Transcripción del vídeo
Aplicaciones de las progresiones y de las series geométricas
En esta lección, vamos a ver muchos problemas del mundo real que involucran progresiones y series geométricas. Vamos a aplicar todo lo que sabemos sobre esto para intentar resolver estos problemas del mundo real. Vamos a ver cómo hallar la razón, cómo hallar una fórmula explícita para el término 𝑛-ésimo, la posición y el valor de términos específicos de las progresiones y cómo hallar la suma de cualquier número de términos de nuestra progresión.
Antes de comenzar a abordar problemas del mundo real, comencemos recordando todo lo que sabemos sobre progresiones y series geométricas. Primero, sabemos que las progresiones geométricas comienzan con un valor inicial que generalmente denotamos por 𝑎. Además, en una progresión geométrica, sabemos que siempre hay la misma razón entre dos términos sucesivos, y generalmente la llamamos 𝑟. Y equivalente a esto, también podemos decir que multiplicamos cada término anterior por 𝑟 para obtener el siguiente término en nuestra progresión.
Y además de esto, también podemos tener alguna fórmula para ayudarnos a encontrar información sobre progresiones geométricas y series. Supongamos que 𝑢 sub 𝑛 es el 𝑛-ésimo término de una progresión geométrica con valor inicial 𝑎 y razón de términos sucesivos 𝑟, entonces sabemos que 𝑢 sub 𝑛 es igual a 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Porque solo necesitamos multiplicar por 𝑟 nuestro valor inicial 𝑛 menos una veces para obtener el 𝑛-ésimo término en nuestra progresión.
También sabemos que podemos hallar la razón de términos sucesivos en una progresión geométrica tomando el cociente de dos términos sucesivos. 𝑟 será igual a 𝑢 sub 𝑛 más uno dividido por 𝑢 sub 𝑛, y por supuesto, esto siempre que 𝑛 sea mayor o igual que uno. También hemos visto cómo calcular la suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión geométrica. Denotamos esto 𝑆 sub 𝑛. Hemos demostrado que la suma de los primeros 𝑛 términos de esta progresión geométrica es 𝑎 por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛 dividido por uno menos 𝑟. Y hay algunas cosas que vale la pena señalar sobre esta fórmula. Primero, no es válido cuando nuestro valor de 𝑟 es igual a uno, porque entonces estamos dividiendo por cero. Pero si 𝑟 fuera igual a uno, nuestra progresión geométrica sería 𝑎 una y otra vez. Por lo tanto, normalmente no pensaríamos en esto como una secuencia geométrica.
Además, hay una fórmula equivalente que obtenemos multiplicando el numerador y el denominador por menos uno, que es 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la 𝑛-ésima potencia menos uno sobre 𝑟 menos uno. Y ambos dan la respuesta correcta para cualquier valor de 𝑟 que no sea igual a uno. Generalmente usamos la primera versión cuando nuestro valor de 𝑟 es menor que uno y la segunda versión cuando 𝑟 es mayor que uno. Sin embargo, es una preferencia personal cuál deseas usar.
Y, finalmente, también hemos visto cómo sumar un número infinito de términos de nuestra secuencia geométrica. Generalmente denotamos esto 𝑆 sub ∞. Y sabemos que es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟 si el valor absoluto de nuestra razón 𝑟 es menor que uno. Y si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno, nuestra serie será divergente. Aunque hay una pequeña advertencia con esto. Necesitamos verificar que nuestro valor de 𝑎 no sea cero porque, de lo contrario, nuestra secuencia será cero una y otra vez. Sin embargo, por lo general, no pensaríamos en esto como una progresión geométrica.
Veamos ahora algunos ejemplos de cómo podemos aplicar todo esto para encontrar información sobre problemas del mundo real.
Chloe se incorporó a una empresa con un salario inicial de 28 000 dólares. Recibe un aumento de salario del 2.5 por ciento después de cada año completo en el trabajo. El total de ingresos de Chloe en 𝑛 años es una serie geométrica. ¿Cuál es la razón común? Escribe una fórmula para 𝑆 sub 𝑛, la cantidad total en dólares que Chloe gana en 𝑛 años en la empresa. Después de 20 años en la empresa, Chloe se va. Usa tu fórmula para calcular la cantidad total que ganó allí.
