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Gráficas de funciones polinómicas
En este vídeo vamos a explorar varias técnicas que nos pueden ayudar a graficar funciones polinómicas. Vamos a ver cómo determinar el comportamiento en el infinito de la gráfica de una función polinómica, cómo hallar la forma de la gráfica cerca de sus raíces, y exploraremos además la forma general de las gráficas de las funciones polinómicas. También veremos cómo identificar la posible ecuación de una función polinómica a partir de su gráfica. Para ello vamos a ver una serie de ejemplos.
Consideremos el siguiente ejemplo. Se nos pide esbozar la gráfica de la siguiente función polinómica. Este polinomio parece bastante complicado. Por ejemplo, si nos fijamos en el término principal de este polinomio, que es el término con el mayor exponente de 𝑥, podemos ver que este es un polinomio de grado seis. Por lo tanto, en lugar de dibujar la gráfica de toda la función a la vez, vamos a dibujarla por partes.
Comencemos con las partes que podemos dibujar directamente de nuestra función 𝑓 de 𝑥. Como tenemos una expresión para 𝑓 de 𝑥, podemos sustituir los valores de 𝑥 directamente en esta expresión. Hay muchos valores distintos de 𝑥 que podemos sustituir en esta expresión. Pero hay uno en particular que nos interesa. 𝑥 igual a cero. Recordemos que, cuando 𝑥 es igual a cero, la ordenada 𝑦 de ese punto se llama ordenada en el origen de la función, pues este es el punto donde la gráfica corta el eje de las 𝑦. Así que siempre podemos hallar los puntos de corte con el eje de las 𝑦 de una función polinómica. Si sustituimos 𝑥 igual a cero en esta expresión, vemos que todos los términos de nuestro polinomio son igual a cero, excepto el término independiente al final. Así que vamos a comenzar marcando el punto ocho en el eje de las 𝑦. Sabemos que nuestra curva debe pasar por este punto.
Vamos a ir anotando lo que vamos hallando para no perdernos. Hemos hallado que la ordenada 𝑦 en el origen es el valor de 𝑓 en cero, que es igual a ocho. Pero este dato no es suficiente para poder dibujar nuestra curva. Necesitamos más información. Vamos a ver qué otros datos podemos extraer. Una información que nos puede ser útil es saber cuál es el punto de intersección con el eje de las 𝑥 de nuestra curva.
Pero, antes de hallarlo, hay una cosa más que podemos obtener directamente a partir de nuestra expresión para 𝑓 de 𝑥. Queremos investigar el comportamiento en los extremos o comportamiento en el infinito de nuestra curva. El comportamiento en el infinito de una curva es lo que el propio nombre indica. Es lo que le ocurre a la curva cuando los valores de 𝑥 se hacen más y más grandes, y lo que le ocurre cuando los valores de 𝑥 disminuyen, o sea, se hacen más y más negativos. Preguntémonos entonces, ¿qué pasará si sustituimos un número positivo muy grande en nuestra función 𝑓 de 𝑥? ¿Qué le ocurrirá a nuestra curva si hallamos, por ejemplo, 𝑓 calculada en un millón o en 10 a la sexta?
Tendríamos que sustituir un millón en cada uno de los términos de 𝑥. Pero nos damos cuenta de algo. Un millón a la sexta es mucho mayor que cinco por un millón a la quinta. De hecho, es significativamente más grande que todos los otros términos combinados. Por lo tanto, el comportamiento en los extremos de nuestra gráfica está determinado por el término principal de la función polinómica. Este término recibe una denominación especial. Decimos que el término principal domina a todos los demás términos.
Y lo mismo habría ocurrido si hubiéramos tratado de hallar el valor de la función en menos un millón. El tamaño de nuestro término principal seguiría dominando a todos los demás. Así que usamos este hecho para determinar el comportamiento en los extremos de nuestra gráfica. Sabemos que 𝑓 calculada en un millón es aproximadamente igual a un millón sustituido en nuestro término principal. Es aproximadamente igual a 10 a la sexta, todo elevado a seis. Este es un número positivo muy grande. Por lo tanto, para valores positivos muy grandes de 𝑥, obtenemos un número positivo muy grande. Incluimos este comportamiento en el infinito en nuestro diagrama.
