Lesson Video: El movimiento en el plano usando ecuaciones paramétricas

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En este vídeo vamos a aprender cómo describir el movimiento de una partícula a lo largo de una curva definida paramétricamente. Vamos a considerar en esta cuestión el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, así como sus respectivos módulos, y veremos cómo pueden ayudarnos las ecuaciones paramétricas a analizar este tipo de problemas. Como ya sabemos, las ecuaciones paramétricas nos permiten expresar 𝑥 e 𝑦 en términos de una tercera variable, la cual se denomina parámetro. A menudo utilizamos 𝑡, pues puede representar el tiempo. De esta forma obtenemos las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. También debemos recordar algunas relaciones entre las magnitudes del movimiento. La primera relación es que, si 𝑠 es una función para la posición o el desplazamiento de una partícula en el instante 𝑡, 𝑠 de 𝑡, entonces la tasa de variación del desplazamiento con respecto al tiempo, 𝑠 prima de 𝑡, es la velocidad de la partícula en el instante 𝑡. Análogamente, la tasa de variación de la velocidad de la partícula con respecto al tiempo, 𝑣 prima de 𝑡, nos da la aceleración de la partícula en el instante 𝑡. Eso es 𝑎 de 𝑡. Equipados con estos conocimientos, ya estamos listos para ver una variedad de problemas de movimiento en el plano.

Una partícula tiene una posición definida por las ecuaciones 𝑥 igual a 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 y 𝑦 igual a tres menos dos 𝑡 al cuadrado. Halla el vector velocidad de la partícula en el instante 𝑡 igual a dos.

En primer lugar se nos dice que la posición de la partícula está definida por dos ecuaciones paramétricas. En otras palabras esto significa que, dado un valor del tiempo 𝑡, obtenemos un par de coordenadas 𝑥𝑦 para la posición de la partícula en ese instante. Podemos decir que, en términos vectoriales, la posición de la partícula en el instante 𝑡 es 𝑠 de 𝑡 igual a 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 𝑖, más tres menos dos 𝑡 al cuadrado 𝑗. Pero lo cierto es que esto no es exactamente lo que estamos buscando. Lo que queremos es hallar el vector velocidad de la partícula cuando 𝑡 es igual a dos. Para hacerlo debemos recordar que, conocida una función para el desplazamiento, que es la variación en la posición del objeto del instante inicial, hallamos una función para la velocidad derivando con respecto a 𝑡.

Esto significa que podemos hallar el vector velocidad de nuestra partícula en el instante 𝑡 derivando cada componente del vector posición con respecto a 𝑡. Eso es la derivada de 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡. Seguidamente derivamos también la componente vertical, la derivada de tres menos dos 𝑡 al cuadrado. Para derivar un término polinómico debemos multiplicar todo el término por el exponente y luego disminuir el exponente en una unidad. Por lo tanto, 𝑡 al cubo se deriva a tres 𝑡 al cuadrado y menos cinco 𝑡 se deriva a menos cinco.

Del mismo modo, la derivada de tres menos dos 𝑡 al cuadrado es menos cuatro 𝑡. Recuerda que la derivada de cualquier constante es cero. Nuestra función vectorial para la velocidad es tres 𝑡 al cuadrado menos cinco 𝑖 más menos cuatro 𝑡 𝑗. Queremos hallar el vector velocidad en 𝑡 igual a dos. Así que hacemos 𝑡 igual a dos en nuestro vector. Y obtenemos tres por dos al cuadrado menos cinco 𝑖 más menos cuatro por dos 𝑗, que se simplifica a siete 𝑖 menos ocho 𝑗.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo un pequeño cambio en el lenguaje puede cambiar radicalmente la solución del problema.

Una partícula tiene una posición definida por las ecuaciones 𝑥 igual a cinco 𝑡 al cuadrado más cuatro 𝑡 y 𝑦 igual a tres 𝑡 menos dos. Calcula la rapidez de la partícula en 𝑡 igual a dos.

En este ejercicio nos han dado dos ecuaciones paramétricas que describen la posición de la partícula. Esto significa que, dado un valor de 𝑡, obtenemos un valor —que es un par de coordenadas— para la posición de la partícula en ese instante. Podemos tratarlas como entidades completamente independientes. Queremos hallar la rapidez de la partícula en 𝑡 igual a dos. Sabemos que la rapidez es la magnitud de la velocidad. Sabemos, además, que podemos hallar la función para la velocidad derivando la función para el desplazamiento o la posición. Por lo tanto, en términos vectoriales, la posición de la partícula en el instante 𝑡 es cinco 𝑡 al cuadrado más cuatro 𝑡 𝑖 más tres 𝑡 menos dos 𝑗. Así que podemos derivar nuestra función para la posición y hallar una función para la velocidad. Para hacerlo vamos a derivar individualmente las componentes horizontal y vertical para el desplazamiento o la posición.

