Lesson Video: Calcular el área comprendida entre una curva y una recta

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En este vídeo vamos a echar una mirada a una aplicación importante de la integración la cual es hallar el área bajo una curva, es decir, el área encerrada por una curva, el eje de abscisas, o sea, el eje de las 𝑥, y dos rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏. Saber calcular el área bajo una curva siempre es útil, pues a menudo tiene una aplicación práctica. Por ejemplo, en el caso de una gráfica velocidad-tiempo, el área bajo la curva es la distancia total recorrida.

También vamos a ver cómo podemos adaptar este método para hallar el área delimitada por la curva de una función de la forma 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦 y el eje de ordenadas, es decir, el eje de las 𝑦. Y, seguidamente, aplicaremos estos mismos procedimientos para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta paralela al eje de las 𝑥 o al eje de las 𝑦.

También podemos hacer uso de la integración para calcular el volumen de sólidos. De hecho, muchas de las fórmulas que ya conocemos para calcular el volumen de sólidos geométricos, como conos o esferas, pueden hallarse mediante integración, aunque es algo que no veremos en este vídeo.

Veamos primero un ejemplo sencillo, en el que el área que debemos calcular se encuentra delimitada por una recta en vez de por una curva. Y la ecuación de la recta es 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, siendo 𝑓 de 𝑥 igual a cuatro 𝑥 más siete. El área que queremos hallar es la de un trapecio. Así que podemos hacerlo sin necesidad de integrar. Las longitudes de las bases del trapecio son los valores de la función 𝑓 calculada en 𝑎 y 𝑏. Esos son los dos valores de 𝑥 que acotan esta región. 𝑓 de 𝑎 es igual a cuatro 𝑎 más siete y 𝑓 de 𝑏 es igual a cuatro 𝑏 más siete. La altura de este trapecio, es decir, la distancia entre las bases, es la diferencia entre los dos valores de 𝑥 que delimitan la región. Así que esto es igual a 𝑏 menos 𝑎.

Para hallar el área de un trapecio tenemos que hallar la mitad de la suma de sus bases, es decir, cuatro 𝑎 más siete más cuatro 𝑏 más siete todo partido por dos, y multiplicar luego por la altura del trapecio, 𝑏 menos 𝑎. Simplificamos y obtenemos dos 𝑎 más dos 𝑏 más siete multiplicado por 𝑏 menos 𝑎. A continuación desarrollamos los paréntesis, y obtenemos dos 𝑎𝑏 menos dos 𝑎 al cuadrado más dos 𝑏 al cuadrado menos dos 𝑎𝑏 más siete 𝑏 menos siete 𝑎.

El término dos 𝑎𝑏 y el término menos dos 𝑎𝑏 se cancelan entre sí, por lo que nos queda menos dos 𝑎 al cuadrado más dos 𝑏 al cuadrado más siete 𝑏 menos siete 𝑎, que podemos reescribir como dos 𝑏 al cuadrado más siete 𝑏 menos dos 𝑎 al cuadrado más siete 𝑎. Muy bien, ya hemos calculado el área. Pero, ¿qué relación hay con la integración?

Bueno, fíjate en que la antiderivada de la función 𝑓 de 𝑥 es dos 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más una constante de integración, si hace falta. Así que hemos obtenido la antiderivada de la función 𝑓 de 𝑥 calculada en 𝑏 menos la antiderivada calculada en 𝑎, y esto podemos expresarlo como una integral definida. Es igual a la integral desde 𝑎 hasta 𝑏 de la función 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Esto indica que, para hallar el área delimitada entre una recta y el eje de las 𝑥, y acotada por las dos rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, tenemos que hallar la integral de la ecuación de la función y calcularla entre estos límites. Ya hemos visto, pues, qué debemos hacer si el área está delimitada por una recta. Pero ¿qué hemos de hacer si la función 𝑓 de 𝑥 es una curva?

Supongamos que ahora queremos hallar esta área que está acotada por la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, el eje de las 𝑥, y las dos rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏. Primero, en vez de calcular el área total, vamos a considerar una pequeña porción del área, con una anchura de Δ𝑥, y Δ𝑥 significa que hay un cambio pequeño en 𝑥. Esta porción puede aproximarse por un rectángulo con una anchura de Δ𝑥 y una altura de 𝑓 de 𝑥.