Y hacemos exactamente lo mismo para 𝑥 igual a menos un millón. Sustituimos esto en nuestro término principal, y obtenemos menos un millón, todo elevado a seis. Para calcular esta expresión aplicamos las propiedades de las potencias. Distribuimos el exponente externo de seis a los dos factores entre paréntesis, menos uno y 10 a la sexta. Y obtenemos menos uno elevado a seis, todo multiplicado por un millón elevado a seis. Pero seis es un número par. Así que menos uno a la sexta es uno. Una vez más, obtenemos un número positivo muy grande. Y añadimos este comportamiento en el infinito a nuestro gráfico. A medida que los valores de 𝑥 se hacen más y más negativos, los resultados son cada vez más grandes.
Antes de pasar a hallar los puntos de corte con el eje de las 𝑥, veamos algo primero. Hallamos el comportamiento en los extremos de nuestra gráfica a partir del término principal. Es algo que podemos hacer con cualquier función polinómica. Consideremos el término principal 𝐴𝑥 elevado a 𝑛. Sabemos que, si la magnitud de 𝑥 es muy grande, entonces 𝐴𝑥 elevado a 𝑛 será un número muy grande.
Lo que queremos saber también es cuál es el signo de este término cuando sustituimos un valor muy grande y positivo de 𝑥 y cuál es el signo de este término cuando sustituimos un valor muy grande pero negativo de 𝑥. Para determinar si el producto de dos números es positivo o negativo, necesitamos saber si los factores son positivos o negativos.
Consideremos el coeficiente principal 𝐴 mayúscula. Nos preguntamos, ¿es 𝐴 mayúscula un número positivo o negativo? A continuación necesitamos saber si 𝑥 elevado a 𝑛 es positivo o negativo. Esto depende del valor de 𝑥 y del valor de 𝑛. Cuando 𝑥 es positivo, 𝑥 elevado a 𝑛 es siempre positivo. Y, si 𝑥 es negativo, entonces 𝑥 elevado a 𝑛 solo será positivo si 𝑛 es par. Y será negativo si 𝑛 es impar.
Podemos determinar el comportamiento en el infinito de cualquier función polinómica si consideramos dos cosas. ¿El coeficiente principal es positivo o negativo? ¿El exponente del término principal es par o impar? Si conocemos la respuesta a estas dos preguntas, sabremos si los dos factores en el término principal son positivos o negativos. Por lo tanto, siempre podremos hallar el comportamiento en el infinito de una función polinómica.
Pero todavía necesitamos más información para poder dibujar completamente nuestra curva. Veamos cuál es el tercer dato que nos interesa. Queremos hallar el punto de corte con el eje de las 𝑥 de nuestra función. Como sabemos, las intersecciones de la gráfica con el eje de las 𝑥 son los puntos 𝑥 donde el valor de la función es cero. Hay una intersección con el eje de las 𝑥 en 𝑥 igual a 𝑏 si 𝑓 de 𝑏 es igual a cero. Ya hemos visto cómo hallar esto. Tenemos que descomponer en factores nuestra expresión polinómica. Como ves, nuestro polinomio parece bastante difícil de factorizar. Pero no imposible.
Si usamos, por ejemplo, el método de inspección y la regla de Ruffini, hallaremos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 menos uno, todo al cuadrado, por 𝑥 más uno multiplicado por 𝑥 más dos, todo al cubo. Ahora podemos usar la función en esta forma para hallar las intersecciones con el eje de las 𝑥. Si el producto de tres factores es igual a cero, entonces uno de los tres factores ha de ser igual a cero. Así que igualamos cada factor a cero. Y obtenemos los tres puntos de corte con el eje de las 𝑥: uno cuando 𝑥 es igual a uno, uno cuando 𝑥 es igual a menos uno y uno cuando 𝑥 es igual a menos dos. Así que añadimos estos puntos de corte con el eje de las 𝑥 a nuestro diagrama.
Ahora ya casi estamos listos para trazar nuestra curva. Recordemos que la curva corta el eje de las 𝑥 en los puntos 𝑥 donde la función vale cero. Y ya habíamos hallado antes el comportamiento de la gráfica en el infinito y el punto de corte de la gráfica con el eje de las 𝑦. En el lado derecho de esta curva, sabemos que solo debe tocar el eje de las 𝑥 en 𝑥 igual a uno. No puede intersecar el eje de las 𝑥 en otro punto porque no hay intersecciones con el eje de las 𝑥 mayores que la unidad.