Y hay una parte más en esta cuestión que discutiremos más adelante. En esta cuestión, nos dan un problema del mundo real referido a la cantidad de dinero que Chloe ganará en una empresa durante un período de tiempo. Nos dicen que Chloe tiene un salario inicial de 28 000 dólares y que recibe un aumento de salario del 2.5 por ciento tras cada año completo que está en su trabajo. De hecho, esta es información suficiente para determinar que la cantidad que gana en 𝑛 años será una serie geométrica. Sin embargo, también se nos da esta información en la cuestión.
Necesitamos determinar la razón común de esta serie geométrica. Para hacer esto, primero necesitamos recordar que cuando decimos la razón de una serie geométrica, nos referimos a la razón de la progresión geométrica que compone esta serie geométrica. Y recuerda, en una progresión geométrica, para obtener el siguiente término en nuestra progresión necesitamos multiplicarlo por una razón común que llamamos 𝑟. Llamamos 𝑎 el valor inicial de nuestra progresión y 𝑟 la razón común. Luego, cuando sumamos los términos de una progresión geométrica, llamamos a esto una serie geométrica.
Y recuerda, en esta cuestión, nos dicen que la cantidad total de dinero que Chloe gana en 𝑛 años en la empresa es la serie geométrica. Por lo tanto, cada término de esta serie será la cantidad de dinero que Chloe gane cada año. Hay algunas formas diferentes de hallar esta razón. Una forma es tomar el cociente de dos términos sucesivos. Hallemos dos de estos términos sucesivos. Podemos obtener el valor inicial hallando la cantidad de dinero que Chloe ganará en el primer año en su empresa. Y esto se nos dice en la cuestión; es igual a 28000 dólares.
Luego queremos calcular cuánto dinero gana en el segundo año en la empresa. Recuerda, en este punto, habrá trabajado un año completo en su empresa, por lo que habría tenido un aumento de salario del 2.5 por ciento. Y hay algunas formas diferentes de calcular este valor. Por ejemplo, podemos escribir esto como 28 000 dólares más 2.5 por ciento a 28 000 dólares. Sin embargo, escribiremos esto como 28 000 dólares multiplicado por 1.025.
Y esto es suficiente para hallar la razón común. Sin embargo, hay una cosa que vale la pena señalar aquí. Podemos hacer exactamente lo mismo para hallar la cantidad ganada en el tercer año. Una vez más, obtendrá un aumento de salario del 2.5 por ciento por trabajar otro año completo, lo que significa que tendremos que aumentar la cantidad ganada en el segundo año en un 2.5 por ciento. Necesitamos multiplicar esto una vez más por 1.025. Y esto es cierto, por supuesto, para cualquier número de años. Es por esto que esto hace una serie geométrica.
Ahora, hay algunas formas diferentes de hallar nuestra razón 𝑟. Por ejemplo, podríamos dividir la cantidad obtenida en el año dos por la cantidad obtenida en el año uno. Sin embargo, también podemos notar que estamos multiplicando por 1.025 cada vez. Y eso es suficiente para responder nuestra cuestión. La razón común de esta progresión geométrica 𝑟 es 1.025.
La segunda parte de esta cuestión nos pide escribir una fórmula para 𝑆 sub 𝑛, la cantidad total de dólares que Chloe gana en 𝑛 años en la empresa. Vale la pena señalar que podemos responder directamente esta cuestión usando nuestra fórmula para la suma de una serie geométrica. Sin embargo, veamos primero por qué esto es cierto. En este caso, 𝑆 sub 𝑛 es la cantidad total en dólares que Chloe gana en 𝑛 años en la empresa. Para hallar este valor, solo necesitamos sumar la cantidad que gana en el año uno más la cantidad que gana en el año dos, hasta llegar a la cantidad que ganará en el año 𝑛.
