Vídeo: Cómo refutar el último teorema de Fermat

En este vídeo, vamos a examinar la aparente refutación por Homer Simpson del último teorema de Fermat.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo, vamos a aprender el verdadero nombre de este gran matemático, aprenderemos sobre su último teorema y la aparente refutación de su prueba por Homer Simpson utilizando un contraejemplo que, de hecho, es incorrecto.

Pero antes de hacer todo eso, pensemos en el teorema pitagórico, o teorema de Pitágoras, como se conoce a menudo. En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Entonces, en este dibujo, si 𝑎 es la longitud de este lado, 𝑏 es la longitud de este lado, y 𝑐 es la longitud de este otro lado, entonces 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado. Hay muchas pruebas de este teorema, incluso un presidente de los Estados Unidos, James Garfield, escribió una buena prueba en la década de 1870.

Ahora vamos a concentrarnos en algunos casos especiales del teorema de Pitágoras, aquellos en los que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números enteros o naturales, los llamamos tripletes pitagóricos.

Por ejemplo, si el lado 𝑎 es de tres unidades, el lado 𝑏 es de cuatro unidades, y el lado 𝑐 es de cinco unidades, esto nos daría tres al cuadrado más cuatro al cuadrado igual a cinco al cuadrado. Y ocurre de hecho que tres al cuadrado es nueve, cuatro al cuadrado es 16, cinco al cuadrado es 25 y nueve más 16 es igual a 25. Así que tres, cuatro y cinco son todos enteros, y forman un triplete pitagórico. De hecho, hay un número infinito de triples pitagóricos, e incluso hay fórmulas sencillas para generarlos.

Empecemos con un par de enteros, 𝑚 y 𝑛, donde 𝑚 es más grande que 𝑛 y 𝑛 es positivo. Luego, hagamos 𝑎 igual a 𝑚 al cuadrado menos 𝑛 al cuadrado, 𝑏 igual a dos por 𝑚 por 𝑛, y 𝑐 igual a 𝑚 al cuadrado más 𝑛 al cuadrado. Entonces 𝑎, 𝑏 y 𝑐 es un triplete pitagórico. Así, por ejemplo, si decimos que 𝑚 es 10 y 𝑛 es tres, entonces 𝑎 sería 10 al cuadrado menos tres al cuadrado, así que eso es 100 menos nueve, que es 91, b sería dos por 10 por tres, que es 60, y 𝑐 sería 10 al cuadrado más tres al cuadrado, que es 109. Y puedes comprobar que funciona, que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado, pues 91 al cuadrado más 60 al cuadrado es igual a 109 al cuadrado. Así que, sí, funciona.

Pero esto no es precisamente novedoso. Hace muchísimo tiempo que conocemos el teorema de Pitágoras y los tripletes pitagóricos. De hecho, en la década de 1630, Pierre de Fermat estaba leyendo acerca de ellos en su copia de Aritmética de Diofanto de Alejandría, y ese libro había sido escrito en el siglo III. Ajá, ahí lo tenemos, hemos cubierto el primero de nuestros objetivos. Mucha gente lo llama “Fermat”, pero su nombre es realmente Pierre de Fermat.

Ahora bien, esto hizo que Fermat se preguntara si podría encontrar soluciones enteras similares a ecuaciones como 𝑎 al cubo más 𝑏 al cubo igual a 𝑐 al cubo, o 𝑎 a la cuarta más 𝑏 a la cuarta igual a 𝑐 a la cuarta. Pero después de muchos intentos, solo pudo encontrar soluciones triviales, es decir, soluciones en las que uno o varios de los 𝑎, 𝑏 y 𝑐 eran cero. Por ejemplo: 𝑎 igual a cero, 𝑏 igual a cinco, 𝑐 igual a cinco. Finalmente, Fermat escribió la siguiente conjetura en el margen de su copia de Aritmética, pero en latín, por supuesto: “Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia superior a la segunda, en dos potencias similares”. O como podríamos decir, no existen soluciones enteras para 𝑎 elevado a 𝑛 más 𝑏 elevado a 𝑛 igual a 𝑐 elevado a 𝑛, si 𝑛 es mayor que dos.

Pero, además, añadió: “He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener”. Y esto intrigó a los matemáticos durante siglos. Muchos han intentado y no han podido encontrar esta prueba. Y, verdaderamente, no fue hasta octubre de 1994 que Andrew Wiles presentó una prueba real, 358 años después de que se hiciera la conjetura. Ahora bien, mientras que la prueba de Andrew Wiles es ciertamente maravillosa, no es la que Fermat tenía en mente. Pues se refiere a varias ramas de las Matemáticas que no se conocían en la época de Fermat. Así que quizás todavía haya un desafío para ti: descubrir la prueba que Fermat tenía en la cabeza.