Vamos a comenzar derivando la componente horizontal. Es cinco 𝑡 al cuadrado más cuatro 𝑡. La derivada de cinco 𝑡 al cuadrado es 10𝑡. Y la derivada de cuatro 𝑡 con respecto a 𝑡 es cuatro. Ahora vamos a hacer lo mismo para la componente vertical. La derivada de tres 𝑡 es tres y la derivada de menos dos es cero. En términos vectoriales, la velocidad está definida por 10𝑡 más cuatro 𝑖 más tres 𝑗. Esto significa que, en 𝑡 segundos, la velocidad es 10𝑡 más cuatro en la dirección horizontal y tres en la vertical, la dirección 𝑗. A continuación, queremos calcular la velocidad en 𝑡 igual a dos. Así que sustituimos 𝑡 en la ecuación vectorial para la velocidad y obtenemos 10 por dos más cuatro 𝑖 más tres 𝑗. Eso es 24𝑖 más tres 𝑗.

Recuerda que queremos hallar la rapidez, o sea, el módulo de la velocidad. Sabemos que podemos calcular la magnitud de un vector 𝑎 expresado como 𝑥 𝑖 más 𝑦 𝑗 calculando la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. En este caso, es la raíz cuadrada de 24 al cuadrado más tres al cuadrado, que es tres raíz de 65. No tenemos ninguna unidad aquí, así que ya hemos terminado. La rapidez de la partícula en 𝑡 igual a dos es tres raíz de 65.

Ahora vamos a ver cómo podemos calcular la aceleración de una partícula aplicando un procedimiento muy parecido.

Una partícula en movimiento está definida por las dos ecuaciones 𝑥 igual a 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 menos cinco y 𝑦 igual a siete 𝑡 al cuadrado menos tres. Calcula el módulo de la aceleración de la partícula en 𝑡 igual a uno.

En este problema se nos ha dado la posición de la partícula expresada como un par de ecuaciones paramétricas. Por lo tanto, dado un valor de 𝑡, obtenemos un par de coordenadas 𝑥𝑦 para la posición de nuestra partícula. Podemos considerar esto en términos vectoriales y decir que la posición de la partícula en el instante 𝑡, 𝑠 de 𝑡, viene dada por 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 menos cinco 𝑖 más siete 𝑡 al cuadrado menos tres 𝑗. En este problema nos piden calcular la aceleración de la partícula. Bueno, en realidad queremos hallar el módulo de la aceleración, pero eso lo veremos después. Sabemos que la aceleración es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Y que la velocidad es igual a la primera derivada del vector desplazamiento o del vector posición.

Por lo tanto, para hallar una función para la aceleración, tenemos que derivar nuestra función para la posición dos veces con respecto al tiempo. Vamos a hacerlo una vez para hallar la función para la velocidad. Podemos derivar cada función componente por separado. Cuando derivamos 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 menos cinco, obtenemos tres 𝑡 al cuadrado menos cinco. Y al derivar siete 𝑡 al cuadrado menos tres, obtenemos 14𝑡. Así que nuestra función para la velocidad es tres 𝑡 al cuadrado menos cinco 𝑖 más 14𝑡 𝑗. Pero, ¿qué significa esto en realidad? Esto significa que la velocidad puede definirse en términos de la velocidad horizontal y de la velocidad vertical. Horizontalmente, la velocidad de la partícula es tres 𝑡 al cuadrado menos cinco, y verticalmente viene dada por la función 14𝑡.

Vale, muy bien. Vamos a derivar de nuevo para hallar la función para la aceleración. Derivamos tres 𝑡 al cuadrado menos cinco y obtenemos que la aceleración en la dirección horizontal es seis 𝑡. Seguidamente derivamos 14𝑡. Y obtenemos que la aceleración en la dirección vertical es 14. Ahora ya estamos listos para hallar el vector aceleración de nuestra partícula en 𝑡 igual a uno. Sustituimos 𝑡 igual a uno en la función vectorial para la aceleración. Y hallamos que la aceleración en 𝑡 igual a uno está dada por el vector seis 𝑖 más 14𝑗. Pero, como sabes, lo que queremos es hallar la magnitud de la aceleración.

Para hacerlo, debemos recordar que la magnitud de un vector en dos dimensiones dado por 𝑥 𝑖 más 𝑦𝑗 es la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Esto significa que el módulo de la aceleración en 𝑡 igual a uno es la raíz cuadrada de seis al cuadrado más 14 al cuadrado, que es dos raíz de 58. En este problema no se nos dan unidades. Así que la respuesta final es que el módulo de la aceleración de la partícula en el instante 𝑡 igual a uno es dos raíz de 58.