En el primer año, ya hemos demostrado que gana 28000 dólares. En el segundo año, obtiene un aumento de salario del 2.5 por ciento. Ganará 28000 multiplicado por 1.025. Sumando estos dos datos se obtiene la cantidad que ganará en dos años en la empresa. Y, por supuesto, sabemos que esto es cierto para cualquier cantidad de años, por lo que podemos continuar hasta la cantidad que ella ganará en el año 𝑛. En este momento, habrá trabajado 𝑛 menos un año completo en la empresa. Por lo tanto, habría obtenido un aumento salarial del 2.5 por ciento 𝑛 menos una veces. Por lo tanto, la cantidad que gana en el año 𝑛 es 28 000 dólares multiplicados por 1.025 elevado a 𝑛 menos uno.
Y tal como mostramos antes, esta es una serie geométrica con valor inicial 𝑎, 28 000 dólares y razón de términos sucesivos 𝑟, 1.025. Y conocemos una fórmula para hallar la suma de los primeros 𝑛 términos de una serie geométrica. 𝑆 sub 𝑛 será igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 a la 𝑛-ésima potencia menos uno todo sobre 𝑟 menos uno. Por lo tanto, sustituimos 𝑎 por 28000 dólares y 𝑟 por 1.025 en esta fórmula para obtener que 𝑆 sub 𝑛 es igual a 28 000 dólares multiplicado por 1.025 a la 𝑛-ésima potencia menos uno todo sobre 1.025 menos uno.
Y todo lo que necesitamos hacer es evaluar esta expresión, en nuestro denominador, tenemos 1.025 menos uno, que podemos evaluar como 0.025. Todo lo que necesitamos hacer ahora es dividir 28 000 por 0.025. Y si calculamos esto, obtenemos 1 120 000, lo que nos da nuestra respuesta final. 𝑆 sub 𝑛, la cantidad total de dólares que Chloe ganará en 𝑛 años en la empresa, es igual a 1120000 multiplicado por 1.025 a la 𝑛-ésima potencia menos uno dólares.
La tercera parte de esta cuestión quiere que determinemos cuánto dinero habrá ganado Chloe si deja su empresa después de 20 años. Y nos dicen que hagamos esto usando nuestra fórmula. Esto se debe a que podemos simplemente calcular la cantidad que gana cada año y luego sumarlas todas. Sin embargo, es mucho más fácil usar nuestra fórmula para 𝑆 sub 𝑛. Recuerda, ya que estamos calculando la cantidad que gana en 20 años en la empresa, nuestro valor de 𝑛 será 20.
Por lo tanto, sustituimos 𝑛 por 20 en nuestra fórmula para 𝑆 sub 𝑛 que encontramos en la cuestión anterior. Obtenemos 𝑆 sub 20 es igual a 1 120 000 multiplicado por 1.025 a la 20 menos uno dólares. Y si calculamos esta expresión y damos nuestra respuesta al centavo más cercano, obtenemos 715 250 dólares y 41 centavos.
Pero aún queda una parte más por responder, así que despejemos un poco el espacio.
La última parte de esta cuestión nos pide que expliquemos por qué la cantidad que ganó es diferente de la cantidad calculada usando la fórmula. Opción (A) gastó parte del dinero en 20 años. Opción (B) el valor del dólar varía con el tiempo. Opción (C) la cantidad real tendrá un porcentaje diferente en comparación con la cantidad calculada usando la fórmula. Opción (D) la cantidad real tendrá un valor inicial diferente en comparación con la cantidad calculada usando la fórmula. O opción (E) cuando sea necesario, el nuevo salario anual será redondeado.
La última parte de esta cuestión nos da un problema interesante. Si Chloe calcula la cantidad que habrá ganado usando nuestra fórmula, hallará que su respuesta es diferente de la cantidad real que ganó. Nos dan cinco posibles opciones de por qué este será el caso. De hecho, podemos responder a esto directamente desde nuestra línea de trabajo. Sin embargo, repasemos primero nuestras cinco opciones.
La opción (A) nos dice que habrá gastado parte del dinero en 20 años. Ahora bien, si bien es cierto, probablemente gastó parte del dinero en los 20 años, esto no afectará la cantidad total que ganó en esos 20 años. Todo esto realmente afectaría la cantidad total de dinero que le queda. Por tanto, la opción (A) no es la respuesta correcta.