Para calcular el área de un rectángulo, multiplicamos sus dos dimensiones. De modo que esta área es aproximadamente igual a 𝑓 de 𝑥 por Δ𝑥. Si luego tomamos un gran número de estos rectángulos, cada uno de una anchura Δ𝑥, el área total puede aproximarse por el sumatorio desde 𝑥 igual a 𝑎 hasta 𝑥 igual a 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 por Δ𝑥. Para obtener una aproximación más precisa basta con tomar un mayor número de rectángulos que tendrán una anchura cada vez menor.

Para obtener un valor exacto tenemos que conseguir que estos rectángulos sean infinitamente delgados. Por lo tanto, el área exacta es igual al límite cuando Δ𝑥 tiende a cero de esta suma. Si, cuando aprendiste derivación, utilizaste la notación Δ𝑥, sabrás que, cuando Δ𝑥 tiende a cero, usamos la notación d𝑥 para representar su límite. Y utilizamos un signo integral para representar la suma infinita de las áreas de los rectángulos infinitamente delgados.

De esta forma obtenemos que el área es igual a la integral desde 𝑥 igual a 𝑎 hasta 𝑥 igual a 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥. El símbolo que usamos para representar una integral tiene forma de S alargada. De hecho, originalmente era solo una S de «suma» que representaba el hecho de sumar utilizando un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Ahora vemos que, al igual que en el ejemplo de la recta, podemos hallar el área delimitada por una curva, el eje de las 𝑥 y las dos rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 calculando la integral definida de la función 𝑓 de 𝑥 entre estos dos valores de 𝑥. Veamos algunos ejemplos.

Sea 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 al cuadrado más tres. Determina el área delimitada por la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, el eje de las 𝑥 y las dos rectas 𝑥 igual a menos uno y 𝑥 igual a cinco.

Vamos a comenzar dibujando la región cuya área queremos hallar. Está limitada por una curva cuadrática con un coeficiente principal positivo y una ordenada 𝑦 en el origen igual a tres. También está acotada por las dos rectas verticales 𝑥 igual a menos uno y 𝑥 igual a cinco, y el eje de las 𝑥. Así que esta es el área que queremos hallar.

Como sabemos, el área delimitada por la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, el eje de las 𝑥 y las dos rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 puede hallarse calculando la integral definida desde 𝑎 hasta 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. La función 𝑓 de 𝑥 es dos 𝑥 al cuadrado más tres. El límite de abajo de la integral, el valor de 𝑎, es el valor inferior de 𝑥. Que es menos uno. Y el límite de arriba de la integral, el valor de 𝑏, es el valor superior de 𝑥. Que es cinco. Así que el área que estamos buscando es igual a la integral desde menos uno hasta cinco de dos 𝑥 al cuadrado más tres con respecto a 𝑥.

Como ya hemos visto en lecciones anteriores, para integrar potencias de 𝑥 distintas de menos uno, aumentamos el exponente en uno y luego dividimos por el nuevo exponente. Por lo tanto, la integral de dos 𝑥 al cuadrado es dos 𝑥 al cubo sobre tres, y la integral de tres es tres 𝑥. De esta forma obtenemos que el área es dos 𝑥 al cubo sobre tres más tres 𝑥 calculada entre menos uno y cinco.

Recuerda que aquí no necesitamos una constante de integración, pues se trata de una integral definida. A continuación sustituimos los límites, y obtenemos dos por cinco al cubo sobre tres más tres por cinco menos dos por menos uno al cubo sobre tres más tres por menos uno. Eso es 250 tercios más 15 menos menos dos tercios menos tres. Que se simplifica a 102. De esta forma hemos hallado que el área de la región delimitada por la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, el eje de las 𝑥 y las dos rectas 𝑥 igual a menos uno y 𝑥 igual a cinco, que es igual a la integral definida de la función 𝑓 de 𝑥 entre los límites de menos uno y cinco, vale 102 unidades cuadradas.

En el siguiente ejemplo vamos a ver lo que ocurre cuando el área que tenemos que hallar se encuentra debajo del eje las 𝑥.

La siguiente curva es 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. ¿Cuál es el área de la región coloreada? Da una respuesta exacta.

Recordemos que el área de la región delimitada por la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, y el eje de las 𝑥 está dada por la integral desde 𝑎 hasta 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. En este caso, se nos dice que la función 𝑓 de 𝑥 es uno sobre 𝑥. Y podemos ver, a partir de la gráfica, que los valores de los límites de la integral son menos uno para el límite inferior y menos un tercio para el límite superior. Así que ha de ser la integral definida desde menos uno hasta menos un tercio de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥.