Ahora, para resolver ejercicios más complejos de movimiento en el plano vamos a emplear el mismo procedimiento. Veamos cómo hacerlo.

Sabiendo que una partícula se mueve en una curva definida por las ecuaciones paramétricas. 𝑥 igual a un medio por 𝑡 al cuadrado menos cuatro 𝑡 más tres y 𝑦 igual a un medio por 𝑡 al cuadrado más tres 𝑡. Halla, a la décima más cercana, el instante en el que 𝑣 es igual a 64.

Tenemos un par de ecuaciones paramétricas que describen la posición o el desplazamiento de la partícula. Y se nos pide hallar el instante en el que la rapidez es igual a 64. Vamos a considerar esto en términos vectoriales. Y decimos que el desplazamiento es igual a un medio por 𝑡 al cuadrado menos cuatro 𝑡 más tres en la dirección horizontal, que es 𝑖, y un medio por 𝑡 al cuadrado más tres 𝑡 en la dirección vertical. Esa parte es 𝑗. También sabemos que, si derivamos la función para el desplazamiento, obtendremos una función para la velocidad. Vamos a hacerlo derivando cada una de las funciones componentes del vector desplazamiento. Derivamos un medio por 𝑡 al cuadrado menos cuatro 𝑡 más tres y obtenemos 𝑡 menos cuatro. Seguidamente derivamos un medio por 𝑡 al cuadrado más tres 𝑡 y obtenemos 𝑡 más tres.

Ahora ya sabemos que la velocidad de la partícula en la dirección horizontal en el instante 𝑡 es 𝑡 menos cuatro. Y en la dirección vertical, es 𝑡 más tres. Y hemos representado esto en forma de vector. Queremos hallar el instante en el que 𝑣 es igual a 64. Fíjate en que esto no está dado como una cantidad vectorial. Así que vamos a tener que calcular cuándo la magnitud de la velocidad es igual a 64. Para ello vamos a hacer uso del hecho de que la magnitud de un vector bidimensional 𝑥𝑖 más 𝑦𝑗 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Esto quiere decir que la magnitud de nuestra velocidad es la raíz cuadrada de 𝑡 menos cuatro, todo al cuadrado, más 𝑡 más tres, todo al cuadrado. Y esto es igual a 64. Ahora, lo único que nos queda por hacer es resolver para 𝑡.

Comenzamos elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y hallamos que 𝑡 menos cuatro todo al cuadrado más 𝑡 más tres todo al cuadrado es igual a 4096. Desarrollamos los dos paréntesis. Y obtenemos 𝑡 al cuadrado menos ocho 𝑡 más 16 más 𝑡 al cuadrado más seis 𝑡 más nueve en el lado izquierdo. Que se simplifica a dos 𝑡 al cuadrado menos dos 𝑡 más 25 igual a 4096. Hemos obtenido una ecuación cuadrática que podemos resolver restando 4096 de ambos lados. Es dos 𝑡 al cuadrado menos dos 𝑡 menos 4071 igual a cero. Y usando cualquier método que conozcamos, podemos resolver esta ecuación cuadrática. Podríamos usar la fórmula de completar el cuadrado o la fórmula cuadrática. Podríamos, usar incluso un solucionador de ecuaciones polinómicas en una calculadora. Al hacerlo obtenemos que 𝑡 es igual a 45.6192 o menos 44.6192. Entonces, ¿cuál elegimos? Bueno, estamos hablando de tiempo, así que en este caso no tiene sentido que sea negativo. Por lo tanto, a la décima más cercana, el instante en el que 𝑣 es igual a 64 es 45.6.

En el último ejemplo vamos a resolver un problema de valor inicial.

Supongamos que una partícula se mueve en una curva definida por las ecuaciones paramétricas d𝑥 partido por d𝑡 igual a cinco 𝑡 menos 15 y d𝑦 partido por d𝑡 igual a ocho menos cuatro 𝑡. Sabiendo que la partícula tiene inicialmente una posición horizontal 𝑑 igual a 32.3, halla el mínimo desplazamiento horizontal desde 𝑑 igual a cero.