La opción (B) nos dice que la respuesta correcta debe ser que la cantidad total que ganó en 20 años será diferente porque el valor del dólar varía con el tiempo. Y, por supuesto, sabemos que es cierto que el valor del dólar variará con el tiempo. Sin embargo, durante los 20 años que Chloe trabajó para la empresa, le pagaron en dólares. El valor del dólar no cambia la cantidad total de dinero que ganó porque de todos modos solo le pagaron en dólares. Así que, la opción (B) no es correcta. No cambiará la cantidad total de dinero que ganó. Sin embargo, podríamos argumentar que cambiará el valor de la cantidad de dinero que ganó, pero no el total.
La opción (C) nos dice que deberíamos haber usado un porcentaje diferente cuando estábamos calculando usando la fórmula. Pero sabemos que esto no es cierto porque cada año nos dicen que su salario aumentará en un 2.5 por ciento, y usamos este valor en todo momento. Por lo tanto, la opción (C) no puede ser correcta porque sabemos que su salario aumenta en un 2.5 por ciento cada año.
La opción (D) nos dice que deberíamos haber usado un valor inicial diferente para nuestra fórmula. Y, una vez más, sabemos que esto no es cierto porque en la cuestión nos dicen que su salario inicial es de 28 000 dólares. Después de un año completo en su trabajo, ganará 28 000 dólares. Este será el valor inicial. Por lo tanto, la opción (D) tampoco es correcta.
Esto nos deja con la opción (E), que nos dice que, cuando sea necesario, el nuevo salario anual será redondeado. Analicemos por qué esto puede cambiar la cantidad real que ganó. Y para resaltar esto, calculemos la cantidad de dinero que ganará cada año en su empresa. Comencemos con el primer año. Por supuesto, en el primer año, gana su salario inicial de 28 000 dólares. En el segundo año, ganará los 28 000 dólares más su aumento salarial del 2.5 por ciento. Eso es 28 000 multiplicado por 1.025. Y si calculamos este valor, obtenemos exactamente 28 700 dólares.
Y hacemos lo mismo para el año tres y el año cuatro. En el tercer año, calculamos que gana 28 000 multiplicado por 1.025 al cuadrado y en el cuarto año 28 000 dólares multiplicado por 1.025 al cubo. Y si los calculamos, en el tercer año, su salario es de 29 417 dólares 50 centavos. Y en el cuarto año, obtenemos 30 152 dólares y 93 centavos. Pero también obtenemos 0.75 centavos extra. Y aquí es donde nuestro problema comienza porque la empresa no puede abonar 0.75 de un centavo. Por lo tanto, lo más probable es que la empresa redondee hacia arriba y le dé 30152 dólares y 94 centavos.
Sin embargo, nuestra fórmula suma la cantidad exacta calculada cada año, mientras que la cantidad real que ganó usaría el valor exacto que le dan. Y este redondeo puede hacer que nuestra fórmula sea inexacta en este caso. Y vale la pena señalar que esto solo es cierto cuando estamos trabajando en dólares y centavos porque en este caso no podemos dar 0.75 de un centavo. Pero esto no siempre es así. Por ejemplo, si trabajamos en longitud, podemos seguir bajando tanto como queramos. Por eso, cuando trabajamos con problemas del mundo real, es muy importante conocer todos los aspectos con los que estamos trabajando.
Hemos demostrado que la cantidad que ganó era diferente a la cantidad que calculamos usando la fórmula debido a la opción (E), cuando es necesario, el nuevo salario anual deberá redondearse.
Veamos ahora un ejemplo diferente de un problema del mundo real con progresiones geométricas en serie.
Una mina de oro produjo 2257 kilogramos en el primer año, pero disminuyó un 14 por ciento anual. Halla la cantidad total de oro producida en el tercer año y el total en los tres primeros años. Da las respuestas al kilogramo más cercano.
En esta cuestión, nos dan información sobre una mina de oro. Nos dicen que, en el primer año de producción, la mina de oro produce 2257 kilogramos. Pero nos dicen que año tras año, esta cantidad está disminuyendo en un 14 por ciento. La cuestión quiere que encontremos dos cosas. Quiere que hallemos la cantidad de oro que se produce en el tercer año de producción, y quiere que hallemos la cantidad total producida en los tres primeros años. Y necesitamos dar ambas respuestas al kilogramo más cercano.