Como sabemos, la integral de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más la constante de integración. Y necesitamos el valor absoluto aquí, pues los dos límites son negativos. Y el logaritmo neperiano de un valor negativo es indefinido. Así que debemos asegurarnos de incluir los signos de valor absoluto.

Así que hallamos el logaritmo neperiano de un valor positivo. No necesitamos la constante de integración 𝑐 aquí, pues se trata de una integral definida. Sustituimos los límites y obtenemos el logaritmo neperiano del valor absoluto de menos un tercio menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de menos uno. Es el logaritmo neperiano de un tercio menos el logaritmo neperiano de uno. Ahora conviene que recuerdes que el logaritmo neperiano de uno es cero. Así que nuestra respuesta se simplifica al logaritmo neperiano de un tercio.

Puede que no te des cuenta de esto de inmediato. Pero el logaritmo neperiano de un tercio es un valor negativo. Esto lo sabemos porque resulta de una de las leyes de los logaritmos, que dice que el logaritmo de 𝑎 sobre 𝑏 es igual al logaritmo de 𝑎 menos el logaritmo de 𝑏. Por lo tanto, el logaritmo neperiano de un tercio es el logaritmo neperiano de uno menos el logaritmo neperiano de tres. Y, como sabemos, el logaritmo neperiano de uno es cero. Así que nuestra respuesta es que esta área es igual a menos el logaritmo neperiano de tres.

Sin embargo, esta respuesta no tiene mucho sentido, pues se supone que el área siempre debe ser positiva. Por lo tanto, lo que vemos es que, cuando integramos para calcular un área que se encuentra debajo del eje de las 𝑥, obtenemos un resultado negativo. Pero esto no significa que el área sea negativa. El signo menos está indicando que el área está por debajo del eje de las 𝑥.

Realmente, lo que deberíamos haber hecho es añadir signos de valor absoluto alrededor de la integral al principio. Esto implica que, aunque el valor de la integral sea negativo, menos el logaritmo neperiano de tres, el valor del área es su valor absoluto. Y eso es el logaritmo neperiano de tres. Que la integral sea negativa significa simplemente que el área se encuentra debajo del eje de las 𝑥. Pero el área es positiva. De esta forma obtenemos que la respuesta a este problema, y esta es una respuesta exacta, es que el área es igual al logaritmo neperiano de tres.

Conviene aclarar que esto entraña implicaciones importantes en aquellos casos en los que el área que queremos hallar tiene regiones que están por encima del eje las 𝑥 y regiones que están por debajo. En dicho caso tenemos que descomponer la integral en varias partes usando la linealidad de la integral, calcular seguidamente cada integral por separado, para luego sumar sus valores absolutos. En el siguiente ejemplo vamos a aprender cómo calcular el área comprendida entre una curva de la forma 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦 y el eje de las 𝑦.

Halla el área encerrada por la gráfica de 𝑥 igual a nueve menos 𝑦 al cuadrado, el eje de las 𝑦, y las rectas 𝑦 igual a menos tres y 𝑦 igual a tres.

Fíjate que, en este caso, el área que debemos hallar está delimitada por una curva con la ecuación 𝑥 igual a una función de 𝑦. El área también está acotada por el eje de las 𝑦 en vez de por el eje de las 𝑥 y por dos rectas con ecuaciones de la forma 𝑦 igual a una constante, que son rectas horizontales en vez de verticales.

Ahora vamos a seguir el mismo procedimiento, aplicando primeros principios para ver cómo podemos integrar para hallar esta área, en vez de un área delimitada por una curva de la forma 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y por el eje de las 𝑥. Es muy sencillo, solo tenemos que reemplazar 𝑥 por 𝑦. Para hallar el área delimitada por una curva de la forma 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦, por el eje de las 𝑦, y por las dos rectas horizontales 𝑦 igual a 𝑐 y 𝑦 igual a 𝑑, calculamos la integral definida desde 𝑐 hasta 𝑑 de 𝑔 de 𝑦 con respecto a 𝑦.