Aplicamos la misma lógica para los otros dos puntos. Podemos pensar, por ejemplo, que nuestra curva tiene este aspecto, toca este eje en 𝑥 igual a menos dos y en 𝑥 igual a menos uno. Pero no es la única posibilidad. La curva puede estar por debajo del eje de las 𝑥 entre estos dos puntos. Podríamos resolver esto sustituyendo un valor de 𝑥 en nuestra función 𝑓 de 𝑥.
Pero hay un método más sencillo que nos dará más información sobre la forma de nuestra curva. Preguntémonos, ¿qué pasa con 𝑓 de 𝑥 cerca de los valores de 𝑥 igual a menos uno? Para responder a esto, consideremos primero la función 𝑓 de 𝑥 en la forma factorizada. Y a continuación sustituimos. Sustituimos 𝑥 igual a menos uno en todos nuestros factores, excepto en el factor que es igual a cero. Por lo tanto, cuando nuestros valores de 𝑥 están cerca de menos uno, nuestra función será 𝑦 igual a menos uno menos uno, todo al cuadrado, por 𝑥 más uno multiplicado por menos uno más dos, todo al cubo.
Esto será más exacto cuanto más cerca estén nuestros valores de 𝑥 de menos uno. Seguidamente simplificamos esta expresión. Obtenemos que 𝑦 es igual a cuatro por 𝑥 más uno. Esta es una curva lineal. Es una línea recta que corta el eje de las 𝑥 en menos uno. ¿Qué significa esto para nuestra curva?
En las cercanías de 𝑥 igual a menos uno, nuestra curva tendrá la forma de una recta que pasa por el eje de las 𝑥. Tendrá más o menos este aspecto. Podemos hacer exactamente lo mismo con los otros dos puntos de corte con el eje de las 𝑥. Hagamos algo de espacio para estos otros dos valores.
Aplicamos el mismo procedimiento cuando 𝑥 es igual a uno para comprobar que nuestra intuición es correcta. Para hacerlo, sustituimos 𝑥 igual a uno en los factores que no son iguales a cero. Obtenemos la curva 𝑦 igual a 𝑥 menos uno, todo al cuadrado, por uno más uno multiplicado por uno más dos, todo al cubo. Calculamos esta expresión. Y obtenemos la curva 𝑦 igual a 54 por 𝑥 menos uno, todo al cuadrado.
Ahora ya podemos esbozar esta curva. Es la curva 54𝑥 al cuadrado trasladada una unidad a la derecha. Y vemos que coincide con nuestro boceto. La curva solo tocará el eje de las 𝑥 cuando 𝑥 es igual a uno. A partir de esto podemos sacar conclusiones. Cuando sustituimos estos valores de 𝑥 en nuestra expresión, obtenemos un número que está multiplicando a nuestro factor. Y la forma general de esta curva estará definida por el exponente de nuestro factor, hecho que se conoce como la multiplicidad del factor.
Antes de aplicar el mismo procedimiento con nuestro último factor, echemos un vistazo a nuestra función 𝑓 de 𝑥. Vemos que el factor 𝑥 más dos está elevado al cubo. Su multiplicidad es tres. Por lo tanto, cuando aplicamos este método, obtendremos una curva cúbica trasladada y alargada. Tendrá el aspecto de una de estas dos curvas. Solo puede tener la forma de uno de estos dos bocetos.
Para que la información se corresponda con nuestra curva, esta curva debe tener la forma de la gráfica de la función 𝑥 más dos, todo al cubo. Añadimos esto a nuestro diagrama. Y es importante que, cuando 𝑥 está cerca de menos dos, nuestra curva debe ser plana, pues la curva 𝑥 más dos, todo al cubo, es plana aquí. Ahora solo nos queda unir las diferentes partes que tenemos de la curva. Y obtendremos la gráfica de la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Esto nos da el cuarto y último paso para trazar nuestra curva. Tenemos que comprobar la multiplicidad de factores. En concreto, en las cercanías de un punto de corte con el eje de las 𝑥 en 𝑏 con una multiplicidad 𝑘, nuestra curva tendrá la forma de la gráfica de la función 𝑦 igual a 𝑥 menos 𝑏, todo elevado a 𝑘.