El movimiento de nuestra partícula está descrito por un par de ecuaciones diferenciales paramétricas. Tenemos d𝑥 partido por d𝑡 igual a cinco 𝑡 menos 15 y d𝑦 partido por d𝑡 igual a ocho menos cuatro 𝑡. Pensemos en lo que estas ecuaciones representan en realidad. Si 𝑥 e 𝑦 son funciones que describen la posición de la partícula en términos de componentes horizontales y verticales, entonces d𝑥 partido por d𝑡 y d𝑦 partido por d𝑡 deben representar funciones de velocidad, tanto en la dirección horizontal como en la vertical. El problema nos pide hallar el desplazamiento de la partícula. Pero no solo eso. Debemos hallar, específicamente, el mínimo desplazamiento horizontal. Y para hacerlo debemos acordarnos de dos datos muy importantes.

En primer lugar, sabemos que, si derivamos una función para el desplazamiento, obtenemos una función para la velocidad. A la inversa, podemos decir que si integramos una función para la velocidad con respecto al tiempo, obtendremos una función para el desplazamiento. En este caso, obtendremos una función que describe el desplazamiento horizontal integrando nuestra función para la velocidad en la dirección horizontal. Es la integral de d𝑥 partido por d𝑡 con respecto a 𝑡. Esa es la integral de cinco 𝑡 menos 15. También sabemos que, cuando integramos un término polinómico cuyo exponente no es igual a menos uno, sumamos uno al exponente y luego lo dividimos por el nuevo valor del exponente. Así que la integral de cinco 𝑡 es cinco 𝑡 al cuadrado sobre dos, y la integral de menos 15 es menos 15𝑡. Como ves, esta es una integral indefinida. Así que añadimos una constante de integración que hemos denotado 𝑎.

El enunciado también nos dice que la partícula tiene inicialmente una posición horizontal de 𝑑 igual a 32.3, o sea, cuando 𝑡 es igual a cero. Así que sustituimos 𝑡 igual a cero y 𝑠 igual a 32.3 en nuestra ecuación para 𝑠 𝑥 de 𝑡. Y hallamos que 32.3 es igual a cinco por cero al cuadrado sobre dos menos 15 por cero más 𝑎. Cinco por cero al cuadrado sobre dos y menos 15 por cero son ambos iguales a cero. Así que 𝑎 es igual a 32.3. De esta forma hemos obtenido una expresión para el desplazamiento horizontal de nuestra partícula. Es cinco 𝑡 al cuadrado sobre dos menos 15𝑡 más 32.3. Queremos hallar el mínimo desplazamiento horizontal. Y para ello debemos recordar que podemos encontrar el punto crítico de una función derivando esa función e igualándola a cero.

En nuestro caso, estamos interesados en el mínimo desplazamiento horizontal. La derivada del desplazamiento en la dirección horizontal es d𝑥 partido por d𝑡. Y eso es cinco 𝑡 menos 15. Así que la igualamos a cero para hallar la ubicación de cualquier punto crítico. Resolvemos sumando 15 a ambos lados y dividiendo por cinco. Y obtenemos que 𝑡 igual a tres es un punto crítico de la función horizontal. Para comprobar si es un mínimo, tenemos que determinar si la segunda derivada en el punto donde 𝑡 igual a tres es mayor que cero.

Así que vamos a derivar nuestra función d𝑥 partido por d𝑡. Al hacerlo, vemos que cinco 𝑡 menos 15 se deriva a cinco. Cinco es mayor que cero. Eso nos dice que todos los puntos críticos que pueden ocurrir deben ser un mínimo local. Así que, concretamente, cuando 𝑡 es igual a tres, tenemos un mínimo local. De hecho, este es un mínimo global, pues nuestra ecuación para 𝑠 𝑥 de 𝑡 es una cuadrática con un coeficiente principal positivo. Y esto significa que solo hay un punto crítico en nuestra curva. Por lo tanto, para calcular el mínimo desplazamiento horizontal de 𝑑 igual a cero, vamos a sustituir 𝑡 igual a tres en nuestra expresión para el desplazamiento horizontal. Eso es cinco por tres al cuadrado sobre dos menos 15 por tres más 32.3, que es igual a 9.8. El desplazamiento horizontal mínimo de 𝑑 con respecto a cero es 9.8.

Si observas con atención este ejercicio, te darás cuenta de que no hemos considerado la ecuación que describe el movimiento vertical de nuestra partícula. Y eso es porque solo estábamos interesados en el desplazamiento horizontal. En este vídeo hemos aprendido que, al considerar las ecuaciones paramétricas como una función vectorial o, sencillamente, considerando sus componentes horizontales y verticales, podemos resolver fácilmente problemas de movimiento en el plano. También hemos visto que podemos usar para el movimiento las reglas estándar a las que estamos acostumbrados en el cálculo infinitesimal y así ayudarnos a convertir entre desplazamiento, velocidad y aceleración si estas cantidades están expresadas mediante ecuaciones paramétricas.