En este caso estamos calculando la integral definida de menos tres a tres de nueve menos 𝑦 al cuadrado por d𝑦. Como ves, la integral está en términos de 𝑦, no de 𝑥. Y para integrar potencias de 𝑦 distintas de menos uno, aumentamos el exponente en uno y dividimos por el nuevo exponente, obteniendo nueve 𝑦 menos 𝑦 al cubo sobre tres entre los límites de menos tres y tres. A continuación sustituimos los límites, y obtenemos nueve por tres menos tres al cubo sobre tres menos nueve por menos tres menos menos tres al cubo sobre tres. Eso es 27 menos nueve menos menos 27 más nueve, que es 36.

Por lo tanto, el área que tenemos es de 36 unidades cuadradas. Y en este problema hemos aprendido que, para calcular un área encerrada por la gráfica de 𝑥 igual a una función de 𝑦, el eje de las 𝑦, y dos rectas horizontales, realizamos una integral definida con respecto a 𝑦 en vez de con respecto a 𝑥. Fíjate en que, en este problema, no nos hemos preocupado de si parte del área estaba o no por debajo del eje de las 𝑥, pues esta vez estábamos integrando con respecto a 𝑦. Y toda el área estaba en el mismo lado del eje de las 𝑦.

Es posible que, en otro tipo de problemas tengamos que hallar el área entre una curva y el eje de las 𝑦. Pero que la ecuación de la curva esté dada en la forma 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 en lugar de 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦. En ese caso tenemos que reorganizar la ecuación para obtener una ecuación que esté en la forma 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦. Y debemos asegurarnos de que los límites de integración que usemos sean límites en 𝑥 en vez de límites en 𝑦. Pero no está dentro de los objetivos de este vídeo profundizar en esto ahora. En el último ejemplo vamos a ver cómo hallar el área de una región en la que ninguna de las rectas que la delimitan son el eje de las 𝑥 o el eje de las 𝑦.

Halla el área de la región coloreada.

A partir de la siguiente figura vamos a determinar las ecuaciones de cada una de las líneas que delimitan esta región. En primer lugar tenemos la curva 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑥 menos dos. También tenemos las rectas verticales 𝑥 igual a uno y 𝑥 igual a dos. Sin embargo, en lugar de que nuestra región esté delimitada por el eje de las 𝑥 o por el eje de las 𝑦, la recta que acota esta región es 𝑦 igual a cinco.

Si quisiéramos hallar el área delimitada por la gráfica cuadrática, la recta 𝑥 igual a uno, la recta 𝑥 igual a dos y el eje de las 𝑥, habríamos de calcular la integral definida desde uno hasta dos de tres 𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑥 menos dos con respecto a 𝑥. Sin embargo, fíjate en que esto incluiría el área del rectángulo que se encuentra debajo de la recta 𝑦 igual a cinco. Y para hallar el área de la región de color rosa, tendríamos que restar el área de este rectángulo a nuestra integral.

Es bastante sencillo calcular el área de este rectángulo. Tiene una altura vertical de cinco unidades y una anchura de una unidad. Eso es dos menos uno. Así que su área es cinco por uno, que es cinco. Esto nos da un método que podemos usar. Calculamos la integral definida para hallar el área hasta el eje de las 𝑥 y luego restamos el área del rectángulo de color naranja. Operando a partir de la integral obtenemos una respuesta de seis unidades cuadradas.

Pero hay otra forma de resolver este problema. El área bajo la recta 𝑦 igual a cinco también se puede calcular mediante integración. Es igual a la integral desde uno hasta dos de cinco con respecto a 𝑥. Y si utilizamos la propiedad lineal de la integración, podemos expresarlo todo como una sola integral. Si calculamos esta integral, obtendremos el mismo resultado.

Esto también nos da una pista de cómo calcular integrales definidas delimitadas por una curva y una recta inclinada, o incluso dos curvas, aunque esto es algo que no veremos en este vídeo.

En este vídeo hemos visto que podemos hallar el área delimitada por la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, las rectas 𝑥 igual a 𝑎, 𝑥 igual a 𝑏, y el eje de las 𝑥, calculando la integral definida desde 𝑎 hasta 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. También hemos aprendido que necesitamos hallar el valor absoluto de la integral si el área se encuentra por debajo del eje de las 𝑥. Asimismo, hemos visto que podemos aplicar un método muy parecido cuando la región está delimitada por el eje de las 𝑦 y la función es de la forma 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑦.

Por último, hemos aprendido que, si la región está delimitada por una recta horizontal o vertical distinta al eje de las 𝑥 o de las 𝑦, debemos restar la ecuación de esta recta a la ecuación de la curva antes de calcular la integral definida.