Veamos ahora cómo podemos usar estos cuatro pasos para identificar la gráfica correcta de una expresión polinómica.
¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 más uno, todo al cuadrado, por 𝑥 menos dos multiplicado por 𝑥 menos uno? Opción (A), (B), (C), (D) o (E).
Se nos dan cinco gráficas posibles de la función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Y sabemos que, si desarrollamos nuestra expresión para 𝑓 de 𝑥, obtendremos un polinomio. Por lo tanto, para resolver este problema, vamos a usar lo que sabemos sobre el trazado de gráficas de funciones polinómicas. Lo primero que hacemos cuando dibujamos la gráfica de una función cualquiera es sustituir 𝑥 igual a cero para hallar la intersección con el eje de las 𝑦. Así que vamos a sustituir 𝑥 igual a cero en nuestra función 𝑓 de 𝑥. Sustituimos 𝑥 igual a cero en la expresión 𝑓 de 𝑥. Y obtenemos cero más uno, todo al cuadrado, multiplicado por cero menos dos por cero menos uno. Calculamos esta expresión, y obtenemos dos.
Dos es un número positivo. Así que el punto de corte con el eje de las 𝑦 se encuentra por encima del eje de las 𝑥. Si miramos la gráfica (E), vemos que la intersección con el eje de las 𝑦 está por debajo del eje de las 𝑥. Así que descartamos la opción (E). Lo segundo que debemos analizar es el comportamiento en el infinito de nuestra curva. Para determinar el comportamiento en los extremos de la curva de una función polinómica, nos fijamos en el término principal. En este caso, la función no viene dada en la forma polinómica. Así que no conocemos el término principal. Tenemos que desarrollar esta expresión.
Pero solo necesitamos hallar la potencia de 𝑥 con mayor exponente. Si hiciéramos esto, veríamos que obtendríamos 𝑥 a la cuarta potencia Así que podemos determinar el comportamiento en los extremos de la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 considerando el comportamiento en el infinito del término 𝑥 a la cuarta. Sabemos que para valores positivos grandes de 𝑥, 𝑥 a la cuarta es positivo. Y para valores muy negativos de 𝑥, también es positivo.
Debemos recordar, además, que el punto de corte con el eje de las 𝑦 es dos. Así que borramos esto para evitar confusiones y añadimos esto a nuestro diagrama. Y nos damos cuenta de algo. Las gráficas (B), (C) y (D) no tienen el mismo comportamiento en los extremos que nuestra curva. Así que ninguna de estas es la gráfica que estamos buscando. Por lo tanto, por eliminación, la gráfica (A) debe ser la correcta. Vale la pena mencionar que también podríamos haber dibujado la gráfica directamente a partir de la función 𝑓 de 𝑥.
Lo tercero que debemos hacer para trazar la curva de una función polinómica es hallar las intersecciones con el eje de las 𝑥. Las intersecciones con el eje de las 𝑥 estarán en los puntos donde la función es igual a cero. Si descomponemos en factores nuestro polinomio, vemos que el producto de factores sea igual a cero significa que uno de nuestros factores debe ser igual a cero. Así que resolvemos para cada factor igual a cero. Y hallamos las tres intersecciones con el eje de las 𝑥: menos uno, dos y uno. Y las añadimos a nuestro diagrama.
Lo último que tenemos que hallar es la forma de la gráfica de la función en las cercanías de los puntos de corte. Para hacerlo, consideramos la multiplicidad del factor. Por ejemplo, cuando 𝑥 es igual a dos y cuando 𝑥 es igual a uno, la multiplicidad de estos dos factores es uno. Podemos hallar una aproximación directa por sustitución. Pero en este caso no hace falta. Sabemos que esta gráfica se va a comportar como una función lineal, una línea recta.
