más 𝑖 sen de tres 𝜋 sobre cuatro, cos de menos tres 𝜋 partido por cuatro más 𝑖 sen de menos tres 𝜋 partido por cuatro, y cos de menos 𝜋 sobre cuatro más 𝑖 sen de menos 𝜋 sobre cuatro.

En este video, hemos visto que el teorema de De Moivre dice que podemos elevar un número complejo escrito en la forma polar o trigonométrica a una potencia entera de 𝑛 usando la fórmula 𝑟 a la 𝑛 por cos de 𝑛 𝜃 más 𝑖 sen de 𝑛 𝜃. Además, hemos visto que el teorema de De Moivre puede usarse para hallar raíces de índice 𝑛 de números complejos. Estas raíces son 𝑟 elevado a uno sobre 𝑛 por cos de 𝜃 más dos 𝜋 𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de 𝜃 más dos 𝜋 𝑘 sobre 𝑛, en donde 𝑘 toma valores enteros desde cero hasta 𝑛 menos uno.

Y, por supuesto, hemos dicho repetidas veces a lo largo de este video que la fórmula de De Moivre puede ser usada para calcular raíces y potencias de índice o exponente 𝑛 entero. Y, verdaderamente, no podemos presumir que la fórmula sea válida para exponentes o índices no enteros.