Vídeo: Determinar si un triángulo de dimensiones conocidas es rectángulo

Determina si, en el triángulo △𝐴𝐶𝐷 de la figura siguiente, el ángulo 𝐶 es recto:

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Determina si, en el triángulo 𝐴𝐶𝐷 de la figura siguiente, el ángulo 𝐶 es recto.

Básicamente, queremos saber si el ángulo 𝐶 que está dentro del triángulo 𝐴𝐶𝐷 es un ángulo de noventa grados. Podemos hacer esto utilizando el recíproco del teorema de Pitágoras. El cual afirma que, si la suma de los cuadrados de los lados más cortos del triángulo es igual al cuadrado del lado más largo, entonces el triángulo es un triángulo recto.

Así que continuemos y tratemos de sustituir partes del recíproco del teorema de Pitágoras con los datos del triángulo 𝐴𝐶𝐷. ¿Cuáles son los dos lados más cortos y cuál es el más largo? Bueno, se supone que el ángulo 𝐶 es un ángulo de noventa grados. Así que DA será el lado más largo, siendo así 𝐷𝐶 y 𝐴𝐶 los lados más cortos. Por lo que podemos decir que, si 𝐷𝐶 al cuadrado más 𝐴𝐶 al cuadrado es igual a 𝐷𝐴 al cuadrado, entonces en el triángulo 𝐴𝐶𝐷, 𝐶 es un ángulo recto. Por lo que vamos a escribir la información que tenemos.

Sabemos que 𝐷𝐶 es igual a treinta y cuatro. No conocemos la longitud de 𝐴𝐶. Y DA puede sustituirse por cuarenta y cuatro. Así que lo que tenemos que hacer es hallar el valor de 𝐴𝐶 al cuadrado. Una vez que hallemos cuánto vale 𝐴𝐶 al cuadrado, podemos escribirlo. Y si nuestra pregunta es cierta, entonces podemos decir que en el triángulo 𝐴𝐶𝐷 el ángulo 𝐶 es recto.

Podemos hallar el valor de 𝐴𝐶 al cuadrado usando el otro triángulo en nuestro diagrama, pues ese triángulo sí es un triángulo recto, lo que quiere decir que podemos usar el teorema de Pitágoras. Si nos fijamos en el triángulo 𝐴𝐵𝐶, vemos que 𝐴𝐵 y 𝐶𝐵 son los lados más cortos y 𝐴𝐶 es el lado más largo porque es el opuesto al ángulo de noventa grados. Escribimos esto en el teorema de Pitágoras. La suma de los cuadrados de los lados más cortos es igual al cuadrado del lado más largo. Así que 𝐶𝐵 al cuadrado más 𝐴𝐵 al cuadrado es igual a 𝐴𝐶 al cuadrado. Debemos tener en cuenta que 𝐴𝐶 al cuadrado es lo que necesitamos para resolver este problema. Podemos sustituir 𝐶𝐵 por veintiuno y 𝐴𝐵 por diecisiete con seis.

Así que para hallar 𝐴𝐶 al cuadrado, tenemos que elevar al cuadrado veintiuno y diecisiete con seis y sumarlos. Veintiuno al cuadrado es igual a cuatrocientos cuarenta y uno. Y diecisiete con seis al cuadrado es igual a trescientos nueve con setenta y seis. Ahora tenemos que sumar estos números, cuatrocientos cuarenta y uno más trescientos nueve con setenta y seis. Así, 𝐴𝐶 al cuadrado es igual a setecientos cincuenta con setenta y seis. Y eso es exactamente lo que necesitamos.

De esta forma, podemos averiguar si en el triángulo 𝐴𝐶𝐷 el ángulo 𝐶 es recto. Por lo que vamos a sustituir 𝐴𝐶 al cuadrado por setecientos cincuenta con setenta y seis. Treinta y cuatro al cuadrado es igual a mil ciento cincuenta y seis. Y cuarenta y cuatro al cuadrado es igual a mil novecientos treinta y seis. Veamos, pues, si esta igualdad es verdadera. Mil ciento cincuenta y seis más setecientos cincuenta con setenta y seis es igual a mil novecientos seis con setenta y seis, que no es lo mismo que mil novecientos treinta y seis. Esto quiere decir que, dado que la suma de los cuadrados de los lados más cortos no es igual al cuadrado del lado más largo, entonces el ángulo 𝐶 en el triángulo no es recto.

Así que nuestra respuesta es: No, el ángulo 𝐶 en el triángulo 𝐴𝐶𝐷 no es recto.

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