Entonces, para resumir, se ha demostrado que 𝑎 elevado a 𝑛 más 𝑏 elevado a 𝑛 igual a 𝑐 elevado a 𝑛 no tiene soluciones enteras no triviales, si 𝑛 es mayor que dos.

Sin embargo, en el episodio de 1998 de Los Simpson, llamado El mago de Evergreen Terrace, Homer escribe esto en su pizarra: 3987 elevado a 12 más 4365 elevado a 12 igual a 4472 elevado a 12. Prueba con tu calculadora. Escribe 3987 elevado a 12 más 4365 elevado a 12, y luego calcula la raíz de índice 12 de esa respuesta y, a menos que tengas una calculadora muy sofisticada, probablemente te dará la respuesta 4472. ¡Tachán! Homero ha refutado el último teorema de Fermat al encontrar un contraejemplo.

Hay una gran diferencia entre lo que cuesta probar y lo que cuesta refutar algo. Para probar algo, hay que probar que es cierto para todos los casos posibles. Pero para refutar algo, solo necesitas encontrar un contraejemplo, es decir, un caso en el que no se cumpla. Parece, pues, que Homer Simpson, con ese contraejemplo, refutó el último teorema de Fermat y aniquiló la prueba de Andrew Wiles; ¿o no lo hizo? Bueno, el problema aquí es que la mayoría de las calculadoras solo usan un número limitado de cifras significativas, generalmente 10.

Así, por ejemplo, 3987 elevado a 12 se guardaría como 1.613447461 veces 10 elevado a 43. Ahora eso es 16 134 474 61 con 34 ceros después. La calculadora perdió el rastro de un montón de cifras y almacenó un número que no es exacto. La respuesta real es la siguiente, y puedes ver que hay una gran diferencia en términos de estas cifras. Y el resultado preciso para la raíz 12 de 3987 elevado a 12 más 4365 elevado a 12 es este. Pero como nuestra calculadora solo tiene 10 cifras significativas, pensó que la respuesta era esta, que es 4472.

Pero, si hacemos el cálculo con precisión, obtenemos esto para el lado izquierdo y esto para el lado derecho. Y la diferencia es mayor que una parte en una billonésima. Ahora bien, tu calculadora no lo detectó porque se concentraba solo en estas 10 cifras significativas de aquí arriba, y todas son exactamente igual. Ahora, una cosa que particularmente me gusta de este ejemplo, es que incluso si haces una comprobación de las últimas cifras, verás que coinciden.

Por ejemplo, si te diste cuenta de que las importantes limitaciones de tu calculadora te impedían obtener una respuesta exacta, al menos podrías comprobar las últimas cifras. Y si no fueran las mismos en el lado izquierdo y en el derecho, entonces sabrías que la igualdad no era cierta.

Veamos cuál será la última cifra de este cálculo. Bueno, la última cifra vendrá de multiplicar siete por sí mismo 12 veces. Y siete por siete es 49, entonces la última cifra de eso es nueve. Y nueve por siete es 63, y la última cifra de eso es tres. Tres por siete es 21, y la última cifra es uno. Uno por siete es siete; Obviamente, la última cifra de eso es siete. Luego volvemos a siete por siete es 49, y la última cifra de eso es nueve. Nueve por siete es 63, la última cifra es tres. Tres por siete tiene una última cifra de uno. Una vez siete tiene una última cifra de siete. Siete veces siete tiene una última cifra de nueve. Nueve veces siete tiene una última cifra de tres, y tres veces siete tiene una última cifra de uno.

Y para el próximo número, obtendremos la última cifra multiplicando cinco por sí mismo 12 veces. Ahora, obviamente, cinco por cinco es 25, que tiene un último dígito de cinco, y podemos seguir utilizando la misma pauta. Esta claro que va a terminar en un cinco. Así que la última cifra en el lado izquierdo será uno más cinco, que es seis. Luego, si seguimos ese mismo procedimiento para el lado derecho, también encontramos que tiene un último dígito de seis. Si, por el contrario, hubieran sido cifras diferentes, inmediatamente hubiéramos sabido que este ejemplo no funciona.

De hecho, en otro episodio de Los Simpson mostraron este otro ejemplo que, también funciona en la calculadora, pero inmediatamente puedes detectar un problema porque este primer número elevado a 12 terminará en una cifra par, y el segundo número elevado a 12 será impar, pero la última cifra del número en el lado derecho es par. Sin embargo, cuando sumas un número par y un número impar, el resultado es impar. Así que el lado izquierdo tiene una última cifra impar, mientras que el lado derecho tenía una última cifra par. Así que, claramente, no puede funcionar.

Así que, para resumir, hemos hablado sobre el teorema de Pitágoras, hemos aprendido el verdadero nombre de Fermat, y hemos hablado también sobre el último teorema de Fermat. Y aunque su “contraejemplo” es realmente bueno, Homer Simpson no refutó el último teorema de Fermat.

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