Fijémonos de todas formas en 𝑥 igual a dos. Conocemos el comportamiento de nuestra curva cerca de este punto. Así que la pendiente de la gráfica en 𝑥 igual a dos debe ser positiva. Debe ser una función lineal de pendiente positiva. Y lo contrario debe ocurrir en uno, porque nuestra curva no puede intersecar el eje de las 𝑥 en ningún otro lugar. Debe ser una función lineal de pendiente negativa. Esto significa que podemos completar parte de nuestra curva. Tendrá aproximadamente este aspecto.
Sin embargo, cuando 𝑥 es igual a menos uno, cuando nos fijamos en nuestro factor, podemos ver que su multiplicidad es dos. Esto significa que, en los alrededores de menos uno, nuestra curva será como la gráfica de 𝑥 más uno, todo al cuadrado. Ahora, podríamos hallar el valor de 𝐴 sustituyendo menos uno en la parte restante de nuestra función. Pero no hace falta. Sabemos que 𝐴 debe ser positivo con solo mirar nuestra curva. Es la única posibilidad de que la forma de nuestra curva sea correcta. Así que 𝐴 es positivo. Y completamos el resto de nuestra curva. En el punto menos uno nuestra curva simplemente tocará el eje de las 𝑥, sin cruzarlo. Esto confirma que la opción (A) es la correcta.
Veamos ahora cómo podemos determinar la ecuación de una función polinómica a partir de su gráfica.
¿Cuál de las siguientes funciones está representada por la gráfica mostrada? Opción (A), (B), (C), (D) o (E).
Nos han dado la gráfica de una función, y tenemos que determinar cuál de las cinco funciones que nos dan es la representada por la gráfica que se muestra. Las cinco funciones que nos dan son funciones polinómicas. Así que vamos a usar lo que sabemos sobre el trazado de gráficas de funciones polinómicas para ayudarnos a responder esta pregunta.
Lo primero que observamos sobre la curva que se muestra es que el punto de corte con el eje de las 𝑦 es positivo. Está por encima del eje de las 𝑥. Y si decimos que esta es la gráfica de la función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, entonces la intersección con el eje de las 𝑦 ocurre cuando 𝑥 es igual a cero. En otras palabras, sabemos que 𝑓 calculada en cero es positiva. Así que tenemos que sustituir 𝑥 igual a cero en las cinco funciones que se nos han dado para ver cuáles nos dan resultados positivos.
Pero, por ahora, sin embargo, vamos a tratar de acordarnos de que la intersección con el eje de las 𝑦 es positiva. Podemos ver que hay dos intersecciones con el eje de las 𝑥: una en menos cinco y una en 𝑥 igual a cinco. Recordemos que, en las intersecciones con el eje 𝑥, nuestra función es igual a cero. Y si aplicamos el teorema del resto, si nuestra función polinómica es igual a cero cuando 𝑥 es igual a cinco, debe tener un factor de 𝑥 menos cinco. De hecho, podría tener varios. Y lo mismo ocurrirá con menos cinco. Nuestra función debe tener algún factor 𝑥 más cinco, tal vez varios. Y estas son las únicas intersecciones con el eje 𝑥. No hay más factores lineales.
Conviene mencionar también que podría haber habido algún factor adicional, por ejemplo cuadrático, sin raíces. Sin embargo, esto no nos ayuda a responder a la pregunta, pues las cinco funciones que nos han dado están en esta forma. Pero podemos combinar esto con lo que sabemos sobre la multiplicidad de nuestra función en las cercanías de sus raíces.
Comencemos considerando la gráfica de nuestra función cerca de 𝑥 igual a cinco. Si nos fijamos, podemos ver que tiene la forma de una línea recta. Podemos decir que esta gráfica es de la forma 𝑦 igual a menos 𝐴 por 𝑥 menos cinco elevado a uno, o simplemente 𝑥 menos cinco. Sin embargo, lo importante a tener en cuenta aquí es que se trata de una línea recta. Y la forma de la gráfica para estas raíces debe coincidir con la multiplicidad de nuestra función. Es decir, como tenemos una línea recta cuando 𝑥 es igual a cinco, la multiplicidad de 𝑥 menos cinco debe ser uno.