De hecho, hay dos formas diferentes en las que podemos responder esta cuestión. La primera forma es hallar estos valores directamente a partir de la información que se nos da en la pregunta. Nos dicen en la cuestión, en el primer año, la mina de oro produce 2257 kilogramos de oro. Podemos hallar la cantidad de oro producida en el segundo año recordando que esta cantidad disminuirá en un 14 por ciento cada año. Hay varias formas diferentes de evaluar una disminución del 14 por ciento.
Una forma es multiplicar por uno menos 0.14. Y vale la pena señalar que aquí estamos restando 0.14 porque es una disminución. Así que necesitamos restar, y obtenemos 0.14 porque nuestra tasa, 𝑟, es 14 y necesitamos dividir esto por 100. Lo que realmente estamos diciendo aquí es que una disminución en el 14 por ciento es lo mismo que multiplicar por 0.86. Por lo tanto, la cantidad de oro producida en la mina en el segundo año es 2.257 multiplicado por 0.86 kilogramos. Y podemos evaluar esto exactamente; obtenemos 1941.02 kilogramos. Y no necesitamos redondear nuestra respuesta hasta el final de la cuestión, así que lo dejaremos en la forma exacta.
Luego vamos a querer hacer exactamente lo mismo para el tercer año. Una vez más, según la cuestión, sabemos que la mina producirá un 14 por ciento menos de oro en el tercer año que en el segundo año. Lo que podemos hacer es multiplicar la cantidad de oro que obtuvimos en el segundo año por 0.86. Así que, vamos a multiplicar nuestra expresión por 0.86, que es fácil de hacer. Multiplicando esta expresión por 0.86 y simplificando, obtenemos 2257 multiplicado por 0.86 kilogramos al cuadrado. Calculando esta expresión exactamente, obtenemos 1669.2772 kilogramos.
Ahora podemos usar estos tres valores para responder nuestra cuestión. Primero, podemos hallar la cantidad de oro producida en el tercer año redondeando este número al kilogramo más cercano. Esto nos da 1669 kilogramos. A continuación, podemos hallar la cantidad total de oro producida en tres años sumando estos tres valores. Esto nos da 2257 kilogramos más 1941.02 kilogramos más 1669.2772 kilogramos. Y si evaluamos esta expresión, obtenemos 5867.2972 kilogramos. Y al kilogramo más cercano, podemos ver que nuestra primera cifra decimal es dos, por lo que necesitamos redondear hacia abajo, lo que nos da 5867 kilogramos.
Sin embargo, ¿qué habría pasado si necesitáramos calcular aún más años de producción? Podemos ver que este método funcionó porque solo tuvimos que calcular los primeros tres años. Si nos pidieran encontrar más años en nuestro ejemplo, necesitaríamos hacer uso de algo interesante. Cada año multiplicamos por una razón constante de 0.86. Y recuerda, en una progresión, si multiplicamos por una razón constante para obtener el siguiente término en nuestra progresión, llamamos a esto una progresión geométrica.
El oro producido en nuestra mina después de 𝑛 años forma una progresión geométrica con un valor inicial 𝑎 de 2257 kilogramos y una razón 𝑟 de 0.86. Podemos usar lo que sabemos sobre progresiones geométricas para hallar la cantidad de oro producido en el año 𝑛-ésimo en nuestra mina y la cantidad total de oro producido en 𝑛 años. Simplemente sustituimos 𝑛 es igual a tres y nuestros valores para 𝑎 y 𝑟 en las dos fórmulas para hallar estos valores. Y después de redondear, obtenemos las mismas respuestas que teníamos antes. 𝑎 sub tres es 1669 kilogramos y 𝑆 sub tres es 5867 kilogramos.
Repasemos ahora los puntos clave de este video. Primero, muchos problemas del mundo real están relacionados con progresiones y series geométricas. También sabemos que, si podemos convertir estos problemas del mundo real en un problema de progresiones o series geométricas, entonces podemos usar cualquiera de los resultados que conocemos sobre progresiones o series geométricas para ayudarnos a responder estas cuestiones. Finalmente, siempre debemos verificar que nuestras respuestas tienen sentido en la situación del mundo real que nos dan. Por ejemplo, a veces, nuestros cálculos implicarán valores no enteros para poblaciones. Y siempre debemos tener en cuenta cómo el contexto afecta nuestra respuesta final.