Consideremos pues las cinco funciones que nos han dado. Eliminamos todas las funciones en las que la multiplicidad de 𝑥 menos cinco no es uno. En la función (A), la multiplicidad de 𝑥 menos cinco es tres. Por lo tanto, la opción (A) no puede ser la respuesta correcta. Las funciones (B) y (C) tienen una multiplicidad de uno para 𝑥 menos cinco. Así que estas sí pueden ser correctas. La función (D) tiene una multiplicidad de tres. Y la función (E) tiene una multiplicidad de dos. Así que ninguna de estas puede ser la correcta.
Ahora estamos listos para usar nuestra información de que la intersección con el eje 𝑦 es positiva. Sustituimos 𝑥 igual a cero en la función (B) y en la función (C). Sustituimos 𝑥 igual a cero en la función (B), y obtenemos cero más cinco, todo al cubo, por cero menos cinco. Si calculamos la expresión, obtenemos menos cinco a la cuarta o menos 625. Este resultado tiene un valor negativo, por lo que debería estar debajo del eje de las 𝑥 en nuestro diagrama. Por lo tanto, la opción (B) no puede ser la opción correcta.
Comprobemos pues la opción (C). Sustituimos 𝑥 igual a cero en la función (C) para hallar su intersección con el eje de las 𝑦. Y obtenemos menos uno multiplicado por cero menos cinco, todo al cubo, por cero más cinco. Calculamos esta expresión, y obtenemos cinco a la cuarta o 625.
Y, por lo tanto, de todas las opciones dadas, la gráfica solo puede representar la función 𝑦 igual a menos 𝑥 más cinco todo al cubo por 𝑥 menos cinco.
Repasemos ahora los puntos principales que hemos visto en esta lección. Hemos visto que, si 𝑓 de 𝑥 es una función polinómica, entonces sabemos cómo trazar la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Y que, para ello, lo primero que hemos de hacer es hallar la intersección con el eje de las 𝑦 de nuestra función. Es cuando 𝑥 es igual a cero. Así que el valor de 𝑓 en cero. Y es particularmente fácil de hallar si nuestra función 𝑓 de 𝑥 no está dada en forma factorizada, pues cuando sustituimos 𝑥 igual a cero en una función polinómica en la forma desarrollada, todos los términos valen cero excepto el término constante. Por lo tanto, la intersección con el eje de las 𝑦 es el término constante de nuestro polinomio.
También hemos aprendido cómo hallar el comportamiento en el infinito de una función polinómica, esto es, lo que le ocurre a la gráfica de la función para valores muy grandes y positivos de 𝑥 y para valores muy grandes pero negativos de 𝑥. Hemos visto que este comportamiento viene determinado por el término principal de nuestro polinomio porque este término domina todos los otros términos. Y que, si nuestro término principal es 𝐴 por 𝑥 elevado a 𝑛, hemos de hallar su signo. Queremos saber si es positivo o negativo. Y sabemos que para saber si el producto de dos números es positivo o negativo, tenemos que considerar cada número por separado. Y para 𝑥 positivo o negativo, el signo de cada uno de estos dos factores depende de dos cosas. Depende del signo de nuestro coeficiente principal y del exponente de 𝑥 en nuestro término principal, o sea, del grado de nuestro polinomio.
Hemos aprendido, además, que nuestra función polinómica tendrá puntos de corte con el eje de las 𝑥 en los puntos en que alguno de los factores lineales es igual a cero. Esto se cumple para todas las intersecciones con el eje de las 𝑥 de una función polinómica. Hay puntos de corte cuando un factor lineal es igual a cero. Por lo tanto, hemos aprendido que, para dibujar la gráfica de funciones polinómicas, tenemos que recordar toda la información para factorizar polinomios.
Por último, hemos visto que la multiplicidad del factor nos da información sobre la forma de nuestra curva en las cercanías del punto de corte con el eje de las 𝑥. Por ejemplo, si se nos pide esbozar la curva de la función polinómica 𝑦 igual a 𝑥 menos uno, todo elevado a 𝑘, por 𝑔 de 𝑥, donde 𝑔 de uno no es igual a cero, entonces en las cercanías de 𝑥 igual a uno, nuestra curva tendrá un aspecto muy similar a la curva 𝑦 igual a 𝑥 menos uno, todo elevado a 𝑘, por 𝑔 calculada en uno. Hemos visto, además, que podemos esbozar la gráfica trasladando y estirando la curva 𝑦 igual a 𝑥 elevado a 𝑘.
